(新高考)高考数学一轮复习讲义+巩固练习8.13《圆锥曲线压轴小题突破》(原卷版)

§8.13圆锥曲线压轴小题突破题型一圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题例1(1)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(﹣c,0)，F2(c,0)，点P是椭圆C上一点，满足|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))﹣eq\o(PF2,\s\up6(→))|，若以点P为圆心，r为半径的圆与圆F1：(x＋c)2＋y2＝4a2，圆F2：(x﹣c)2＋y2＝a2都内切，其中0<r<a，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(10),4) D.eq\f(\r(15),4)(2)已知A，B分别为椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右顶点，P为椭圆C上一动点，PA，PB与直线x＝3交于M，N两点，△PMN与△PAB的外接圆的周长分别为l1，l2，则eq\f(l1,l2)的最小值为()A.eq\f(\r(5),4) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(1,4)思维升华高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题．跟踪训练1(1)F1，F2分别为双曲线C：x2﹣eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，若l⊥F2B，则eq\o(F2A,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))等于()A．4﹣2eq\r(3) B．4＋eq\r(3)C．6﹣2eq\r(5) D．6＋2eq\r(5)(2)(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<eq\r(5))的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，点Q是圆x2＋(y﹣4)2＝1关于直线x﹣y＝0对称的曲线E上任意一点，若|PQ|﹣|PF2|的最小值为5﹣2eq\r(5)，则下列说法正确的是()A．椭圆C的焦距为2B．曲线E过点F2的切线斜率为±eq\f(\r(3),3)C．若A，B为椭圆C上关于原点对称的异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB斜率之积为﹣eq\f(1,5)D．|PQ|＋|PF2|的最小值为2题型二圆锥曲线与三角形“四心”问题例2(1)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线x＝a上，且满足eq\o(PH,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PF1,\s\up6(→)),|\o(PF1,\s\up6(→))|)＋\f(\o(PF2,\s\up6(→)),|\o(PF2,\s\up6(→))|)))，λ∈R.若5eq\o(HP,\s\up6(→))＋4eq\o(HF2,\s\up6(→))＋3eq\o(HF1,\s\up6(→))＝0，则双曲线C的离心率为()A．3B．4C．5D．6(2)过抛物线C：x2＝2py(p>0)上点M作抛物线D：y2＝4x的两条切线l1，l2，切点分别为P，Q，若△MPQ的重心为Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，则p＝________.思维升华圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新．在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力．跟踪训练2(1)已知F1(﹣1,0)，F2(1,0)，M是第一象限内的点，且满足|MF1|＋|MF2|＝4，若I是△MF1F2的内心，G是△MF1F2的重心，记△IF1F2与△GF1M的面积分别为S1，S2，则()A．S1>S2 B．S1＝S2C．S1<S2 D．S1与S2大小不确定所以S1＝S2.(2)在平面直角坐标系Oxy中，双曲线C1：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．题型三圆锥曲线在生活中的应用例3(1)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x2﹣eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点，若从点F2发出的光线经双曲线右支上的点A(x0,2)反射后，反射光线为射线AM，则∠F2AM的角平分线所在的直线的斜率为()A．﹣eq\r(3)B．﹣eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)(2)第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD(如图2)，且两切线斜率之积等于﹣eq\f(9,16)，则椭圆的离心率为()图1图2A.eq\f(3,4)B.eq\f(\r(7),4)C.eq\f(9,16)D.eq\f(\r(3),2)思维升华圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地．研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性．跟踪训练3(1)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x2＋4y2＝4，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|等于()A.eq\r(2)∶eq\r(3) B．1∶eq\r(2)C．1∶3 D．1∶eq\r(3)(2)一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2﹣x2＝1，y∈[1,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()A．1B．2C．3D．2.5课时精练1．双曲线eq\f(x2,9)﹣eq\f(y2,27)＝1上一点P到右焦点F2的距离为6，F1为左焦点，则∠F1PF2的角平分线与x轴交点坐标为()A．(﹣1,0) B．(0,0)C．(1,0) D．(2,0)2．天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的长半轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即eq\f(a3,T2)＝k，k＝eq\f(GM,4π2)，其中M为中心天体质量，G为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为60亿千米，取eq\r(10)≈3.1，则冥王星的公转周期约为()A．157年 B．220年C．248年 D．256年3．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，O为坐标原点，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)·|eq\o(OA,\s\up6(→))﹣eq\o(OB,\s\up6(→))|，则实数a的值为()A．±2 B．±eq\r(2)C．±eq\r(3) D．±eq\r(6)4．已知A，B是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)长轴的两个端点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)．若椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，则|k1|＋|k2|的最小值为()A．1B.eq\r(2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)5．已知在平面直角坐标系Oxy中，点F1，F2分别为双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣y2＝1(a>0)的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MF2的中点，点I为△OMF2的外心，若O，I，D三点共线，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2)B．3C.eq\r(5)D．56．已知双曲线eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\r(6)7．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)为抛物线C上的三个动点，其中x1<x2<x3且y2<0，若F为△P1P2P3的重心，记△P1P2P3三边P1P2，P1P3，P2P3的中点到抛物线C的准线的距离分别为d1，d2，d3，且满足d1＋d3＝2d2，则P1P3所在直线的斜率为()A．1B.eq\f(3,2)C．2D．38．(多选)设F1，F2同时为椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C2：eq\f(x2,a\o\al(2,1))﹣eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1(a1>0，b1>0)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若()A．|F1F2|＝2|MO|，则eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝eq\r(2)B．|F1F2|＝2|MO|，则eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝2C．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2)))D．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))9．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点、右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，eq\o(AQ,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))，且eq\o(BQ,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，则双曲线的离心率e为________．10．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________．11．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝