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文档简介

一、本章要点1．定积分的定义与性质2．积分上限的函数及其导数3．微积分基本公式4．定积分的积分方法5．反常积分

1．定积分的定义与性质设是区间上的有界函数，若极限存在，且与分法、取法无关，则称此极限为函数在区间上的定积分，记为主要积分性质：⑴⑵若，，则⑶积分中值定理若在

上连续，则，使得

2．积分上限的函数及其导数设在

上可积，对于，函数称为的积分上限的函数．定理1若在上可积，则在上连续．定理2若在上连续，则在上可导且导函数连续，其导数更一般地，有3．微积分基本公式设函数在上连续，是在区间上的一个原函数，则4．定积分的积分方法1)换元积分法设函数在

上连续，函数的导函数连续，且

，

，其值域，则2)分部积分法常用的几个积分公式(1)若在

上连续，则(2)若在

上连续，则(3)若在

上连续，且是周期为的周期函数，则并注意到右边的积分与无关．(4)三、例题选讲例1求极限．解令，再设，则例2求极限．解原式为型的极限，由洛必达法则，得例3设为连续函数，令讨论函数在处的连续性和可导性.解因，故即在处连续．又即在处可导，且．例4设在上连续，且．证明方程在内有且只有一个根．证令，则在

上连续，且因连续，由得在区间上不变号，所以，从而方程有解．又故不变号，从而单调，因此解是唯一的．证令例5设在上连续，在内可导，且

，．证明：则．而因，故当时，

．若令则当时，

，故当时从而，即有解先求驻点，因例6求函数的极值点．令，得．在处，

由；在处，由；在处，

由．因此是极大值点，是极小值点．证本题即证例7设函数在上可导，且满足证明：必存在点，使得为此构造辅助函数．利用积分中值定理，得其中．故在区间上使用罗尔定理，即得所需要的结论．两式相减，得例8设在上连续，．证因证明：所以从而有例9设函数在上连续，单调增加，且．证明函数在是单调增加的(其中)．证显然当时，为连续函数，又故是上的连续函数．，有因为是单调增加的，故当时，即得，因此结论成立．的极小值点．证明：有唯一的驻点，且该驻点是它例10设在

上连续，且．证由条件知函数可导，且令得，故有唯一驻点．又当时，当时．故是的极小值点．⑴柯西-施瓦茨不等式⑵闵可夫斯基不等式例11设在

上可积，证明故判别式非正，即有证⑴对于任意实数，有即得关于的二次不等式⑵由柯西-施瓦茨不等式不等式两边同时开方，即得到所需的不等式例12求下列定积分⑴；⑵；⑶；⑷．解⑴⑵⑶⑷由于积分区间对称，利用换元法得因所以例13求下列定积分解⑴⑴；⑵；⑶．即得⑵作换元，则⑶例14求积分．解作换元，则

例15设，求．解例16求下列反常积分(1);(2);(3);(4)．解(1)(2)作换元，则(3)(4)作换元，则三、练习1．求极限(1);(2)；(3)．3．求极限(1)；(2)，其中为连续函数．求的表达式．2．设，4．设，其中在上连续，求．5．设在

上连续，且

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