小学二年级下册 数学《奥数》知识点讲解第10课 枚举法 试题附答案

，J茸二年级下册数学奥数知识点讲解第10课《枚举法》试题附答案

第十讲枚举法

例1如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这

个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？（边长为1厘米的正

方形的面积叫做1平方厘米）.

应米

面只=1平方值米

例2如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C

的最短长度为4厘米.问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来.

例3在10和31之间有多少个数是3的倍数?

例4两个整数之积为1曲，差为10,求这两个数？

例512枚硬币的总值是1元，其中只有5分和1角的两种，问每种硬币各多少

个？

例6小虎给4个小朋友写信.由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了.4

个好朋友收到的都是给别人的信.向小虎装错的情况共有多少种可能？

答案

第十讲枚举法

例1如下图所示，己知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这

个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？（边长为1厘米的正

方形的面积叫做1平方厘米）.

t厘米

面只=1平方厘米

解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为10厘米.下面列举

出符合这个条件的各种长方形.

长（厘米）98765

宽（匣米）12345

（注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形）.

下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图(1)~(5)

_____________________9厘米____________________

面积=9平方厘米

6厘米

面积=24平方厘米

(4)

面积=25平方厘米

(5)

例2如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C

的最短长度为4厘米.问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来.

解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图.

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷.

图中交点处的数字表示到达该点的路线条数，如。点处的数字2,表示由A到。有2

条不同的路径，见上图中的（1）和（2）；又H点处的数字3的意义也如此，见

上图中的Q）、（2）、（3）可知有3条路径可由A到H.仔细观察，可发现各交

点处的数字之间的关系，如0点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1+1=2,又

如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3+3=6.

例3在10和31之间有多少个数是3的倍数？

解：由尝试法可求出答案：

3X4=123X5=153X6=183义7=21

3X8=243X9=273X10=30

可知满足条件的数是12,15,18,21、24、27和30共7个.

注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方

法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：

10+3=3余1,可知10以内有3个数是3的倍数；

1000+3=333余1,可知1000以内有333个数是3的倍数；

333-3=330,则知10~1000之内有330个数是3的倍数.

由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围.

例4两个整数之积为1曲，差为10,求这两个数？

解：列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来：

123468912

14472483624181612

可见其中差是10的两个数是8和18,这一对数即为所求.

例512枚硬币的总值是1元，其中只有5分和1角的两种，问每种硬币各多少

个？

解：列举出两种硬币的可能搭配:

5分币123456

1角币11109876

总钱数1元1角5分1元1角1元5分1元9角5分9角

可见满足题目要求的搭配是：四个5分币，八个1角币.

例6小虎给4个小朋友写信.由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了.4

个好朋友收到的都是给别人的信.问小虎装错的情况共有多少种可能？

解：把4封信编号：1,2,3,4.

把小朋友编号，友1,友2,友3,友4.

并假定1号信是给友1写的，2号信是给友2写的，3号信是给友3的，4号信是

给友4写的：再把各种可能的错装情况列成下表：

说明：如第一种错收情况是友1得2号信，友2得了1号信，友3得了4号信,

友4得了3号信.

习题十

L一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，问：

①这个长方形的面积有多少可能值？

②面积最大的长方形的长和宽是多少？

2.有四种不同面值的硬币各一枚，它们的形状也不相同，用它们共能组成

多少种不同钱数？

3.三个自然数的乘积是24,问由这样的三个数所组成的数组有多少个？如

(1,2,12)就是其中的一个，而且要注意数组中数字相同但顺序不同的算作

同一数组，如(1,2,12)和(2,12,1)是同一蹶组.

4.小虎给3个小朋友写信，由于粗心，把信装入信封时都给装错了，结果3

个小朋友收到的都不是给自己的信，请问小虎错装的情况共有多少种可能？

5.一个学生假期住A、B、C三个城市游览.他今天在这个城市，明天就到另

一个城市.假如他第一天在A市，第五天又回到A市.问他的游览路线共有几种不

同的方案？

6.下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到

F点.行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动.问这只甲虫有多少种不同的走

法？

7.小明有一套黄色数字卡片、、，有一套蓝色数字卡片、、.一天他偶然用

卡片做了下面的游戏：把不同色的卡片交叉配对，一次配成3对，然后把每对卡

片上的黄蓝数字相乘之后再相加求和，你知道他共找到了多少种配对相乘求和

的方式吗？比如说下面是其中一种：

苗,芾法蕾法

臼x*目x[D+[|]xm=iL

8.五个学生友1,友2,友3,友4,友5一同去游玩，他们将各自的书包放在

了一处.分手时友1带头开了个玩笑，他把友2小朋友的书包拿走了，后来其他的

小朋友也都拿了别人的书包.试问在这次玩笑中故意错拿书包的情形有多少种不

同方式？

二年级奥数下册：第十讲枚举法习题解答

习题十解答

1.解：这个长方形的长和宽之和是22+2=11（米），由长方形的面积=长、

宽，可知：

长（米）109876

宽（米）12345

面积（平方米）1018242830

由上表可见面积最大的长方形的长是6米、宽是5米，面积是30平方米.

猜想：由本讲的例1和习题1这两题来看，周长一定的所有长方形中，长和

宽相等或相近那个长方形面积最大.这是有名的“等周问题”的特例.

2.解：把各种不同的组合及其对应的钱数列表枚举如下：

枚数钱数

(1)(2)(3)(4)

1枚

192,4,8.

(1+2),(1+4),(1+8),(2+4),(2+8),(4+8)

2枚

35961012

(1+2+4)>(1+2%),(1+4用),(2+4用)

3枚

7111314

(1+2+4+8)

4枚

15

数一数可知，能组成15种不同的钱数.注意它们是从1到15的15个自然数:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15.

3.解：不计数组中数的顺序，所有乘积为24的三个数所组成的数组共有6

组，枚举如下：

Cl，1,24),(1,2,12),(1,3,8),

(1,4,6),(2,2,6),(2,3,4).

4.解：把三封信编号为1号、2号、3号；

把三个小朋友编号为友1、友2、友3；1号、2号、3号信应该分别发给友1、

友2、友3。

按题意，友1没有收到给自己的1号信，他只可能收到2号或3号信.

当友1收到2号信时，友2只可能收到3号信，则友3收到1号信；

当友1收到3号信时，友2只可能收到1号信，则友3收到2号信.

可见共有2种可能的错装情况，列表更为清楚，

可能情况第一种第二种

友123

友231

友312

5.解：请看下面的树形图.

第一天

第二天

第三天

第四天

第五天

可见他第五天回到A市的不同游览路线共有6种，分别是：

①AfBfA—BfA④A—A—B—A

②BfA—CfA⑤AmfA

③AfB~*CfBfAC->B-C->A.

6.解：经过E点的有3条路线，不经过E点的有2条路线，共有5条不同的路

线，见下图.

B

7.解：可以按下面的方法找出所有不同的配对相乘求和方式:

q123

1

123

11X1+2X2+3X3=1+4+9=14

可123

1

132

11X1+2X3+3X2=1+6+6=13

倒123

A

131X2+2X1+3X3=2+2+9=13

到123

1

031

41X2+2X3+3X1=2+6+3=11

倒

123

1

C12

O1X3+2X1+3X2=3+2+6=11

⑥修;）1X3+2X2+3X1=3+4+3=10

可见共有6种不同的配对相乘求和方式，其中第①种情况（可叫做同序配

对）各乘积之和最大，第⑥种情况（可叫做逆序配对）各乘积之和最小.

如果你感兴趣，可以进一步问，这个结果有普遍性吗？我们再进一步探讨

一下：

1.假设黄卡片只有臼和囱两张，蓝卡片也是两张臼和目，

显然只有两种配对情况：

①同序配对：（；91X1+2X2=5,

②逆序配对：（；；）1X2+2X1=4.

结果和上述相同.

2.假如黄蓝卡片各有4张，不同的配对方式有很多.

（4X3X2X1=24种，