高二数学函数的极值课件

高二数学函数的极值课件函数极值的基本概念函数极值的求法函数极值的应用函数极值的变体函数极值的注意事项01函数极值的基本概念

极值的定义极值是函数在某点附近的小范围内比其邻近的点的函数值都大或都小的点。极值不是唯一的，可以有极大值和极小值两种。极值是局部概念，只对小范围内的点有意义。极值是局部最大的点或最小的点。在极值点的一阶导数等于零，但一阶导数等于零的点不一定是极值点。在极值点，函数的二阶导数必须变号。极值的性质010204极值的判定条件函数在某点的导数为零。函数在某点的左右两侧单调性相反。函数在某点的左右两侧凹凸性相反。函数在某点的切线与x轴平行。0302函数极值的求法总结词通过求导数判断函数的单调性，进而确定极值点。详细描述导数表示函数在某一点的切线斜率。当导数大于0时，函数在该区间内单调递增；当导数小于0时，函数在该区间内单调递减。因此，一阶导数为0的点可能是极值点，需要进一步判断二阶导数。导数法总结词通过求二阶导数判断一阶导数为0的点是否为极值点。详细描述二阶导数大于0表示一阶导数为0的点为极小值点，二阶导数小于0表示一阶导数为0的点为极大值点。如果一阶导数为0且二阶导数也为0，需要进一步使用泰勒展开法判断。二阶导数法泰勒展开法总结词通过泰勒展开式近似函数，进而判断极值点。详细描述泰勒展开式可以将函数在极值点附近展开成多项式，通过多项式的系数可以判断极值点的性质。如果函数在极值点附近可以展开成一次或二次多项式，则该点为极值点。03函数极值的应用极值点的一阶导数为零，二阶导数不为零。极值的必要条件通过比较法、导数法、二阶导数法等判断极值点。极值的判定方法通过求导、求二阶导数、解方程等步骤计算极值。极值的计算方法最大值和最小值的求法利用极值原理求解最大利润问题，如成本最低、收入最高等。最大利润问题最优资源配置风险最小化在有限的资源下，通过极值方法确定最优的资源配置方案。在投资组合中，利用极值方法确定风险最小的投资组合。030201极值在经济中的应用在弹性力学中，利用极值原理求解弹性体的位移和应力。弹性力学在流体力学中，利用极值原理求解流体运动的速度和压力。流体力学在光学中，利用极值原理求解光线的路径和能量分布。光学极值在物理中的应用04函数极值的变体当函数在某一点的导数为零，且该点两侧的导数符号相反时，该点称为函数的极值点。如果一个函数在极值点两侧都有单调性，则该极值点称为多重极值点。定义通过一阶导数和二阶导数来判断。如果二阶导数在该点处变号，则该点可能是多重极值点。判断方法函数$f(x)=x^3$在$x=0$处有极小值点，但也是多重极值点，因为$f'(x)=3x^2$在$x=0$处变号。实例多重极值关系拐点可能是极值点，也可能不是。例如，函数$f(x)=x^3$在$x=0$处有拐点，但不是极值点；而函数$f(x)=x^2$在$x=0$处有拐点，同时也是极小值点。定义拐点是函数图像上凹凸性改变的点，即二阶导数为零的点。实例函数$f(x)=x^4$在$x=0$处有拐点，但不是极值点；函数$f(x)=x^3$在$x=0$处有拐点，同时也是极小值点。拐点与极值的关系定义01稳定点是指函数在某点的导数等于零，且该点两侧的一阶导数符号不变。关系02稳定点可能是极值点，也可能不是。例如，函数$f(x)=x^3$在$x=0$处有稳定点，但不是极值点；而函数$f(x)=x^2$在$x=0$处有稳定点，同时也是极小值点。实例03函数$f(x)=x^4$在$x=0$处有稳定点，但不是极值点；函数$f(x)=x^3$在$x=0$处有稳定点，同时也是极小值点。极值与稳定点的关系05函数极值的注意事项根据极值的定义，函数在极值点处的导数必须为零，即函数在该点的切线与x轴平行。在判断极值点时，首先要确保函数在所考察的区间内是可导的，因为只有可导函数才可能有极值点。极值的可导性条件注意可导性极值点处导数必须为零函数的极值点在图像上表现为函数的拐点，即函数图像在该点从上升变为下降或从下降变为上升。极值点在图像上的表现通过观察函数图像的走势，可以大致判断出哪些点可能是极值点，进而通过计算导数来确定。图像与极值判断极值与函数图像的关系极值只是局部范围内的最大或最小值，并不一定是整个定义域内的最大或