2022年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷

2022年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷(一)(一模)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)集合A={x|-2<x≤2},B={-2,-1,0,1},则A∩B=()A.{-1,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,02.(5分)已加/为虚载单，若复数A.它们的焦距相等B.C.它们的离心率相等D.它们的渐近线相同4.(5分)夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为.和则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为()B5.(5分)已知等差数列{am}的公差为2,且az,a3,as成等比数列，则{an}的前n项和SnA.n(n-2)B.n(n-1)C.n(n+1)D.n6.(5分)如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB⊥BC,AD=1,BC=2,P是线段AB上的动点，则PC+4PD的最小值为()c.²√5A.a<c<bB.c<a<bC.b<a<cA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(多选)9.(5分)某团队共有20人，他们的年龄分布如表所示，1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有()A.众数是32B.众数是5C.极差是17D.25%分位数是30A.f(x)的最小值为0B.f(x)的最小正周期为π(多选)11.(5分)已知圆O:x²+y²=2,直线l:x+y-4=0,P为直线1上一动点，过点P作圆O的两条切线PA,PB,A,B为切点，则()D.存在点P,使得△PAB的面积为3(多选)12.(5分)若6⁴=2,6=3,则下列不等关系正确的有()三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(5分)函数f(x)=2cosx-cos2x的最大值为_.14.(5分)若展开式的二项式系数之和为64,则展开式中x³项的系数为.(用数字作答)15.(5分)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3,其中甲班中女生占乙班中女生占.则该16.(5分)已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1,AA₁=2,∠A1AC=∠AIAB=60°,∠BAC=90°,则四面体A₁BB₁Ci的体积为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(填写①或②,只可以选择一个标号，并依此条件进行解答.)18.(12分)等差数列{an}和等比数列(bn}满足ai=bi=1,a₂+a₄=14,b₂b₄=a₆,且bn>0.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)已知：①bn<1000;②3m∈N+,使am=b的所有的项的和，求S的值.19.(12分)现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局时，二人交替行棋.一部而“后手”(即：对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋)不具有优势，容易输棋.(1)对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如表所示.请将表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关?先手局后手局(2)现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制(即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局).在甲先手局中，甲赢棋的概率)乙赢棋的概率)在乙先手局中，甲赢棋的概率乙赢棋的概率为.若比赛中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行X局，求X的分布列和数学期k20.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形，BC//AD,AB⊥AD,PA=AB=2,AD(2)求二面角B-PC-D的余弦值.21.(12分)已知椭圆C:是椭圆的左顶点，点E坐标为(1,0),经过点E的直线1交椭圆于M,N两点，直线I斜率存在且不为0.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AM,AN分别交直线x=4于点P,Q,线段PQ的中点为G,设直线1与直22.(12分)已知f(x)=e²~1-x.2022年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷(一)(一模)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.C.{-1,0,1}【分析】进行交集的运算即可.【解答】解：∵A={x|-2<x≤2},B={-2,-1,0,1},2.(5分)已知i为虚数单位，若复数则zl=()A.1B.2【分析】直接利用商的模等于模的商求解.A.它们的焦距相等B.它们的顶点相同C.它们的离心率相等D.它们的渐近线相同【分析】求出双曲线焦距，顶点坐标，离心率，渐近线方程，即可判断选项.渐近))AB5.(5分)已知等差数列{an}的公差为2,且az,a3,as成等比数列，则{an}的前n项和SnA.n(n-2)B.n(n-1)C.n(n+1)D.n(n+2)’即解得a₃=4.6.(5分)如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB⊥BC,AD=1,BC=2,P是线段AB解.则B(0,0),C(2,0),故当4m-5y=0时，得7.(5分)已知a=log₃2,b=log43,A.a<c<bB.c<a<bC.b<a<c【分析】结合对数的运算性质及对数函数的单调性即可比较大小.,8.(5分)若函数f(x)=e²+x³-2²-ax,则a>e是f(x)在(0,+)有两个不同零点A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件论g(x)的单调性，求出g(x)的最小值，由f(x)充要条件为a>e-1,进而得到答案.在(0,+~)上有两个不同零点的则解得x=1,f(x)在(0,+～)上有两个不同零点的充要条件为函数g(x)与y=a的图象在第一象所以a>e-1,即f(x)有2个零点的充要条件为a>e-1,所以a>e是f(x)在(0,+～)有两个不同零点的充分不必要条件，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(多选)9.(5分)某团队共有20人，他们的年龄分布如表所示，1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有()A.众数是32B.众数是5C.极差是17D.25%分位数是30【分析】根据表中数据，分别计算这组数据的众数、极差和百分位数即可.【解答】解：根据表中数据知，这20个人年龄的众数是32,选项A正确、B错误；极差是45-28=17,选项C正确；因为20×25%=5,所以百分位数是30,选项D正确.A.f(x)的最小值为0B.f(x)的最小正周期为π【分析】由题意，利用三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，得出结论.,求可得f(x)的图像关于点(令.求积(多选)11.(5分)已知圆O:x²+y²=2,直线l:x+y-4=0,P为直线1上一动点，过点P作圆O的两条切线PA,PB,A,B为切点，则()D.存在点P,使得△PAB的面积为3【分析】利用圆的有关性质，可求得P到圆心的最小距离，可判断A;同时可求PA长度小值可判断D.由平面几何知识知线段PA长度的最小值故B错由平面几何知识知线段PA长度的最小时，△PAB的面积最小值为所以存在点P,使得△PAB的面积为3.故D正确；(多选)12.(5分)若6⁴=2,6=3,则下列不等关系正确的有()可得a+b=1,结合基本不等式可判断选项BC;利用换底公式并结合基本不等式的应用即可判断选项D.【解答】解：由6⁴=2,6°=3,得a=log₆2,b=log₆3,故选项C错误；由换底公式得..故选项D正确.13.(5分)函数f(x)=2cosx-cos2x的最大值为192.(用数字作答)令6-3r=3,解得r=1,15.(5分)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3,其中甲班中女生占乙班中女生占则该【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解.,故该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.16.(5分)已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1,AA₁=2,∠A1AC=∠A₁AB=60°,∠BAC=90°,则四面体AiBB₁C₁的体积为【分析】由题意画出图形，求出棱柱的高，再由等体积法求四面体A₁BB₁Ci的体积.设A₁在底面ABC上的射影为0,∵∠A1AC=∠AiAB=60°,∴O在∠BAC的角平分线上，过O作OE⊥AB,垂足为E,连接A₁E,且A₁到平面ABC的距离等于B到平面A₁B₁Ci的距离，即四面体A1BB₁Ci的体积四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.到下面已知条件中进行解答.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为g,b,c,目.(填写①或②,只可以选择一个标号，并依此条件进行解答.)【分析】(1)选择条件①:利用正弦定理化边为角，再结合同角三角函数的商数关系，选择条件②:利用余弦定理，求出cosB的值，即可；(2)由可得ac=4,再结合余弦定理，得解.【解答】解：(1)选择条件①:由正弦定理及b!sinC=、3ccosB,知sinBsinC=因为sinC≠0,所以(2)因为△ABC的面积所以ac=4,所以4+4=a²+c²,即又a>0,所以a=2.18.(12分)等差数列(an}和等比数列(bn}满足ai=b₁=1,a2+a4=14,b₂b₄=a₆,且bn>0.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)已知：①bn<1000;②3m∈N+,使am=b.设S为数列{bn}中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S的值.【分析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所(2)先由①可得n的取值；再由②通过列举法可得满足题意的n的值和bn的值，计算解得d=3,q=2,则an=1+3(n-1)=3n-2,b₁=2n¹;(2)①bn<1000,即2"~l<1000,解得n=1,可得m=1,n=1;m=2,n=3;m=6,n=5;m=22,n=7;m=86,n=所以S=1+4+16+64+256=341.19.(12分)现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局时，二人交替行棋.一部而“后手”(即：对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋)不具有优势，容易输棋.(1)对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如表所示.请将表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关?先手局后手局(2)现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制(即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局).在甲先中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行X局，求X的分布列和数学期k【分析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解.(2)由题意可得，X所有可能取值为2,3,分别求出对应的概率，即可得X的分布列，【解答】解：(1)2×2列联表如下：先手局后手局∴有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关.(2)由题意可得，X所有可能取值为2,3,故X的分布列为：X23P20.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形，BC//AD,AB⊥AD,PA=AB=2,AD=2(1)求证：BD⊥平面PAC;(2)求二面角B-PC-D的余弦值.(2)求平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用数量积公式可得答案.【解答】(1)证明：∵PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,ADC平面ABCD,以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴因为PA=AB=2,AD=2BC=2√2AC=(2,√2,0)BD=(-2,2√2,0,PC=(平面PAC,PCc平面PAC,(2)解：设平面PCD的法向量为n₁=(x1,y₁,z₁};平面PBC的法向量 所以n₁=(1,√2,2}nz=(1,0点A点A)的短轴长为2,离心率；是椭圆的左