第13章 轴对称【B卷】（解析版）

第13章轴对称B卷一、单选题1.(3分)下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A.

B.

C.

D.

【答案】A【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形【解析】【解答】A.即是轴对称图形，又是中心对称图形.故该选项正确；B.是轴对称图形，但不是中心对称图形.故该选项错误；C.是中心对称图形，但不是轴对称图形.故该选项错误；D.是中心对称图形，但不是轴对称图形.故该选项错误.故答案为：A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可判断.2.(3分)如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（

）A.

6

B.

8

C.

10

D.

12【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】由已知条件，利用线段垂直平分线的性质得AE+CE=BE+CE，再利用给出的周长即可求出AC的长．∵△BCE的周长等于18cm，BC=8cm∴BE+EC=10cm∵DE垂直平分AB∴AE＝BE∴AE+EC=10cm，即AC=10cm【分析】由△BCE的周长及BC的长可求出BE与EC的和，根据相段的垂直平分线的性质可求出AE=BE,进而求出AC的长。3.(3分)点P（2，﹣3）关于x轴的对称点是（

）A.

（﹣2，3）

B.

（2，3）

C.

（﹣2，-3）

D.

（2，﹣3）【答案】B【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴的对称点坐标为：（2，3）．故选：B．【分析】根据平面直角坐标系中对称点的规律解答．4.(3分)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A.

B.

C.

D.

【答案】B【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．进行分析即可．5.(3分)用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：(1)平行四边形，(2)矩形，(3)菱形，(4)正方形，(5)等腰三角形，(6)等边三角形，一定可以拼成的图形是（

）A.

(1)(4)(5);

B.

(2)(5)(6);

C.

(1)(2)(3);

D.

(1)(2)(5).【答案】D【考点】三角形全等及其性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定【解析】【解答】解：根据题意，用形状和大小完全相同的直角三角形一定能拼出平行四边形、矩形和等腰三角形，共3种图形.画出图形如下所示：故答案为：D.【分析】根据全等三角形的性质、平行四边形的判定方法、矩形的判定方法、菱形的判定方法、正方形的判定方法、等腰三角形的判定方法、等边三角形的判定方法，动手操作或画图即可判断.6.(3分)等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是(

)A.

70°

B.

70°或40°

C.

70°或50°

D.

40°【答案】B【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：本题可分两种情况：①当70°角为底角时，顶角为180°−2×70°=40°；②70°角为等腰三角形的顶角；因此这个等腰三角形的顶角为40°或70°．故答案为：B．【分析】首先要进行分析题意，“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论．7.(3分)下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（

）A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个【答案】B【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：AB、为轴对称图形，对称轴为等边三角形的高，符合题意；

CD、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；

故答案为：B.

【分析】根据轴对称图形特点分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合.8.(3分)若a、b、c为△ABC的三条边，且满足条件：点（a+c，a）与点（2b，﹣b）关于x轴对称，则△ABC的形状是（

）A.

等腰三角形

B.

等边三角形

C.

直角三角形

D.

等腰直角三角形【答案】B【考点】等边三角形的判定，关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】∵点（a+c，a）与点（2b，﹣b）关于x轴对称，∴a+c=2b，a=b，∴a=b=c，∴△ABC的形状是等边三角形．故答案为：B【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数的特征，可得a+c=2b，a=b，可得a=b=c，判定△ABC的形状是等边三角形。9.(3分)在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，∠B的度数为（

）A.

20°或70°

B.

30°或60°

C.

25°或65°

D.

35°或65°【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：当AB的中垂线MN与AC相交时，如图：∵∠AMD=90°∴∠A=90°－40°=50°∵AB=AC∴∠B=∠C==65°；当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，如图：∴∠DAB=90°－40°=50°∵AB=AC∴∠B=∠C=∠DAB=25°.故答案为：C.

【分析】分情况讨论：当AB的中垂线MN与AC相交时，利用三角形的内角和定理求出∠A的度数，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠B的度数；当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，利用三角形的内角和定理求出∠DAB的度数，然后求出∠B的度数。10.(3分)如图，□ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，DE⊥AE，下列结论：①DE平分∠ADC；②E是BC的中点；③AD=2CD；④四边形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1，其中正确的结论的个数有（

）A.

4

B.

3

C.

2

D.

1【答案】A【考点】等腰三角形的判定，平行四边形的性质【解析】【解答】①∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠EAD=∠BAE=12∵DE⊥AE，

∴∠AED=90°，

∴∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAE+∠CDE=90°，

∴∠ADE=∠CDE，

∴DE平分∠ADC，故①正确；

②∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB=CD

∴∠DAE=∠AEB，

∵∠EAD=∠BAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=EB，

同理EC=DC，

∴EB=EC，

∴E是BC的中点，故②正确；

③∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，

∵BE=EC，

∴AD=2CD，故③正确；

④∵四边形ABCD是平行四边形

∴S△AED=12∴S△ABE+S△EDC═12∵EB=EC，∴S△ABE=S△EDC，

∴四边形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1，故④正确，

故选：A【分析】①根据平行四边形的性质得到平行线，再根所平行线的性质及角平分线的性质即可得到；②根据等腰三角形的判定得到边之前的关系；③根据②推得；④根据平行线间的距离相等证明，二、填空题11.(4分)如图，在RtΔABC中，角A=90°，AB=3,AC=4,P是BC边上的一点，作PE垂直AB,PF垂直AC,垂足分别为E、F【答案】125【考点】垂线段最短，矩形的判定与性质【解析】【解答】解：连接AP,∵∠BAC=90°,PE⊥AB,PF⊥AC,∴∠BAC=∠AEP=∠AFP=90°,∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP,要使EF最小，只要AP最小即可，过点A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在直角三角形△BAC中，∠BAC=90°,AC=4,AB=3,由勾股定理得：BC=5，由三角形面积公式得：1∴AP=12即EF=12故答案为：125【分析】根据已知条件得出四边形AEPF为矩形，得出EF=AP,要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可.12.(4分)如图，三角形纸片ABC，AB=11cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为________cm．【答案】10【考点】轴对称的性质【解析】【解答】由△BDE由△BDC折叠得到，

∴△BDE≌△BDC

CD=ED

BC=BE=7cm

∴C△ADE=AD+DE+AE=AD+CD+AB-BE=6+11-7=10(cm)

【分析】折叠即为轴对称，易得△BDE≌△BDC，利用等量代换可得周长为10cm.13.(4分)在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．若AE＝5，tan∠AED＝34，则CE【答案】1或11【考点】线段垂直平分线的性质，解直角三角形【解析】【解答】解：分两种情形：当DE与AC边相交时，如图，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，AD⊥DE．在Rt△ADE中，tan∠AED＝ADDE∵tan∠AED＝34∴ADDE=3设AD＝3k，则DE＝4k．∴AE=A∵AE＝5，∴5k＝5．∴k＝1．∴AD＝3k＝3．∴AB＝2AD＝6．∵AB＝AC，∴AC＝6．∴CE＝AC﹣AE＝6﹣5＝1．当DE与CA的延长线相交时，如图，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，AD⊥DE．在Rt△ADE中，tan∠AED＝ADDE∵tan∠AED＝34∴ADDE=3设AD＝3k，则DE＝4k．∴AE=A∵AE＝5，∴5k＝5．∴k＝1．∴AD＝3k＝3．∴AB＝2AD＝6．∵AB＝AC，∴AC＝6．∴CE＝AC+AE＝6+5＝11．综上，CE的长为1或11．故答案为：1或11．

【分析】分两种情况讨论：当DE与AC边相交时，当DE与CA的延长线相交时，即可得出。14.(4分)如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G.若G是CD的中点，则BC的长是________【答案】7【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，矩形的性质【解析】【解答】解：∵FH垂直平分BE，

∴BF=EF，

∴∠D=∠BCD=∠GCF=90°，CG=DG=12×8=4，

在△DEG和△CFG中，

∠D=∠DCFCG=DG∠DGE=∠CGF

∴△DEG≌△CFG(ASA)，

∴DE=CF，EG=FG，

设DE=x，

则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，

在Rt△DEG中，

EG=DE2+DG2=x2+16

∴EF=2EG=2x【分析】利用线段垂直平分线的性质，可知BF=EF，再利用矩形的性质，可证∠D=∠BCD=∠GCF，CG=DG，利用ASA证明△DEG≌△CFG，利用全等三角形的性质易证DE=CF，EG=FG，设DE=x，用含x的代数式分别表示出EF、BF的长，

∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8，好友EF=BF，建立关于x的方程，解方程求出x的值，继而可求出BC的长。15.(4分)在矩形ABCD中，AB=3,AD=9，P是矩形ABCD边上的点，且PB=PD，则AP的长是________.【答案】4或34【考点】勾股定理，线段垂直平分线的判定【解析】【解答】∵PB=PD，∴点P在BD的垂直平分线上，作BD的垂直平分线，分别交AD、BC于P、P′，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，DC=AB=3，BC=AD=9，设AP为x，则PB=PD=9-x，根据勾股定理得：AB2+AP2=PB2，即32+x2=(9-x)2，解得：x=4，∴AP=4；同理CP′=4，∴P′B=5，∴AP′=AB故答案为：4或34．【分析】由PD=PB可知点P在BD的中垂线上，由此作BD的中垂线分别交AD、BC于P、P′，继而根据勾股定理进行求解即可.16.(4分)如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是________

cm．【答案】19【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，∴AD=CD，AE=CE=12∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13

①则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6

②把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm故答案为：19．【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案．17.(4分)等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是________．【答案】50°或80°【考点】等腰三角形的性质【解析】【解答】解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°=80°，则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．【分析】由等腰三角形的一个外角是100°，可分别从①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角去分析求解，即可求得答案．18.(4分)如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PQ⊥OA，若PC=4，则PQ=________【答案】2【考点】角平分线的性质，含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：过点P作PM⊥OB于M，∵PC∥OA，∴∠COP=∠CPO=∠POQ=15°，∴∠BCP=30°，∴PM=12∵PQ=PM，∴PQ=2．故答案为：2．【分析】过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM=PQ，从而求得PQ的长．三、作图题19.(8分)如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的顶点A(0,1)，B(3,2)，C(1,4)均在正方形网格的格点上.（1）画出ΔABC关于x轴的对称图形ΔA(2)将ΔA1B1C1，沿x轴方向向左平移3个单位、再沿y轴向下平移1个单位后得到ΔA【答案】解：如图所示：△A1B1C1、△A2B2C2，即为所求；点A2（﹣3，﹣2），B2（0，﹣3），C2（﹣2，﹣5）【考点】作图﹣轴对称，坐标与图形变化﹣平移，作图﹣平移【解析】【分析】(1)关于x轴的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别画出各点，然后顺次进行连接得出图形；(2)根据平移的法则画出图形，得出各点的坐标.20.(8分)图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图①、图②给定的网格中按要求作图．（1）在图①中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小（2）在图②中的格线MN上确定一点Q，使∠AQM＝∠BQM．要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．【答案】（1）解：如图①，作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，此时PA+PB＝PA′+PB＝BA′，根据两点之间线段最短，此时PA+PB最小；

（2）解：如图②，作B关于MN的对称点B′，连接AB′并延长交MN于Q，此时∠AQM＝∠BQM．【考点】勾股定理，轴对称的应用-最短距离问题【解析】【分析】(1)如图①，作A关于MN的对称点A′，连接BA'，交MN于P，P点即为所求；(2)如图③，作B关于MN的对称点B′，连接AB'并延长交MN于Q，Q点即为所求．四、解答题21.(15分)已知：如图，△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2．​【答案】解：如图所示：​【考点】作图﹣轴对称【解析】【分析】根据题意作出△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2即可．22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．

①请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；②将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．【答案】解：如图所示，△A1B1C1、△A2B2C2即为所求；∵OB=42+2∴点B旋转到点B2所经过的路径长为90⋅π⋅25【考点】扇形面积的计算，作图﹣轴对称，作图﹣旋转【解析】【分析】根据轴对称的性质及旋转的性质按要求画出图形即可；点B旋转到点B2所经过的路径长是以O为圆心，圆心角为90°，OB的长为半径的弧，因此先利用勾股定理求出OB的长，再根据扇形的面积公式求出弧BB2的长即可。23.(5分)如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF,AB//DC,BC//DF.从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B⇒D⇒A⇔E，且长度