二次曲线方程的化简与分类课件

5.6二次曲线方程的化简与分类这一节，我们将在直角坐标系下，利用坐标变换，使二次曲线的方程在新坐标系里具有最简形式，然后在此基础上进行二次曲线的分类。1.平面直角坐标变换我们知道，如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为与，那么移轴公式为（5.6-1）或（5.6-1′）式中为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标。oyxo/y/x/1精选课件ppt先移轴使坐标原点与新坐标系的原点重合,变成坐标系（5.6-2）或（5.6-2′）式中的为坐标轴的旋转角。而在一般情形，由旧坐标系变成新坐标系，总可以分两步来完成，转轴公式为oyxo/y/x/然后由辅助坐标系再转轴而成新坐标系设平面上任意点的旧坐标与新坐标分别为o/y/x/2精选课件ppt与（图5-1）由上两式得一般坐标变换公式为（5.6-3）oyxo/y//x//y/x/

与而在辅助坐标系中的坐标那么有3精选课件ppt由（5.6-3）解出便得逆变换公式（5.6-4）平面直角坐标变换公式（5.6-3）是由新坐标系原点的坐标与坐标轴的旋转角决定的。确定坐标变换公式，除了上面的这种情况外，还可以有其它的方法。例如给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标系里的方程，并规定了一个轴的正方向等。现在我们就来介绍这情况下的坐标变换公式。（图5-2）oyxy/x/My/x/4精选课件ppt设在直角坐标系里给定了两条互相垂直的直线因为是点到轴的距离，也就是点到的距离，因此我们有同理可得oyxy/x/其中横轴纵轴旧坐标与新坐标分别是My/x/5精选课件ppt于是在去掉绝对值符号以后，便有（5.6-5）为了使新坐标系仍然是右手坐标系，我们来决定（5.6-5）中的符号,将（5.6-5）式与公式（5.6-4）比较得（5.6-4）6精选课件ppt因此（5.6-5）中的第一式右端的的系数应与第二式的右端的实数相等，所以（5.6-5）的符号选取要使得这两项的系数是同号的。例1已知两垂直的直线与，取为轴，为轴，求坐标变换公式。解设的新坐标为，那么有根据上面的符号选取法则得变换公式为7精选课件ppt2.二次曲线方程的化简与分类设二次曲线的方程为（1）现在我们要选取一个适当的坐标系，也就是要确定一个坐标变换，使得曲线（1）在新坐标系下的方程最为简单，这就是二次曲线方程的化简。为此，我们必须了解在坐标变换下二次曲线方程的系数是怎样变化的。因为一般坐标变换是由移轴与转轴组成，所以我们分别考察在移轴与转轴下，二次曲线方程（1）的系数的变换规律。8精选课件ppt在移轴（5.6-1）即下，二次曲线（1）的新方程为化简整理得：9精选课件ppt这里（5.6-6）因此在移轴（5.6-1）下，二次曲线方程系数的变换规律为：二次项系数不变；一次项系数变为与；常数项变为。10精选课件ppt所以当二次曲线有中心时，作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，那么在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失。因为当为二次曲线（1）的中心时，有，把转轴公式（5.6-2）即代入（1），得在转轴（5.6-2）下二次曲线（1）的新方程为这里11精选课件ppt（5.6-7）因此，在转轴下，二次曲线方程（1）的系数变换规律为：二次项系数一般要改变。新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关。一次项系数一般要改变。新方程的一次12精选课件ppt项系数解出得可以进一步看到，在转轴下，二次曲线方程（1）的一次项系数的变换规律是与点的坐标的变换规律完全一样，当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不会产生一次项。常数项不变。13精选课件ppt二次曲线方程（1）里，如果，我们往往使用转轴使新方程中的。为此，我们只有取旋转角，使得即所以（5.6-8）因为余切的值可以是任意的实数，所以总有满足（5.6-8），也就是说总可以经过适当的转轴消去（1）的项。例2化简二次曲线方程并画出它的图形。14精选课件ppt解因为二次曲线的方程含有项，因此我们总可以先通过转轴消去项。设旋转角为，那么由（5.6-8）得：即所以从而得取，那么，，所以得15精选课件ppt转轴公式为代入原方程化简整理得转轴后的新方程为利用配方使上式化为再作移轴16精选课件ppt曲线方程化为最简形式或写成标准方程为这是一条抛物线，它的顶点是新坐标系的原点。原方程的图形可以根据它在坐标系中的标准方程作出，它的图形如图5-3所示。利用坐标变换化简二次曲线的方程，如果曲线有中心，那么为了计算方便，往往先移轴后转轴。（图5-3）yxoy/x/(x//)y//o/17精选课件ppt例3化简二次曲线方程并画出它的图形。解因为所以曲线为中心二次曲线，解方程组18精选课件ppt得中心的坐标为，取为新原点，原方程变为再转轴消去项，由（5.6-8）得从而可取，故转轴公式为作移轴19精选课件ppt经转轴后曲线的方程或写成标准形式这是一个椭圆，它的图形如图5-4所示。利用转轴来消去二次曲线方程的项，它有一个几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置。（图5-4）oyxo/y/x/y//x///420精选课件ppt这是因为如果二次曲线的特征根确定的主方向为，那么由（5.5-1′）立刻得：21精选课件ppt因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置。如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合。因此，二次曲线方程的化简，只要先求出曲线（1）的主直径，然后以它作为新坐标轴，作坐标变换即可。例4化简二次曲线方程并作出它的图形。如果是中心曲线，如果是无心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；坐标原点与曲线的顶点重合；22精选课件ppt解已知二次曲线的矩阵是所以曲线的特征方程是解得两特征根为因而曲线的两个主方向为23精选课件ppt曲线的两条主直径为与即取这两条主直径为新坐标轴，由（5.6-5）得坐标变换公式为24精选课件ppt解出与代入已知曲线方程，经过整理得曲线在新坐标系下得方程为所以曲线标准方程为这是一条双曲线。25精选课件ppt例5化简二次曲线方程并作出它的图形。解已知二次曲线的矩阵是曲线为非中心曲线，它的特征方程为特征根为曲线的非渐近主方向为对应于的这方向26精选课件ppt为新坐标系的轴，而过曲线的顶点所以曲线的主直径为即求出主直径于曲线的交点，即曲线的顶点为所以过曲线顶点且以非渐近主方向为方向的直线为即这也是过顶点垂直于主直径的直线，取主直径27精选课件ppt且垂直于主直径的直线为轴，作坐标变换，它的变换公式为解出与代入已知方程，经过整理得28精选课件ppt化为标准方程这是一条抛物线。29精选课件ppt例6化简。解已知曲线的矩阵为它的第一，第二两行成比例，曲线为线心曲线，它有唯一的直径即中心线，也是曲线的主直径，其方程是取它为新坐标系的轴，为新坐标系的轴作坐标变