人教版数学八年级下册 第十七章 勾股定理 单元测试卷(含答案解析)

人教版数学八年级下册第十七章勾股定理单元测试卷

一、单选题（共10题；共20分）

1.下列说法：①无理数分为正无理数，零，负无理数；②-4是16的平方根；③如果a,b,c为一组勾

股数，那么4a,4b,4c仍是勾股数；④任何实数都有立方根，其中正确的有（）

A.4B.3C.2D.1

2.若一个直角三角形的三边分别为0、b、c，a2=144,b2=25,则c?=（）

A.169B.119C.169或119D.13或25

3.如图，NB=NACD=90。；AD=13；CD=12；BC=3,则AB的长为()

A.4B.5C.8D.10

4,下列各组数是勾股数的是（）

A.12、15、18B.6、8、12C.4、5、6D.7、24、25

5,一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口。沿北偏西20。的方向行

60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处.若M,N两点相距100海

里，则NNOF的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.90°

6.如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋

转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点J处，则点，表示的数是（）

」L'I1」>

.101A2

A.4B.J?C旧D.1.4

7.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10

分米，展开角NCOD=60。，晾衣臂0A=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=5分米，H0=F0=4分米。当

ZAOC=90",且OBIICD时，线段OG与OE的长分别为（）

A.3和7B.3和3n（：.3和2+“7口.4[和2+./]1

8.如图，圆柱形容器高为18cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只

蚂蚁正好也在杯内壁，离杯上沿2cm与蜂蜜正相对的点A处，则蚂蚁从内壁A处到达内壁B处的最短距

离为（）

A.13cmB.J61cmC.2,6]cmD.20cm

9.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=60°,BC=2,AD_LBC于D,点F是AB的中点，点E在AD边上，则

BE+EF的最小值是（）

A

BD

A.1B.C.2D.J5

10.如图，小江同学把三角尺含有-60。角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有45。角）的孔洞中•己

知孔洞的最长边为2cm,则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为（）

222

A2V3cm2B/7cmc2/7cmD（2+/7）cm

A.jCITID..cmc.z।xcmu.十.%/cm

二、填空题（共8题；共8分）

口.已知直角三角形两直角边长分别是9、12,则第三边长的值是.

12.《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折

抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈=10尺），现被大

风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，间折断处离地面的距离为.

13.如图，在四边形ABCD中，AB=1,BC=1,CD=2,及且二击g_加行=则四边形ABCD的面积是

14.已知在等腰三角形A8C中，。为BC的中点AD=12,BD=5,AB=13,点P为AO边上的动点，点E为

AB边上的动点，则PE+P8的最小值为.

15.我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高为20尺,

底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是

尺.

16.如图RtAABCNC=90。，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为"希波克拉底月

牙J当AC=3,BC=4时，则阴影部分的面积为

17.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要

米.

18.如图，在一U3C中，AC=BC，n是，砌的中点，FffIJR,

2.Z4£r42r^F=.1S0'%yZFD54-£ECB-£-4BC，则.

三、解答题（共3题；共15分）

19.有一块形状为四边形的钢板，量得它的各边长度为AB=9cm,BC=12cm,CD=17cm,DA=8cm,

NB=90。，求这块钢板的面积.

20.如图，在△ABC中，NC=90。，AD是BC边上的中线，DE_LAB,垂足为E,

求证:AC2=AE2-BE2.

B

21.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C恰好落在AB边的中点C'上，点D落在D处，C'D咬AE于点M.若

AB=6,BC=9,求线段ED.

四、综合题（共3题；共40分）

22.有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞,

已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米.

（1）这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由.

（2）为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过,

那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？

这时AO为24m.

（1）求这个梯子的底端距墙的垂直距离有多远；

（2）当BD=8m,且AB=CD时，AC的长是多少米；

（3）如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2米，那么梯子的顶端向上滑动的距离是多少米？

24.如图，在△ABC中，NACB=90。，BC=AC=6,D是A8边上任意一点，连接CD,以8为直角边向

右作等腰直角ACDE，其中NDCE=90。，CD=CE,连接BE.

(1)求证：AD=BE；

(2)当ACDE的周长最小时，求CD的值;

(3)求证：DB:=ICE2-

答案解析部分

一、单选题

L【答案】B

【解析】【解答】解：①无理数分为正无理数和负无理数，零是有理数，不符合题意；②-4是16的平

方根，符合题意；③如果a,b,c为一组勾股数，不妨设c为最长边，

则成+1=人，

即4a,4b,4c仍是勾股数，符合题意；④任何实数都有立方根，符合题意，

所以，正确的有3个，

故答案为：B.

【分析】根据无理数的分类、平方根的定义、勾股定理以及立方根的定义进行判断即可得到答案。

2.【答案】C

【解析】【解答】解：C是斜边时，c2=a2+b2=144+25=169,

c是直角边时，c2=a2-b2=144-25=119,

综上所述,c2=169或"9.

故答案为：C.

【分析】分c是斜边和直角边两种情况讨论求解.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：在也■△.«1£）中，4HC£>=：90'。，.£D=13，8=12，

由勾股定理得：-V13?-I?=5-

在@A.15C中，,8=90。，AC=5，BC=3,

由勾股定理得：.姐=犷"=4,

故答案为：A.

【分析】在册「中，根据勾股定理求出一在酊，必C中，根据勾股定理求出4月即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：A、因为122+152W182,故不是勾股数；故此选项不符合题意；

B、因为62+82M122,故不是勾股数；故此选项不符合题意；

C、因为42+52延2,故不是勾股数；故此选项不符合题意；

D、因为72+242=252,故是勾股数.故此选项符合题意；

故答案为：D.

【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，据此判断即可.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：.OA/=60海里，0V=80海里，V-V=100海里，

：.ZVO'F=IM-?0,°-QI=7f-.

故答案为：c

【分析】求出D1/TO'?二｛八:根据勾股定理的逆定理得出-170、=9.0：，根据平角定义求出

即可.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：根据勾股定理可得：正方形的对角线的长度为则点A所表示的数为⑻.

故答案为：B.

【分析】根据勾股定理求出点A所表示的数，进行作答即可。

7.【答案】C

【解析】【解答】解：过点F作FML0B于点M,

./0C=0D,ZAOD=60°,

△0CD是等边三角形，

・•.ZCDO=60°,

,/OBIICD,

ZEOF=ZCDO=60°,

在R30FM中，ZOFM=30°,

22

OM=1OF=1X4=2,F”=JOF-OM=值？=2亚,

在RtAMEF中

ME=^EF^MF2=V52-12=而；

0E=0M+ME=2+jn

在RtA0GH中

0G==当

故答案为：3和2+J77

【分析】过点F作FM_LOB于点M,根据有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形，可证得△OCD是等

边三角形，利用平行线的性质可求出NEOF=60。，在RtAOFM中，利用勾股定理求出。M,FM的长；再在

在Rt^MEF中，利用勾股定理求出ME的长，然后求出0E的长；在OGH中，利用勾股定理求出0G

的长。

8.【答案】D

【解析】【解答】解：如图，将杯子侧面展开，连接则即为最短距离.

在直角AJSC中，.JC=16cm.8。=1瞽-4-2=1女m，ZC=90°.

.-，虱。T-iQciu-

即蚂蚁从内壁A处到达内壁B处的最短距离为

故答案为：D.

【分析】将杯子侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：连接CF交AD于点E,

△ABC中，AB=AC,ZBAC=60°,

:3ABC是等边三角形，

AD±BC,

..•点B和点C关于AD对称，

/.BE=CE,

/.BE+EF=CE+FE=CF,

根据两点之间线段最短，可知CF最短即BE+EF的值最小,

BC=2,

AB=BC=2

,・・点F是AB的中点，

CF±AB,BF=1

CF=嬴三/=吊=机

故答案为：B.

【分析】连接CF交AD于点E,易证△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得点B和点C关于

AD对称，由此可推出BE+EF=CF,利用两点之间线段最短，可知此时BE+EF的最小值就是CF的长；再证明

△BFC是直角三角形，同时可求出BF的长，然后利用勾股定理求出CF的长。

10.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，过A作AH_LBC,

当BC=2,

•••AB=AC,ZA=60°,

△ABC为等边三角形，

BH=1,

人同用育==&

SAABC=TBCXAH=-7X2X*.

故答案为：B.

【分析】当BC边空洞的最长边时;通过的面积最大，由于NA为60。，可知△ABC为等边三角形，作

AHXBC,利用勾股定理求出AH的长，将BC和AH代入三角形面积公式即可求值.

二、填空题

11.【答案】15

【解析】【解答】解：第三边的长是：炉工?=15,

故答案为：15.

【分析】给出两直角边，直接根据勾股定理即可求出第三边.

12.【答案】4.55

【解析】【解答】解：如图

设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为(10-x)尺,

根据勾股定理得：

AC2+BC2=AB2,

即：x2+32=(10-x)\

解得：x=4.55,

故答案为：4.55.

【分析】设折断处距离地面的高为x,根据勾股定理列方程得到答案即可。

13.【答案】4

【解析】【解答】解：在步A45C中，_4.5345r-=jr-au=,护;F=4,

在△.4C0中,AD=&，CD=2,.仁=4,贝

1HC0是直角三角形,

S四边形ABCD=+^j^ACD=''AC+JAC'CD=J*1*1+x@x2=J+

AaAaAaAa

故答案是：4-^2*,

【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理计算得到AC的长度，继而在三角形ACD中，根据勾股定

理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，求出四边形的面积即可。

14.【答案】军

【解析】【解答】解：4D=1\81)=5，一£8=13，

-4B'=ATY-4摘＞，

乙53=90,，

二乃为的中点，RD-CD,AB=AC

二JD垂直平分BC,

，点e，点C关于直线，八对称，

则BP=CP

过C作CE_L_1B交于P,则此时广£小丹？=CE的值最小，

/.BC£=.1O'-12.

,PF+PR的最小值为W，

故答案为：柠.

【分析】根据勾股定理的逆定理即可得到NADB=90。，继而由对称的性质即可得到PE+PB=CE时最小，根

据三角形的面积公式求出答案即可。

15.【答案】25

【解析】【解答】解：如图所示，

在如图所示的直角三角形中，

••,BC=20尺，AC=5x3=15尺,

••AB=J]f_、「r=25（尺）.

故答案为25尺.

【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个

直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出.

16.【答案】6

【解析】【解答】解：在R3ACB中

NACB=90°,AC=3,BC=4,

由勾股定理得：

AB=dq-BC=r-f=5,

阴影部分的面积5=4

故答案为：6.

【分析】根据勾股定理求出A8,分别求出三个半圆的面积和AABC的面积，两小半圆与直角三角形的

和减去大半圆即可得出答案.

17.【答案】7

【解析】【解答】在R3ABC中，AB=5米,BC=3米，ZACB=90°,

;AC='炉BC-=4

AC+BC=3+4=7米.

故答案是：7.

【分析】利用勾股定理求出AC的长，根据平移的性质求出地毯长即可.

18.【答案】“口

【解析【解答】解：连接CD并延长交FE的延长线于点N,延长CE交FB的延长线于点M,过F作FHJLCD

于H,连接DM交FN于点。，则有四边形DBFH是矩形，DB=FH,DH=FB.

,/2ZAEC+ZCEF=180°,ZAEC+ZCEF+ZBEF=180°,

・•・ZAEC=ZBEF,

ZMEB=ZAEC=ZBEF,

FB=BM=1,FE=FM,

---ZACB=90°,AC=BC,D是AB的中点，

/.ZABC=45°,ZACB=4DACB=45°,CD_LAB,

又FB_LAB,

/.DF=DM,ZFDB=ZMDB.

2ZFDB+ZECB=ZABC,

ZFDM+ZECB=ZABC=45°,

,/ZDCE+ZECB=ZDCB=45°,

/.ZFDM=ZDCE.

•/CD±AB,FB±AB,

/.CDIIFB,

/.ZDCE=ZFMC,

/.ZFMO=ZFMC+ZOME=ZDCE+ZOME,

又•••FE=FM,FFM,

ZEMB=ZEFB,ZDMB=ZDFB,

ZOME=ZDFO,

又：.ZFOM=ZFDM+ZDFO,

/.ZFOM=ZFMO,

FO=FM=2.

FMIIDN,

/.ZNDO=ZFMO,

又：ZNOD=ZFOM,

ZBDO=ZNOD,

ND=NO,

FMIINC,ZEFM=ZEMB,

/.ZECD=ZEND,

ND=CD=BD=HF.

设HF=x,则NH=x+l,NF=x+2,

x2+(x+1)2=(x+2)2，

解得x=3（负值舍去）.

/.AD=BD=CD=3,

AC=;J1.

【分析】连接C。并延长交尸户的延长线于点N，延长CE交下月的延长线于点\f,过户作

FH_LC〃于订，连接八"交"”于点O，可证/丑区为=充0，FR=\fR,F\f=FO,

VD=.VO.HF=DR,ND=CD,在JVFH中利用勾股定理求户百，即可求RD,再求MC.

三、解答题

19.【答案】解：AB=9cm,BC=12cm,ZB=90°,

JCBC2=业-1F="（cm），

/CD=17cm,DA=8cm,

AACD是直角三角形，且NCAD=90°,

,这块钢板的面积=Swc+S&1cox9x12-J-s-15=114（。加）.

【解析】【分析】先利用勾股定理求出AC,再根据勾股定理的逆定理证得NCAD=90。，由此即可利用面积

相加的方法求出答案.

20.【答案】证明：女=9Q."：-山-力

.人。是队边上的中线，，8。4口，二百仁'=期：-5万'，

DE±AB,/D£5=，903-

山=*.七炉/=5加—ED2，

AC2=.lE2-EDr-Bir=JE?一（月方-ED2）=.店-BE2-

【解析】【分析】根据勾股定理可以得到解答.

21.【答案】解：如图,连接CE,

设DE=D'E=x,

,在矩形ABCD中,AB=6,BC=9,

CD=AB=6,AD=BC=9,NA=ND=90°,

AE=AD-DE=9-x,

•.・折叠，

ZD'=ZD=90",C'D'=CD=6,

・・•点C为AB边的中点,

AC'=彳AB=3,

在RtZiAEC中，C'E2=AE2+AC'2=32+(9-x)2,

在RtAC'D'E中，C'E2=C'D'2+D'E2=62+x2,

：.32+(9—x)2=62+x2,

解得x=3,

线段ED的长为3.

【解析】【分析】连接CE,设DE=D，E=x,则AE=9-x,利用两次勾股定理分别表示出CE2,进而得

到方程求解即可.

四、综合题

22.【答案】(1)能通过.理由如下：如图①所示，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得

=解得1=06，卡车能通过.

(2)如图②所示，在直角三角形AOB中，已知OB=1.2,AB=2.8-2.3=0.5,由勾股定理得:

。4二iWdO.S,J1・哈二04=1工，

桥洞的宽至少应增加到1・3•]=2・6(米).

01.2B

【解析】【分析】如图①，当桥洞中心线两边各为米时，由勾股定理得方程—弋=。解

(1)0.80ssl

出x的值，再用x+2.3与卡车的高2.5作比较即可；(2)如图②，在直角三角形AOB中，已知08=1.2,

48=2.8-2.3=0.5,由此可求。A的长，即桥洞的半径，再乘以2即得结果.

23.【答案】(1)解：由=

：.B0=1国-媾=7-5：-24?=

这个梯子的底端距墙的垂直距离有7米.

(2)解：.BD=S,013=y,.IB=CD=25=.

：.0D=15.

CO='\l..y-15=10.