山西省忻州市诚信高级中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

山西省忻州市诚信高级中学2022-2023学年高三数学理

期末试题含解析

一、选择题：本大题共1（）小题，每小题5分，共5（）分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.曲线y=x2+l在点（1,2）处的切线为1,则直线1上的任意点P与圆x2+y2+4x+3=0上的

任意点Q之间的最近距离是（）

延275

A.飞--1B.5-1C.V5-1D.2

参考答案：

A

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式.

专题：导数的综合应用.

分析：利用导数求出曲线y=x，l在点（1,2）处的切线方程，化圆的一般方程为标准式，

求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离减去圆的半径得答案.

解答：解：由y=x2+l,得y'=2x,

**.yz|x=i=2,

曲线y=x、l在点（1,2）处的切线1的方程为:y-2=2（x-1）,

即2x-y=0.

又圆x2+/+4x+3=0的标准方程为（x+2）2+y2=l.

圆心坐标为（-2,0）,半径为1,

[-2><21_蜒

圆心到直线1的距离为V5-5,

则直线1上的任意点P与圆x?+y2+4x+3=0上的任意点Q之间的最近距离是5

故选：A.

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了点到直线的距离公式，

是中档题.

2.抛物线产21的准线方程是()

A.X——2B.x=2C.

11

y————

8D.y=8

参考答案：

【知识点】抛物线的标准方程及相关概念H7

31

r2X=-V

【答案解析】C解析：把抛物线V=CK的方程化成标准形式为：2-,是焦点在

1

V=—

了轴正半轴的抛物线，所以其准线方程为’8,

故选：C

【思路点拨】已知的抛物线方程不是标准形式，需要把它化成标准形式，再根据其开口方

向确定准线方程。

3.已知定义在R上的函数人力的图像关于点(一70)对称，且满足‘a"一""》，

/(0)=-2,则/(1)+/(2)+・“+/(20。6)的值为

A.-2B.0C.1D.2

参考答案:

D

略

3-l»

4.已知复数”i-i~(bdR)的实部和虚部相等，贝ij|z|=()

A.2B.3C.2应D.3\'2

参考答案：

D

【考点】复数代数形式的乘除运算.

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z,再结合已知条件求出b的值，根据

复数求模公式计算得答案.

3-bi_-i(3-bi)

z=~:—=----5--b-31

【解答】解：1-i,

(>rR)

•••复数i的实部和虚部相等，

二-b=-3,即b=3.

Iz|=7(-3)2+(-3)2=W2.

故选：D.

5,设z=l+i(i是虚数单位)，则彳’等于

(A)1+1(B)-1+1(C)-1(D)-l-i

参考答案：

A

6.为了得到函数'=前”统-5)的图像，可以将函数>=nn2x的图像()

71

A.向右平移忆个单位B.向左平

移不个单位

7T

C.向右平移亏个单位D.向左

7T

平移芋个单位

参考答案:

A

7.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）

A.-3B.-2C.-1D.0

参考答案:

B

略

8.已知函数，（"一a"（0”+彳）（0>0）的最小正周期为〃，则该函数的图象

（）

但.0）n

x=:

A.关于I4J对称B.关于8对称

得.0）n

x=1

C.关于I8J对称D.关于4对称

参考答案:

B

9.—3F应1,则向量4与上的夹角

为()

5”

A.TB.Tc.

“友

6D.3

参考答案:

B

10.已知再・叼是关于x的方程#+皿-（%?+】）=0的两个实数根，则经过两点

22V+丁-[

▲5.x，，3（x»x；）的直线与椭圆正7一公共点的个数

是（）

U）2⑦I

©0（少不确定

参考答案：

A

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.执行如图所示的程序，输出的结果是一

/=1

SO

WHILES

50i

WIND

PRINT"%S

END

参考答案：

S=15

i1

12.若/(X)=x3则满足的X取值范围是。

参考答案：

(0.D

21)II

v/(z)=x»-X5<0,x>o/.?-!<。抑/<!•

解得0<x〈l所以，是(0.1)

13.已知向量不=(T2)，&=(0]),若向量不•后与不垂直，则利=.

参考答案：

7

利用平面向量的加法公式可得：工*1=(-1+叫3),

由平面向量垂直的充要条件可得：(斜与守=(・“21(-12)=-(*由6=0,

解方程可得：*=7

14.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是.

【答案】(x-叶+(y-Vl=2

【解析】

由题意知圆的半径，=於

圆的方程为(*T)‘+3H=2

14.设/(x)=co$(也X+GK0<><开),若/(x)+/(x)为奇函数，则中=

参考答案：

0=一n

6

略

x+y^m(m>0)

15.已知GM满足：匕"，>2°,若z=2x+y的最大值为2,则

w=.

参考答案：

1

略

评+勺*(ae与7

16.在二项式x的展开式中，若含X的项的系数为-10,则

a=.

参考答案：

.-2

17.若二次函数"J)的图象和直线y=x无交点，现有下列结论：

①方程八/(切二x一定没有实数根；

②若a>0,则不等式JV(X)]>工对一切实数x都成立；

③若a〈0,则必存存在实数X。，使」[『(/)]>%；

④若4+b+C=0,则不等式/[/(x))<X对一切实数都成立；

⑤函数g(x)=ax-b\+c的图像与直线了=-X也一定没有交点。

其中正确的结论是(写出所有正确结论的编号).

参考答案：

①②④⑤

因为函数/(X)的图像与直线J=X没有交点，所以/a)>x(a>0)或/(r)<x(a<0)恒成

立.

①因为>x或几/3]<心)<x恒成立，所以/I/a)】=x没有实数根：

②若a>0,则不等式对一切实数x都成立；

③若a<0,则不等式对一切实数X都成立，所以不存在而，使

力/(%)]>为

1

④若a+b+c=0,则可得a<0,因此不等式对一切实数了都

成立；

⑤易见函数以x)=/Qx),与f(x)的图像关于了轴对称，所以gG)和直线J=-x也一定

没有交点.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

1.,Lb“

,at~—,an+ba=1.%=-

18.已知数列｛4｝、｛,｝满足：4\-a；

⑴求4A•4(2)求数列｛4｝的通项公式；

(3)设&=-+℃+―求实数a为何值时4瓯<久恒成立

参考答案：

b_4_Z_1

解：(I)7一(1・4)(1+/)一4(2-4)-2-4

1

•••数列｛4T｝是以一4为首项，―1为公差的等差数列...........6分

==6i__L=l±2

.•.4一】二n+3»+3.................8分

a.=1一a=------

⑶・"3

1」__n

.S-44+的+---4---♦

4x55x6(n+3Xn+4)4月+44(力+4)

,BLan/+2(a-1)«2+(3a-6)n-8

4as."b=-—----=--------------------

.•.*"4H+35+习@+4)..........io分

由条件可知(。TM心■编・8<°恒成立即可满足条件设““)=S-2'+单》-2)“-8

a=l时，/伽)=一为一8<°恒成立,a>l时，由二次函数的性质知不可能成立

3d-2_3“1、”

a<l时，对称轴22o-l..........13分

f(n)在(-01)为单调递减函数.

/(l)=(a-l)«2+(3a-6>-8=(a-l)+(3a-6)-8=4a-15<0

15

"彳.\a<l时4碍恒成立..........15分

综上知：aWl时，4瓯<瓦恒成立..........16分

略

19.(14分)(2015?荷泽一模)已知数列｛aj的前n项和为S“，且S“=n(n+1)

(nWN*).

(I)求数列｛a“｝的通项公式;

比b2b3.

(H)若数列｛bj满足：3+13S13J+13“+1,求数列限｝的通项公式;

_anbn

(III)令%一4(nGN*),求数列0｝的前n项和T..

参考答案：

考数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式.

点：

专综合题.

题：

分(I)当n=l时，ai=Si=2,当n22时，a„=Sn-Sn-Fn(n+1)-(n-1)n=2n,由此

析：能求出数列｛④｝的通项公式.

bl,b2b3,,bn

a=o.1+2+3+…~

(II)由n3+132+l33+l3n+l(n2l),知

_b]+b2匕3「bnbn+1bn+l__

an+「3+l32+13?+]3n+13n+l+lf所以391+]一%+1a—,由此

能求出b„.

nn

(III)%4=n(3+l)=n?3+n,所以Tn=5+。2+。3+・・・+加二

23n

(1X3+2X3+3X3+—+nX3)+(l+2+・・・+n),令HFIX3+2X32+3X33+…+11X3、

(2n-1)X3n+1+3

由错位相减法能求出n-4,由此能求出数列｛c“｝的前n项和.

解解：(I)当n=l时，ai=Si=2,

答：

当n22时，an=Sn-Sn-i=n(n+1)-(n-1)n=2n,

知ap2满足该式，

・•・数列E｝的通项公式为a„=2n.(2分)

bl,b2b3,,bn

a=o+2+3+…—―

(ID•••n3+132+l33+l3%1(n2l)①

二.63LL+]

.・・％+1-3+132+l33+l3n+l3田+1②(4分)

L+l.

-aa-z

小on+1,n+ln

②-①得：3+1d,

b„*.=2(3n"+l),

故b.=2(3"+1)(nGN*).(6分)

b

ann

c二

nn

(III)4=n(3+l)=n?3"+n,

23

.*.T„=C1+C2+C3+-+C„=(1X3+2X3+3X3+-+nX3")+(1+2+…+n)(8分)

令H“=lX3+2X32+3X3%“+nX3",①

则3II„=1X32+2X3、3X3'+-+nX②

n+1

3(1-3”)-nX3

①-②得：-2H„=3+32+33+-+3n-nX3"*'=1"3

(2n-1)X3叫3

.•.k4，…(10分)

(2n-1)X3n+1+3n(n+1)

T=--------------------+---------

数列&｝的前n项和n42…(12分)

点本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处

评：理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运

用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性.综合性强，难度大，易出

错.解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用.

20.(本题满分14分)设函数1X*l,其中。€尺

(1)解不等式/h)，T(2)求a的取值范围，使/卜)在区间(0»8)上是单调减函

数

参考答案：

or-l(a+l)x

(1)不等式/卜),-1即为771-oX+1

当a<-l时，不等式解集为卜8.-1)U[0.f8)

当时，不等式解集为（-8.-l）U（-L«n）

当时，不等式解集为（-L。］

.唱_人三卜叼T__T_（a+i）ar）

（2）在（12）上任取玉<%，则A+1为+1卜+1）优+1）

*/Oc^<x）工一演<0,々+1>QXJ+1>0

所以要使丁卜）在（0・400）递减即，（xJ-/匕）>°,

只要a+l<0即。<-1

故当a<-1时，,卜）在区间（O.g）上是单调减函数

21.（本小题满分12分）

若S・是公差不为0的等差数列｛4｝的前n项和，且S，S2,S,成等比数列。

（1）求数列耳的公比;

（2）若号=%求｛%）的通项公式

参考答案：

（本小题满分12分）解：（1）设数列SJ的公差为d,由题意，得&'=1邑=

所以（2。1+3尸=%（4的+&0因为