新高考数学二轮复习考点突破学案6.8《椭圆、双曲线的二级结论的应用》（原卷版）

微重点16椭圆、双曲线的二级结论的应用椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式.法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.考点一焦点三角形核心提炼焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F1，F2且∠F1PF2＝θ，则椭圆中SKIPIF1<0＝b2·taneq\f(θ,2)，双曲线中SKIPIF1<0＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).例1已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝eq\f(1,2)，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝eq\f(π,3)，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为()A.2B.4C.6D.12易错提醒(1)要注意公式中θ的含义.(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆.跟踪演练1如图，F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(6),2)考点二焦半径的数量关系核心提炼焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2a,b2)，同理，双曲线中，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2a,b2).例2已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(﹣eq\r(7)，0)，F2(eq\r(7)，0)，过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，|AB|＝|F1B|，则双曲线C的方程为________.易错提醒公式的前提是直线AB过焦点F，焦点F不在直线AB上时，公式不成立.跟踪演练2已知椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|＝2，则|AB|＝______，cos∠F1AB＝________.考点三周角定理核心提炼周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则椭圆中kPA·kPB＝﹣eq\f(b2,a2)，双曲线中kPA·kPB＝eq\f(b2,a2).例3已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左、右两个顶点为A，B，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10，这10条直线的斜率乘积为()A.﹣eq\f(1,16)B.﹣eq\f(1,32)C.eq\f(1,64)D.eq\f(1,1024)规律方法周角定理的推广：A，B两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点，P为椭圆(双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝﹣eq\f(b2,a2)，双曲线中kPA·kPB＝eq\f(b2,a2).跟踪演练3设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.﹣1D.﹣eq\f(1,2)考点四过圆锥曲线上点的切线方程核心提炼已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，双曲线中eq\f(x0x,a2)﹣eq\f(y0y,b2)＝1.例4已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1.如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1<R<2)相切于点A，与椭圆C相切于点B，则|AB|的最大值为________.规律方法(1)该切线方程的前提是点P在圆锥曲线上.(2)类比可得过圆(x﹣a)2＋(y﹣b)2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0﹣a)(x﹣a)＋(y0﹣b)·(y﹣b)＝1.跟踪演练4已知F为椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点，点A是直线x＝3上的动点，过点A作椭圆C的切线AM，AN，切点分别为M，N，则|MF|＋|NF|﹣|MN|的值为()A.3B.2C.1D.0专题强化练1.过双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为eq\f(2,5)，则双曲线C的离心率为()A.eq\f(\r(29),5)B.eq\f(\r(30),3)C.eq\f(\r(35),5)D.eq\f(\r(30),5)2.已知双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF1NF2的面积为8a2.若点M关于点F2的对称点为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是()A.eq\r(3)B.eq\r(5)C.3D.53.椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，且eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，则△AF1B的外接圆面积为()A.eq\f(5π,2)B.4πC.9πD.eq\f(25π,4)4.已知双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2)B.2C.eq\r(3)D.35.(多选)设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是()A.若C的离心率为eq\f(1,2)，则直线PA1与PA2的斜率之积为﹣eq\f(4,3)B.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2C.若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D.若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))6.(多选)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线的左支上一点，且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是()A.双曲线C的离心率为2B.若PF1⊥PF2，且SKIPIF1<0＝3，则a＝2C.以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切D.若点P在第二象限，则∠PF1A2＝2∠PA2F17.椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b