新高考数学一轮复习讲义+分层练习 5.4《数系的扩充与复数的引入》教案 (原卷版)

第四节数系的扩充与复数的引入1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义.1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部.若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数.(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R).(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝﹣d(a，b，c，d∈R).(4)复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up8(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2.复数的几何意义复数z＝a＋bieq\a\vs4\al(一一对应)复平面内的点Z(a，b)eq\a\vs4\al(一一对应)平面向量eq\o(OZ,\s\up8(→))＝(a，b).3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1﹣z2＝(a＋bi)﹣(c＋di)＝(a﹣c)＋(b﹣d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac﹣bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).eq\a\vs4\al([常用结论])1.(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝﹣i.2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝﹣1，i4n＋3＝﹣i(n∈N*).3.z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∈C，则a2≥0.()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数.()(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.()(4)方程x2＋x＋1＝0没有解.()二、教材改编1.若复数z＝(x2﹣1)＋(x﹣1)i为纯虚数，则实数x的值为()A.﹣1B.0C.1D.﹣1或12.在复平面内，向量eq\o(AB,\s\up8(→))对应的复数是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up8(→))对应的复数是﹣1﹣3i，则向量eq\o(CA,\s\up8(→))对应的复数是()A.1﹣2iB.﹣1＋2iC.3＋4iD.﹣3﹣4i3.设复数z满足eq\f(1＋z,1－z)＝i，则|z|等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.24.已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________.考点1复数的概念复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解.1.若复数(m2﹣m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为()A.﹣1B.0C.1D.22.已知i为虚数单位，若复数z＝eq\f(a,1－2i)＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝()A.﹣5B.﹣1C.﹣eq\f(1,3)D.﹣eq\f(5,3)3.已知eq\f(z,1－i)＝2＋i，则eq\x\to(z)(z的共轭复数)为()A.﹣3﹣iB.﹣3＋iC.3＋iD.3﹣i4.设z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝()A.0B.eq\f(1,2)C.1D.eq\r(2)考点2复数的运算复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式.(1)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A.﹣1﹣iB.﹣1＋iC.1﹣iD.1＋i(2)计算：eq\f(（2＋i）（1－i）2,1－2i)＝()A.2B.﹣2C.2iD.﹣2i(3)已知复数z的共轭复数为eq\x\to(z)，若eq\x\to(z)(1﹣i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝()A.iB.i﹣1C.﹣i﹣1D.﹣i(4)已知复数z满足z＋|z|＝1＋i，则z＝()A.﹣iB.iC.1﹣iD.1＋i1.(1＋i)(2﹣i)＝()A.﹣3﹣iB.﹣3＋iC.3﹣iD.3＋i2.对于两个复数α＝1﹣i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②eq\f(α,β)＝﹣i；③|eq\f(α,β)|＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.43.设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝()A.1＋iB.1﹣iC.﹣1﹣iD.﹣1＋i4.已知a为实数，若复数z＝(a2﹣1)＋(a＋1)i为纯虚数，则eq\f(a＋i2020,1＋i)＝()A.1B.0C.1＋iD.1﹣i考点3复数的几何意义与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应.(1)设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A.(x＋1)2＋y2＝1B.(x﹣1)2＋y2＝1C.x2＋(y﹣1)2＝1D.x2＋(y＋1)2＝1(2)设z＝﹣3＋2i，则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(3)已知z＝(m＋3)＋(m﹣1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A.(﹣3，1)B.(﹣1，3)C.(1，＋∞)D.(﹣∞，﹣3)复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可.1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，则复数z1·z2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若复数z满足|z﹣i|≤eq\r(2)(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________.3.已知复数z1＝﹣1＋2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若eq\o(OC,\s\up8(→))＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＋μeq\o(OB,\s\up8(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________.数系的扩充与复数的引入一、选择题1.已知复数z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，则eq\f(z1,z2)等于()A.﹣8﹣6iB.﹣8＋6iC.8＋6iD.8﹣6i2.设(1﹣i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若复数z＝eq\f(a,1＋i)＋1为纯虚数，则实数a＝()A.﹣2B.﹣1C.1D.24.已知eq\f(（1－i）2,z)＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于()A.1＋iB.1﹣iC.﹣1＋iD.﹣1﹣i5.若复数z满足eq\f(z,1－i)＝i，其中i为虚数单位，则共轭复数eq\x\to(z)＝()A.1＋iB.1﹣iC.﹣1﹣iD.﹣1＋i6.已知(1＋eq\f(2,i))2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝()A.﹣7B.7C.﹣4D.47.设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则eq\f(z1,z2)＝()A.1＋iB.eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)iC.1＋eq\f(4,5)iD.1＋eq\f(4,3)i二、填空题8.设复数z满足eq\x\to(z)＝|1﹣i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝________.9.设z＝eq\f(1,1＋i)＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________.10.已知复数z＝eq\f(4＋2i,（1＋i）2)(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x﹣2y＋m＝0上，则m＝________.1.若(1﹣mi)(m＋i)＜0，其中i为虚数单位，则m的值为()A.﹣1B.﹣2C.﹣3D.﹣42.若虚数(x﹣2)＋yi(x，y∈R)的模为eq\r(3)，则eq\f(y,x)的最大值是()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\r(3)3.﹣3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝________.4.已知复数z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2018,1＋i)，则复数z在复平面内对应点的坐标为________.1.设有下列四个命题：p1