新高考数学一轮复习讲义+分层练习 4.4《三角函数的图象与性质》教案 (原卷版)

第四节三角函数的图象与性质1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间(-eq\f(π,2),eq\f(π,2))内的单调性.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，0)，(eq\f(π,2),1)，(π，0)，(eq\f(3π,2),-1)，(2π，0).余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，1)，(eq\f(π,2),0)，(π，﹣1)，(eq\f(3π,2),0)，(2π，1).2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z，递减区间：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))，k∈Z递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z，递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z递增区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心对称中心对称中心(kπ，0)，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z对称轴x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)对称轴x＝kπ(k∈Z)周期性2π2ππeq\a\vs4\al([常用结论])1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.函数具有奇偶性的充要条件函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z).一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sinx的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称.()(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.()(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(4)y＝sin|x|与y＝|sinx|都是周期函数.()二、教材改编1.函数y＝tan2x的定义域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,8)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,8)，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))2.函数f(x)＝cos(2x＋eq\f(π,4))的最小正周期是________.3.y＝sin(2x﹣eq\f(π,4))的单调减区间是________.4.y＝3sin(2x﹣eq\f(π,6))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，eq\f(π,2)))上的值域是________.考点1三角函数的定义域和值域1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2.求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解.(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域.(3)换元法：把sinx，cosx，sinxcosx或sinx±cosx换成t，转化为二次函数求解.1.函数f(x)＝﹣2tan(2x＋eq\f(π,6))的定义域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(π,6)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(π,12)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,6)（k∈Z）))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)（k∈Z）))2.函数f(x)＝sin(2x＋eq\f(3π,2))﹣3cosx的最小值为________.3.已知函数f(x)＝sin(x＋eq\f(π,6))，其中x∈[-eq\f(π,3),a]，若f(x)的值域是[-eq\f(1,2),1]，则实数a的取值范围是________.4.函数y＝sinx﹣cosx＋sinxcosx的值域为________.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值).(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值).(3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csinx＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值.考点2三角函数的单调性(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sinx的单调性求解；(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性.求三角函数的单调性(1)函数f(x)＝tan(2x﹣eq\f(π,3))的单调递增区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)，eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)))(k∈Z)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)，eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)))(k∈Z)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋eq\f(π,6)，kπ＋eq\f(2π,3)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－eq\f(π,12)，kπ＋eq\f(5π,12)))(k∈Z)(2函数y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx(x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，eq\f(π,2))))的单调递增区间是________.根据函数的单调性求参数(1)已知ω＞0，函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是()A.(0，2]B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))(2)若f(x)＝cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4)D.π(1)D(2)C.已知单调区间求参数范围的3种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过eq\f(1,4)周期列不等式(组)求解1.若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，eq\f(π,3)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(eq\f(π,3)，eq\f(π,2)))上单调递减，则ω＝________.2.函数f(x)＝sin(﹣2x＋eq\f(π,3))的单调减区间为________.考点3三角函数的周期性、奇偶性、对称性求解三角函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是根据y＝sinx的对应性质，利用整体代换的思想求解.三角函数的周期性(1)下列函数中，以eq\f(π,2)为周期且在区间(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))单调递增的是()A.f(x)＝|cos2x|B.f(x)＝|sin2x|C.f(x)＝cos|x|D.f(x)＝sin|x|(2)若函数f(x)＝2tan(kx＋eq\f(π,3))的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________.公式莫忘绝对值，对称抓住“心”与“轴”(1)公式法求周期①正弦型函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq\f(2π,|ω|)；②余弦型函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq\f(2π,|ω|)；③正切型函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq\f(π,|ω|).(2)对称性求周期①两对称轴距离的最小值等于eq\f(T,2)；②两对称中心距离的最小值等于eq\f(T,2)；③对称中心到对称轴距离的最小值等于eq\f(T,4).(3)特征点法求周期①两个最大值点之差的最小值等于T；②两个最小值点之差的最小值等于T；③最大值点与最小值点之差的最小值等于eq\f(T,2).特征点法求周期实质上就是由图象的对称性求周期，因为最值点与函数图象的对称轴相对应.(说明：此处的T均为最小正周期)三角函数的奇偶性已知函数f(x)＝3sin(2x﹣eq\f(π,3)＋φ)，φ∈(0，π).(1)若f(x)为偶函数，则φ＝________；(2)若f(x)为奇函数，则φ＝________.三角函数的对称性(1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋eq\f(π,6))(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象()A.关于点(eq\f(π,3)，0)对称B.关于点(eq\f(5π,3)，0)对称C.关于直线x＝eq\f(π,3)对称D.关于直线x＝eq\f(5π,3)对称(2)已知函数y＝sin(2x＋φ)(﹣eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2))的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，则φ的值为________.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x；若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.1.设函数f(x)＝cos(x＋eq\f(π,3))，则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为﹣2πB.y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(8π,3)对称C.f(x＋π)的一个零点为x＝eq\f(π,6)D.f(x)在(eq\f(π,2)，π)上单调递减2.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f(eq\f(π,3))成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是()A.(﹣eq\f(2π,3)，0)B.(﹣eq\f(π,3)，0)C.(eq\f(2π,3)，0)D.(eq\f(5π,3)，0)三角函数的图象与性质一、选择题1.下列函数中，周期为2π的奇函数为()A.y＝sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)B.y＝sin2xC.y＝tan2xD.y＝sin2x＋cos2x2.函数y＝|cosx|的一个单调增区间是()A.[﹣eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]B.[0，π]C.[π，eq\f(3π,2)]D.[eq\f(3π,2)，2π]3.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(eq\f(4π,3)，0)对称，那么|φ|的最小值为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)4.函数y＝cos2x﹣2sinx的最大值与最小值分别为()A.3，﹣1B.3，﹣2C.2，﹣1D.2，﹣25.若函数f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在[﹣eq\f(π,4)，0]上为减函数，则θ的一个值为()A.﹣eq\f(π,3)B.﹣eq\f(π,6)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)二、填空题6.函数y＝cos(eq\f(π,4)﹣2x)的单调递减区间为________.7.已知函数f(x)＝2sin(ωx﹣eq\f(π,6))＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________.8.设函数f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3)).若x1x2＜0，且f(x1)﹣f(x2)＝0，则|x2﹣x1|的取值范围为________.三、解答题9.已知f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4)).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]时，求函数f(x)的最大值和最小值.10.已知a＝(sinx，eq\r(3)cosx)，b＝(cosx，﹣cosx)，函数f(x)＝a·b＋eq\f(\r(3),2).(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)若方程f(x)＝eq\f(1,3)