三角形三线课件

三角形三线课件目录CONTENTS三角形基本概念与性质三角形中线性质与应用三角形高线性质与应用三角形角平分线性质与应用三角形三线综合应用总结与拓展01CHAPTER三角形基本概念与性质由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。三角形的定义按边可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三角形的分类三角形的定义及分类三角形内角和定理三角形的三个内角之和等于180°。推论直角三角形的两个锐角互余；一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；一个三角形中至少有两个锐角。三角形内角和定理三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。三角形外角性质三角形外角性质三角形外角的定义等腰三角形的性质两腰相等，两底角相等；底边上的高、中线和顶角的平分线互相重合（三线合一）。等边三角形的性质三边相等，三个内角都等于60°；任意一边上的高、中线和这边所对角的平分线互相重合（三线合一）。特殊三角形性质02CHAPTER三角形中线性质与应用中线定义及性质中线定义连接三角形任意两边中点的线段叫做三角形的中线。中线性质三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且重心将中线分为2:1的两段。通过中线的性质，可以证明与中线相关的线段之间的相等或倍分关系。利用中线性质证明线段相等或倍分关系通过连接三角形的两边中点，可以构造出平行四边形，从而利用平行四边形的性质解决问题。利用中线构造平行四边形中线在解题中的应用中线与面积的关系三角形的中线将三角形分为面积相等的两个小三角形。利用中线求三角形面积通过中线的性质，可以求出与中线相关的三角形的面积。中线与面积关系已知三角形ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5cm，AC=3cm，求AD的取值范围。例题2已知三角形ABC的面积为S，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求三角形DEF的面积。例题3典型例题解析03CHAPTER三角形高线性质与应用高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。高线的性质锐角三角形三条高线交于一点，该点称为三角形的垂心。直角三角形的高线就是两条直角边，且两条高线互相垂直。钝角三角形有两条高线在三角形外部，交于一点，该点也在三角形的垂心上。高线定义及性质利用高证明线段相等或平行通过证明两个三角形的高相等或平行，可以进一步证明两个三角形全等或相似。利用高求角度在直角三角形中，已知两条高（即直角边）可以求出三角形的三个角度。利用高求面积三角形的面积等于底与对应高的乘积的一半，即$S=frac{1}{2}timestext{底}timestext{高}$。高在解题中的应用

高与面积关系面积公式三角形的面积$S$可以用底$a$和高$h$表示为$S=frac{1}{2}ah$。等底等高三角形面积相等如果两个三角形等底等高，则它们的面积相等。面积与高的关系当底不变时，三角形的面积与高成正比；当高不变时，三角形的面积与底成正比。典型例题解析例题1：已知三角形ABC中，AB=AC，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE+DF=2√2S△ABC/AB。解析：由于AB=AC，所以∠B=∠C。又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD=90°。因此，△BED∽△CFD，从而DE/DF=BD/CD。又因为S△ABC=S△ABD+S△ACD，所以2√2S△ABC/AB=2√2(S△ABD+S△ACD)/AB=2√2(DE×BD/2+DF×CD/2)/AB=(DE+DF)×BC/(2AB)。由于AB=AC，所以BC=2BD=2CD，因此(DE+DF)×BC/(2AB)=DE+DF。例题2：在锐角三角形ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB边上的高，且AD、BE交于点H，CF、AD交于点G，BE、CF交于点J。求证：H、G、J三点共线。解析：由于AD、BE、CF分别是BC、CA、AB边上的高，所以∠ADB=∠ADC=∠BEC=∠CFB=90°。因此，∠CAD+∠ACB=90°，∠CBE+∠ABC=90°，从而∠CAD=∠CBE。又因为∠ADB=∠BEC=90°，所以△ADB∽△BEC，从而AD/BE=BD/CE。又因为∠ADB=∠CFB=90°，所以△ADB∽△CFB，从而AD/CF=BD/BF。因此，BE/CF=CE/BF，即CF/BE=BF/CE。又因为∠CFB=∠CEB=90°，所以△CFB∽△CEB，从而∠FBC=∠ECB。因此，∠FHG=∠FJG=∠HJG=180°-∠FBC-∠ECB=180°-2∠ECB，所以H、G、J三点共线。04CHAPTER三角形角平分线性质与应用定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。角平分线将相对边分为两段，这两段与角的两边对应成比例。角平分线是角的内部到角的两边距离相等的点的集合。性质角平分线定义及性质利用角平分线的性质，可以求出与角平分线相关的角度。求角度证明线段比例求面积通过角平分线的性质，可以证明与角平分线相关的线段之间的比例关系。角平分线与三角形面积有密切关系，可用于求解与面积相关的问题。030201角平分线在解题中的应用角平分线与面积关系角平分线将三角形面积分为两部分，这两部分面积与角平分线分对边为两段的比例相同。面积分割若已知三角形两边及其夹角，可利用角平分线的性质求出三角形的面积。面积公式例2在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME//AD交BA的延长线于E，交AC于F。求证：BE=CF=1/2(AB+AC)。例1已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，交BC于点D。求证：AB/AC=BD/DC。例3已知三角形ABC的面积为S，AD是角BAC的平分线。求证：S(ABD)/S(ACD)=AB/AC。典型例题解析05CHAPTER三角形三线综合应用三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心。重心将每条中线分为两段，其中一段是另一段的两倍。重心性质三角形的三条高交于一点，该点称为三角形的垂心。垂心与三角形的三个顶点连线的中点在三角形的外接圆上。垂心性质三角形的三条垂直平分线交于一点，该点称为三角形的外心。外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。外心性质三角形的三条内角平分线交于一点，该点称为三角形的内心。内心是三角形内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等。内心性质三线交点性质VS通过几何证明或向量方法，可以证明三角形的三条中线、高、垂直平分线或内角平分线共点。共点性质应用利用共点性质可以解决与三角形相关的各种问题，如证明线段相等、角相等、面积关系等。共点证明三线共点问题探讨利用中线性质可以解决与三角形中线相关的问题，如证明中线定理、求三角形面积等。中线应用利用高线性质可以解决与三角形高相关的问题，如求三角形面积、证明垂线段最短等。高线应用利用垂直平分线性质可以解决与三角形垂直平分线相关的问题，如证明线段垂直平分、求点到直线的距离等。垂直平分线应用利用内角平分线性质可以解决与三角形内角平分线相关的问题，如证明角平分线定理、求三角形内角和等。内角平分线应用三线综合应用举例已知三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC的中点，求证：AD、BE、CF三线共点。例题1根据中线性质，可知D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，因此AD、BE、CF分别是三角形ABC的三条中线。根据三线交点性质中的重心性质，可知三条中线交于一点，即AD、BE、CF三线共点。解析已知三角形ABC中，AD是BC边上的高，AE是角BAC的平分线，AF是BC边的垂直平分线。求证：AD、AE、AF三线共点。例题2根据高线性质，可知AD是三角形ABC的高；根据内角平分线性质，可知AE是角BAC的平分线；根据垂直平分线性质，可知AF是BC边的垂直平分线。根据三线交点性质中的垂心性质和内心性质，可知三条线交于一点，即AD、AE、AF三线共点。解析典型例题解析06CHAPTER总结与拓展三角形的基本性质：包括三角形的定义、内角和、外角和、三边关系等。三角形的高、中线与角平分线：定义、性质及相互关系。三角形的相似与全等：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质。三角形的面积与周长：计算公式及应用。01020304知识体系回顾将复杂问题转化为简单问题，如通过添加辅助线将不规则图形转化为规则图形。转化思想将数量关系和图形性质结合起来，通过图形直观理解数量关系。数形结合思想根据问题的不同情况分类讨论，分别求解。分类讨论思想思想方法提炼审题分析实施检验解题策略建议01020304仔细阅读题目，明确已知条件和所求问题。分析问题的本质，确