节函数连续性教学讲稿

函数的连续【教学目的】使学生掌握函数连续性的概念和连续函数的概【教学要函数的连续【教学目的】使学生掌握函数连续性的概念和连续函数的概【教学要求1.一点连续的各种等价2.数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概的理解，并能熟练准确地识别不同类型的间断点3.清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵【教学重点】函数连续性概念【教学难点】函数连续性概念【教学时数】2（4）学时极限思想所反映出的函数的第一个动态性质就是函数的连续性，这里续性实际上也是实际问题中的常态，因此，连续性是实际研究中不可回避的题1刻画性定义（定义f(x在点x0的某邻域U(x0内有定义，若limf(xf(x0)【limf(x存在x（即xU(x0,)时，f(x)f(x0，则f(xx0连续，此时x0也称f(x)的连续点-1下面关于连续的各种描述是由极限的结果延伸出来的【讨论中很有用】下面关于连续的各种描述是由极限的结果延伸出来的【讨论中很有用】改变量定义记xxx0—称为x在点x0处的增量（或改变量yf(x0f(xf(x0f(x0xf(x0—称改变量f(x在点x0处的（单侧定义Heine定义。Cauchy定义，-2f(x)在点x0的某邻域U(x0f(x在点x0连续对任意0，存在0，当xxU(x0,(x0x0f(xf(x)f(x)在点x0的某邻域U(x0f(x在点x0连续对任意给定的数列xnlimxnx0，总有limf(xnf 【此关系由极限的归结原则立即可以推出。右连续f(x在点x的某右邻域Ux[xx limf(xf(x0，则f(x在点x0右连续0左连续f(x在点x的某左邻域U(xxx limf(xf(x0，则f(x在点x0左连续0连续与单侧连续的关系f(xx0连续f(xx0既右连续也左连续【此关系由极限与单侧极限的关系立即可以推出。f(x在点x0连续limylimf(x0xf(x0)0 2.连续性举例1（1）设x0R据理说明sinx，cosx，ax都在点x0连续理由 limsinx2.连续性举例1（1）设x0R据理说明sinx，cosx，ax都在点x0连续理由 limsinxsinx0limcosxcosx0limax0，表明sinxcosxax在R的每一点都连续。】xsin1,x（2f(x则f(x)在x0连续理由 xx【limf(xlimxsin10f(0)。xsinx1xx（3）设f(xx，f(x)(1x)xf(xg(x在x0x理由 。【理由同（2）2证明函f(xxD(x在x0连续，其中D(x是狄利克雷函f(0)01，limx0，所limf(xlimxD(x0f(0)xx二、间断点及其分1.函数在一点连续的条件——连续的三要由函数在一点连续的定义知，函数f(x)在点x0满足的条实际上上述等式蕴含了三个要-3（1）f(x)在x0有定义（即f(x0存在。limf(x)f思考：例2中的函数在x0【答案：由D(x的极限特点f(xxD(x在任何点x0都不连续似作出仅在两点ab（ab）连续，在其它点都不连续的函数。】【此关系由极限的 准则立即可以推出。。这三个要求习惯上称为函数连续的三要素limf(x)要存在是核心要求如果上述三个要求至少有一个不满足，f(x)在点x0不连2.函。这三个要求习惯上称为函数连续的三要素limf(x)要存在是核心要求如果上述三个要求至少有一个不满足，f(x)在点x0不连2.函数的间若函数(x)在点x0不连续x0的间断点（或不连续点）ff3.间断点的先分析影响间断点的【由连续的三要素知，影响f(x)在x0连续的核心要素x0f(x)的间断点的“核心”情况limf(x有两种情形一limf(x存在，但f(x0二limf(x不存在进一步，由极限与单侧极限的关系，对limf(x)不存在，又有两种一limf(x和limf(x至少有一个不存00二limf(x和limf(x都存在，但两者不相等00实际上可见下面，根据limf(x和limf(x的情况，对间断点进行分类00间断点的分类定义-4设x0f(x的间断（1）若limf(x和limf(x存在，且两者相等，即limf(x 影响间断点的因素，完全取决于两个单侧limf(x)limf(x)的情况 limf(x存也取决于limf(x和limf(x都存在，且两者相等 limflimf（2）limf(x要存在；（3）limf(xf xf(x)的可去间断点，作函f(x)xf(x)的可去间断点，作函f(x)注：若x，则f(x在连limf(x),x00续，f(xf(xx0的连续延拓sin3xxxf(x)sinx例 ，使得它在x0连续。。f(x) -5练习：写出下列函数的间断点，并指出类型（1）sinx【x0x（2）x【xkk01,2,，第一，跳跃】（3）1x0，第二，无穷】；（4）sin1【x0 进一步练习（5）黎曼函数R(x)【(0,1)中的有理点，第一，可去】；狄利克雷函数D(x)【R中的每一点，第二】。，则称x0为f(x)的可去间断点；【此时补充f(x0 limf(x)，则f(x)在x0连续。】若limf(x)和limf(x)存在， ，则称x0为f(x)的跳 间断点，此时区间limf(x),limf(x或limf(x),limf(xf(x在x的跳 区间若limf(x和limf(x至少有一个不存在，则称x0f(x的第二类间 点为f(x)的第一类间断点。在第二类间断点中，若limf(x（）或limf(x（） 成立，则x0也f(x)的无穷间断点limf(x)limf limf(x)f(x0三、区间上的连续函由定义知，常函数c，幂函数xn三、区间上的连续函由定义知，常函数c，幂函数xn（n为正整数），sinxcosx，指数ax（a0a1），ex都是R上的连续函数；对数函数logx（a0a1），lnxa是(0,上的连续函数；1x2是[1,1]上的连续5讨论下列函数在[2,2]上的连续性（1）f(x)x(x2其中x0和x1是第一类的x1（2）f(x)x【解答要点：不连续，有一个不连续点x0，是第二类的，且是无穷间点。-6按段连续（分段连续称f(x)在[ab]上按段连续（或分段连续）。x(x在此定义中，当I为闭区间或半开半闭区间时，对这些区间的f(x)这些端点连续是指左连续或右连续I[ab，左端点aIf(x在a连续是f(x)在点a右连续。区间上连续的定义f(x定义在区间I上f(x在I上的每一点都连续，则f(x在区间I上连续，此时也称f(x)为I上的连续函数If(x)的连续区间。f(x在I上不连续f(x在I上至少有一个不连续点中的（1）在[12上按段连续，x和xx在[3根据定义不难知道，例2上按段连续。【思考一下为什么？举出定义在[0,1]上且仅在点x11间中的（1）在[12上按段连续，x和xx在[3根据定义不难知道，例2上按段连续。【思考一下为什么？举出定义在[0,1]上且仅在点x11间断的函数的例子，如果要,23函数为上的按段连续函数，则函数又如何作1【解答要点：显满足要求f(x)x1x1x1 2 3 4要使函数按段连续x1x1x1 2 3 4（特点：间断点均为可去间断点）f(x)x1x1x1 2 3 4f(x)sgnx1x1x1（特点：间断点均为跳跃间断点）即2 34；-7探索与思考在I内的间断点（不是I的端点）的类型有何【解答要点（1）不一定连续，例如：f(x)1,x0是单调递增的，但它在x0不连0,x【观察：x0f(x)1,x0的跳跃间断点0,x结果也是真的吗？（2）设x0If(x的间断点，由函数的单调有界定理limf(x和limf 都存在，即x0f(x的第