立体几何与空间向量（解答题）-《2022届山东高考模拟数学试卷分项解析2》【原卷版】

《2022届山东高考模拟数学试卷分项解析》

专题15立体几何与空间向量（解答题）

1

=AO现

40.（2022.山东日照.二模）如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=BC=CD2-

以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且24,CD.

P(B)

■\

D

（1）证明：平面APC，平面AQC；

⑵若何为上一点，且三棱锥O-ACM的体积是三棱锥P-ACM体积的2倍，求二面角

P-AC-"的余弦值.

41.（2022.山东威海.三模）如图所示，在等边AMC中，AB=6,M,N分别是45,AC上

的点，且AM=4V=4,E是8c的中点，AE交MN于点、F.以MN为折痕把折起,

使点A到达点P的位置（0<NPFE<万），连接PB,PE,PC.

（1）证明：MN工PE；

2

（2）设点P在平面ABC内的射影为点Q,若二面角尸-MN-3的大小为:），求直线QC与平

面PBC所成角的正弦值.

42.（2022•山东省实验中学模拟预测）如图，在三棱柱ABC-ABC中，AC=BBt=2BC=2,

NCBB]=2ZCAB=-,且平面ABC±平面B,C,CB.

(1)求证：平面/WC，平面4Cg；

(2)设点户为直线8c的中点，求直线同尸与平面AC4所成角的正弦值.

43.(2022•山东枣庄•三模)如图，在平行六面体ABCD-ABCR中，A。，底面A8CO,

AB=A\=2AD=2,ZDAB=60°.

(1)证明：ADL\B.

(2)设点P为线段。G上一点(异于。，G),当。P为何值时，平面APB与平面例夹角

的余弦值最大？

44.(2022•山东荷泽・二模)如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABC。是边长为2的正方形,

ZAPD=^,PB=PC,ZABP=ZDCP,APBC的面积是△P4D的面积的石倍.

(1)证明：平面以。，平面ABCC；

(2)若E为8c的中点，尸为线段PE上的任意一点，当。F与平面PBC所成角的正弦值最大

时，求平面阴。与平面ABCO所成角的正切值.

45.(2022•山东•德州市教育科学研究院二模)《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写

的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最

简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算

术•商功》篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,

现有“阳马”尸一A8C。，底面为边长为2的正方形，侧棱以_1_面/188,以=2,E、F为

边BC、CQ上的点，CE=ACB>#=4而，点M为AD的中点.

⑴若石;，证明：面尸8吐1面B4F；

(2)是否存在实数4,使二面角人防一A的大小为45。？如果不存在，请说明理由；如果存

在，求此时直线8M与面「£尸所成角的正弦值.

46.(2022•山东临沂•二模)如图，AB是圆柱底面圆。的直径，AA、CG为圆柱的母线，四

边形A8C。是底面圆。的内接等腰梯形，且A8=例=28C=2C£>,E、尸分别为A。、C、C

的中点.

(1)证明：E/〃平面A8CD；

(2)求平面OE尸与平面BCG夹角的余弦值.

47.(2022•山东滨州♦二模)如图，在四棱锥P—A3C。中，PA_L底面ABCO,底面ABCD是

等腰梯形，AD//BC,BC=2AB=2AD=6五,E是PB上一点，且P8=3PE.

(1)求证：PD〃平面说；

(2)已知平面AEC_L平面PBC,求二面角A—CE-O的余弦值.

48.(2022•山东临沂•模拟预测)如图，四棱锥P-A8CZ)的底面为正方形，PDIJ&^ABCD.设

平面PAD与平面PBC的交线为I.

(1)证明：L平面PQC；

(2)已知PD=AO=1,。为/上的点，求PB与平面。CO所成角的正弦值的最大值.

49.(2022・山东泰安,三模)如图，四边形ABC。为平行四边形，点E在AB上，AE=2EB=

2,JiDELAB,沿OE将AADE折起，使点A到达点厂的位置，且NFEB=60。.

(1)求证：平面8FC_L平面8C0E；

(2)若直线。尸与平面BCQE所成的角的正切值为正，求平面OEF与平面。尸C的夹角的余

5

弦值.

50.(2022.海南华侨中学模拟预测)如图，四棱锥P-ABCO的底面为梯形，底面

^BAD=ZCDA=90P,AD=AB=\,CD=2,E为抬的中点.

(1)证明：平面平面BCE；

(2)若二面角P-BC-E的余弦值为平，求三棱锥P-BCE的体积.

51.(2022・山东济南・二模)在底面为正三角形的三棱柱ABC-AqG中，平面A8CL平面

BCCE,ZCBBt=60°,伍=248=4.

AA

(1)证明：^C±A,Cl；

(2)求二面角C-AB-A)的余弦值.

52.(2022•山东泰安・二模)如图，在四棱锥P—48CO中，底面4BC。为菱形，且ND4B=

60°,PD=AD,POJ_平面A8C£>,M为BC中点，丽=2而(0<2<l).

(2)当；I取何值时，二面角B-QN-M的余弦值为巫.

5

53.(2022.山东淄博.模拟预测)如图，已知三棱柱48C-A,4G的棱长均为2,“AC=60。,

(1)证明：平面AACC|_L平面4BC；

(2)设M为侧棱CC,上的点，若平面与平面ABC夹角的余弦值为回，求点M到直线

A4距离.

54.(2022.湖北.荆门市龙泉中学二模)如图，在三棱台A8C-A4G中，底面AABC为等边

三角形，平面48C,AC=2AA,=2A,C,=2,且。为AC的中点.

(1)求证：平面ABG，平面AfO；

(2)求平面\BD与平面BB£C夹角的余弦值.

55.(2022・山东聊城•二模)如图，在四棱锥E—ABCD中，EC_L平面ABC。，AB1BC,

△ACZ)是等边三角形，AC=2.

(1)若AB=1,求证：8(7_1平面。£；

(2)若二面角E-AB-。为30。，EC=1,求直线OE与平面ME所成的角的正弦值.

56.(2022•山东潍坊・二模)如图，线段AC是圆O的直径，点8是圆O上异于A,C的点，

AC=2,BC=1,以，底面ABC,M是PB上的动点，且丽=/1方(0<2<1),N是PC的

中点.

⑴若时，记平面AMN与平面ABC的交线为/,试判断直线/与平面P8C的位置关系,

并加以证明；

⑵若平面P8C与平面ABC所成的角为f,点M到平面以C的距离是且，求2的值.

43

57.（2022•山东•模拟预测）如图，C是以AB为直径的圆。上异于A,B的点，平面PAC_L

平面A8C,APAC为正三角形，E,尸分别是PC尸8上的动点.

（1）求证：BCLAE-,

⑵若E,尸分别是PC尸8的中点且异面直线加■与BC所成角的正切值为也，记平面AEr与

2

平面ABC的交线为直线/,点。为直线/上动点，求直线尸。与平面AEF所成角的取值范围.

58.（2022.山东•肥城市教学研究中心模拟预测）如图，圆台下底面圆。的直径为AB,