第20讲三角函数的概念及运算

新课标高中一轮总复习1第四单元三角函数与平面向量2知识体系34考纲解读一、三角函数.1.任意角的概念、弧度制.①了解任意角的概念.②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.2.三角函数.①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.5②能利用单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（±α，π±α）的正弦、余弦、正切，能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.③理解正弦函数、余弦函数在区间［0，2π］的性质（如单调性、最大和最小值与x轴的交点等）.理解正切函数在区间（-，）的单调性.④理解同角三角函数的基本关系式：sinx2+cosx2=1，=tanx.6⑤了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义；能画出y=Asin(ωx+φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.3.三角恒等变换.(1)和与差的三角函数公式.①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.7②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.（2）简单的三角恒等变换.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.84.解三角形.(1)正弦定理和余弦定理.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.(2)应用.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.二、平面向量.1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示；92.掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算性质及其几何意义.5.了解平面向量的基本定理及其意义.6.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.7.会用坐标表示平面向量的线性运算(加、减、数乘).8.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.109.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.10.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.11.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.12.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.13.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.11第20讲任意角的三角函数、同角公式与诱导公式121.了解任意角与弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，=tanx.134.能利用单位圆中的三角函数线推导正弦、余弦、正切的诱导公式.5.能灵活应用同角公式、诱导公式进行简单三角函数的化简、求值、证明.141.下列说法正确的是()BA.若α的终边在第一象限，则α可以是正角、负角或零角B.6×360°+α（α为角度）与-6π+α(α为弧度)的终边相同,但大小不相等C.一条弦的长度等于半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数为D.若β为第二象限角,则2nπ+<<2nπ+，n∈Z2p15选项A中零角一定为坐标轴上角，故错；由终边相同概念和角度与弧度互化知，B正确；选项C中弧度数还可能为；D中由第二象限角范围得nπ+<<nπ+，n∈Z，故错.2p162.若角α的终边经过点P（3a,-4a)(a<0)，则sinα的值为()DA.-B.C.-D.

P(3a,-4a)（a<0)，则x=3a，y=-4a，则|OP|=5|a|=-5a，故sinα==.173.已知x为第二象限角，且tan2x+3tanx-4=0，则=

.tan2x+3tanx-4=0，则tanx=-4或tanx=1（舍去）.由同角公式得==.18=-+原式=tan(360°-60°)+=-tan60°+=.4.(2010·模拟)tan300°+的值为

.195.化简：若α为第二象限角，则-=

.-2tanα原式====-2tanα.201.角的概念的推广(1)任意角、正角、负零和零角.(2)象限角、轴线角.(3)终边相同的角:可以用①

.表示.k·360°+α(k∈Z)或k·2π+α(k∈Z)212.任意角的三角函数P（x,y）为角α终边上一点，|OP|=r，则sinα=②

，cosα=③

，tanα=④

（x≠0）.3.同角三角函数关系式平方关系：sin2α+cos2α=⑤

.商数关系：tanα=⑥

.1224.诱导公式(1)2kπ+α,-α,π±α的三角函数值等于α的⑦

函数值,前面加上把角α看成⑧

时⑨

的符号.即“名称不变,符号看象限”.(2)±α的三角函数值等于α的

.函数值，前面加上把α看成

.

时

.的符号.即“名称要变，符号看象限”.(3)k·±α（k∈Z）的三角函数值，可概括为：“奇变偶不变，符号看象限”.同名锐角原函数值10余名11锐角12原函数值23题型一角的相关概念及角的度量互化例1

(1)集合M={x|x=×180°+45°,k∈Z},N={x|x=×180°+45°,k∈Z},则集合M与N的关系为

；MN24(2)把-1305°化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式是()A.-7π-

B.-6π-C.-8π+

D.-9π+C(1)先变形，再对整数k的奇、偶展开讨论，找到角终边的具体位置，用数形结合法求解；(2)先把角度化成弧度，再写成2kπ+α的形式，满足α、k的限制条件.25

(1)因为M={x|x=(2k+1)×45°，k∈Z}表示终边落在四个象限的平分线上的角的集合.同理N={x|x=(k+1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的角的集合，所以M

N.(2)因为1305°=1305×=π=7π+,所以-1305°=-7π-

=-8π+(π-)=-8π+.此时k=-4,α=，故选C.26探寻以集合形式表示的终边相同的角的关系时，对整数k的讨论最关键；若题中给出了(m为已知整数，k∈Z)，常分k=mk′，mk′+1，mk′+2，…，mk′+(m-1)(k′∈Z)完全讨论，角度与弧度的互化，除满足限制条件外，还需注意结果的纯洁性：角度、弧度要“分家”.27题型二三角函数的化简、求值例2已知cosα=-，且<α<π，求的值.从cosα=-中可推知sinα，tanα的值，再用诱导公式即可求值.28因为cosα=-，且<α<π，所以sinα=，tanα=-,所以原式==-tanα=.29(1)应用诱导公式进行三角函数的化简，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀，解题思路是“化负角为正角，化复杂角为简单角，化非锐角为锐角”，即“去负→脱周→化锐”三步.(2)掌握常用的勾股数组“3，4，5”，“5，12，13”，“7，24，25”，“8，15，17”，“9，40，41”，快速给值求值.30化简：原式==-1.31题型三三角关系式的应用已知sin(π-θ)，cosθ是方程3x2-x+m=0的两个根，且<θ<π.(1)求m与sinθ-cosθ的值；(2)若f(tanα)=3sin2α-2sinαcosα-3，求f(cosθ-sinθ)的值.例332（1）由根与系数的关系得sinθ+cosθ，sinθ·cosθ的值，再根据“sinθ+cosθ，sinθ·cosθ,sinθ-cosθ”中“知一求二，知二求参”，配上公式正确求值.（2）先求出f(x)的表达式，再代值求值.33（1）依题意sin(π-θ)+cosθ=

sin(π-θ)·cosθ=，即sinθ+cosθ=①

sinθ·cosθ=,②由①2-2×②=1,得()2-2×=1,解得m=-.又因为<θ<π,sinθ>0,cosθ<0,sinθ-cosθ>0,所以sinθ-cosθ===.34(2)因为f(tanα)=3sin2α-2sinαcosα-3=-3=-3.所以f(cosθ-sinθ)=f(-)=-3=-.35(1)在“sinθ+cosθ,sinθ·cosθ,sinθ-cosθ”中“知一求二”,宜用整体思想,利用平方转换,常用结论为：(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ，(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2；(sinθ+cosθ)2-(sinθ-cosθ)2=4sinθcosθ.(2)型如通过分子分母同除以cosα,弦化切、异名化同名；

asin2α+bsinαcosα+ccos2α通过添分母(sin2α+cos2α),再分子、分母同除以cos2α，化弦为切、统一函数名.36已知-<x<0，sinx+cosx=.（1）求sinx-cosx的值；（2）求的值.37(方法一)(1)由sinx+cosx=,两边平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=，得2sinxcosx=-,所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=,又因为-<x<0,所以sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0,故sinx-cosx=-.38(2)原式==sinxcosx(2-cosx-sinx)=(-)×(2-)=-.39(方法二)(1)联立方程组sinx+cosx=①sin2x+cos2x=1②由①得sinx=-cosx，将其代入②，整理得25cos2x-5cosx-12=0，所以cosx=-或cosx=.因为-<x<0，所以sinx=-

cosx=，故sinx-cosx=-.40(2)原式=

=sinxcosx(2-cosx-sinx)=(-)××(2-+)=-.411.在求值与化简时，常用的方法有：①弦切互化，主要公式为tanx=,sinx=tanx·cosx；②和积互化,利用(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx的关系进行变形、转化；42③巧用“1”的变换：1=sin2x+cos2x.2.在求值、化简时，要细心观察三角函数式的特征，灵活、恰当地选用公式.思路一:切化弦，思路二:化为同名函数.3.运用诱导公式的关键在于函数名称与符号的正确判断和使用.43学例1(2009·卷)下列关系式中正确的