工程数学-线性代数课后题答案-第五版6

工程数学--线性代数课后题答案_第五版第六章线性空间与线性变换1验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间并写出各个空间的一个基(1)2阶矩阵的全体S1解设AB分别为二阶矩阵那么ABS1因为(AB)S1kAS1所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间是S1的一个基.(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2解设ABS2因为所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间是S2的一个基(3)2阶对称矩阵的全体S3.解设ABS3那么ATABTB因为(AB)TATBTAB(AB)S3(kA)TkATkAkAS3所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间.是S3的一个基.2验证与向量(001)T不平行的全体3维数组向量对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间解设V{与向量(001)T不平行的全体三维向量}设r1(110)Tr2(101)T那么r1r2V但r1r2(001)TV即V不是线性空间.3设U是线性空间V的一个子空间试证假设U与V的维数相等那么UV证明设12n为U的一组基它可扩充为整个空间V的一个基由于dim(U)dim(V)从而12n也为V的一个基那么对于xV可以表示为xk11k22krr显然xU故VU而由知UV有UV4设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间a1a2ar是Vr的一个基试证Vn中存在元素ar1an使a1a2ar,ar1an成为Vn的一个基证明设rn,那么在Vn中必存在一向量ar1Vr它不能被a1a2ar线性表示将ar1添加进来那么a1a2ar1是线性无关的假设r1n那么命题得证否那么存在ar2L(a1a2ar1)那么a1a2ar2线性无关依此类推可找到n个线性无关的向量a1a2an它们是Vn的一个基5在R3中求向量(371)T在基1(135)T2(632)T3(310)T下的坐标解设123是R3的自然基那么(123)(123)A(123)(123)A1其中因为所以向量在基123下的坐标为(3382154)T6在R3取两个基1(121)T2(233)T3(371)T1(314)T2(521)T3(116)T试求坐标变换公式解设123是R3的自然基那么(121)(123)B(123)(121)B1(121)(123)A(121)B1A其中设任意向量在基123下的坐标为(x1x2x3)T那么故在基123下的坐标为7在R4中取两个基e1(1000)Te2(0100)Te3(0010)Te4(0001)T1(2111)T2(0310)T3(5321)T3(6613)T(1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵解由题意知从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为(2)求向量(x1x2x3x4)T在后一个基下的坐标解因为向量在后一个基下的坐标为(3)求在两个基下有相同坐标的向量.解令解方程组得(k为常数)8说明xOy平面上变换的几何意义其中(1)解因为所以在此变换下T()与关于y轴对称(2)解因为所以在此变换下T()是在y轴上的投影(3)解因为所以在此变换下T()与关于直线yx对称(4).解因为所以在此变换下T()是将顺时针旋转9n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个维线性空间.给出n阶矩阵P以A表示V中的任一元素变换T(A)PTAP称为合同变换.试证合同变换T是V中的线性变换证明设ABV那么ATABTBT(AB)PT(AB)PPT(AB)TP[(AB)P]TP(APBP)TP(PTAPTB)PPTAPPTBPT(A)T(B)T(kA)PT(kA)PkPTAPkT(A)从而合同变换T是V中的线性变换10函数集合V3{(a2x2a1xa0)ex|a2a1a0R}对于函数的线性运算构成3维线性空间在V3中取一个基1x2ex2xex3ex求微分运算D在这个基下的矩阵.解设1D(1)2xexx2ex2212D(2)exxex323D(3)ex3易知123线性无关故为一个基.由知即D在基123下的矩阵为