2022年广东省佛山市禅城区高考数学调研试卷及答案解析

2022年广东省佛山市禅城区高考数学调研试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合A={x*<2x}，集合B={x|x<l},则ACIB=()

A.(-8,2)B.(-8,I)C.(0,1)D.(0,2)

2.（5分）若复数z满足”z=2-i,则|z|=()

A.1B.2C.V3D.V5

华(2］：),xVl,则八一2)+/(/〃4)=()

3.(5分)已知函数/（x）=

A.2B.4C.6D.8

4.（5分）如图所示，AABC中，点。是线段8c的中点，E是线段AZ）的靠近A的三等分

点，则尾=（）

5T1T2T1-

c.一…d4BD.-+可/8

5.（5分）已知/«>0且加W1,贝ijlog,"”>0是(1-/n)(1-n)>0的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

-1sin(2a+^)-l

6.(5分)若tana=)'则§皿3兀-2a)()

1

A.-B.C.2D.-2

2

7.（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名

次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五.据此推测5人的名次排列

情况共有（）种

A.5B.8C.14D.21

8.（5分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据规定：驾驶员的100〃也血液中酒精含

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量为［0,20）mg,不构成饮酒驾车行为（不违法），达到［20,80）mg的即为酒后驾车，

80,明及以上为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了

l.6mg/mL,若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少20%,要想不构成酒驾行为，

那么他至少经过（）（参考数据：0.84=0.41,,,）

A.4小时B.6小时C.8小时D.10小时

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

（多选）9.（5分）下列说法正确的有（）

11

A.若a>b,则一>一B.若a>b,则/

ab

C.若曲=1,贝D.若/+/=［,贝

（多选）10.（5分）给出下列命题，其中正确命题为（）

A.若样本数据xi,X2,xio的方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,…，2xio-1的方

差为4

B.回归方程为y=0.6-0.45x时，变量x与y具有负的线性相关关系

C.随机变量X服从正态分布N（3,。2）,p（X^4）=0.64,则P（2WXW3）=0.07

D.相关指数R2来刻画回归的效果，产值越大，说明模型的拟合效果越好

（多选）11.（5分）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白

球和2个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以4,A2和A3表示由甲罐取

出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M表示由乙罐取出的

球是红球的事件，下列结论中正确的是（）

A.P（M|4）=盘

B.P（M）=1

C.事件M与事件Ai不相互独立

D.4,AbA3是两两互斥的事件

px—1,Y>

一（WGR）,贝U（）

{—（%+2）2,x<m

A.对任意的机6R,函数f（x）都有零点

B.当时，对VxiW%2,都有（xi-：V2）（f（xi）-f（%2））<0成立

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C.当布=0时，方程*（x）]=0有4个不同的实数根

D.当加=0时，方程/（x）=0有2个不同的实数根

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）在（«-/）5的展开式中，含尤项的系数为.

14.（5分）已知函数/（x）=ax-ln（炭+1）（aeR）为偶函数，则“=.

15.（5分）等比数列｛〃“｝的前”项和为S”数列｛〃”｝为单调递增数列，且数列｛%｝为单调递

减数列，写出满足上述条件的一个数列仅〃｝的通项公式.

16.（5分）在△48C中，内角4,8,C所对的边分别为a,b,c,且△ABC的面积为S=与a2,

且必+02-kbcWG恒成立，则k的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知公差dWO的等差数列｛“”｝的前〃项和为S”55=25,及是m与。5的等比

中项.

（1）求数列｛"”｝的通项公式；

（2）设加=7rJ—,求数列｛办｝的前"项和7k

即以九+1

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1

18.(12分)已知函数/'(x)=2x一,一a，nx.

(1)已知f(x)在点(1,/(I))处的切线方程为、=为求实数a的值;

(2)已知/(x)在(1,+8)上是增函数，求实数a的取值范围.

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19.(12分)在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并

独立完成所抽取的3道题.甲能正确完成其中的4题，乙能正确完成每道题的概率为1,

且每道题完成与否互不影响，规定至少正确完成2道题便可过关.

(1)记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X,求X的分布列和期望；

(2)记乙能答对的题数为匕求丫的分布列、期望和方差.

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B+Cr~

20.(12分)在①3tzsinC=4ccosA；②2公也《一=A/^asinB这两个条件中任选一个，补充

在下面问题中，然后解答补充完整的题.

在△A2C中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,已知,a=3&.

(1)求sinA；

(2)如图，/为边AC上一点，MC=MB,求边c.

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21.（12分）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音

功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很

快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且

云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服

务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品）,

统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：

年优售里万件

20

10

00

90

80

70

60

50

40

30

20

10

1020304050607080年营稍费用工/万元

图2

产品的性能指数在［50,70）的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在［70,90）的适合

小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在［90,110］的适合大班幼儿使用（简称C类产

品），A,B,C,三类产品的销售利润分别为每件1.5,3.5,5.5（单位：元）.以这100

件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.

（1）求每件产品的平均销售利润；

（2）该公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，

对近5年的年营销费用加和年销售量2,3,4,5）数据做了初步处理，得到

的散点图（如图2）及一些统计量的值.

%ZF=ivi（u；-u）（Vi-u）SF=i（%-刃2

16.3024.870.411.64

表中vi—lnyi,u=|sf=iui（u=1Xf=i火.

根据散点图判断，y=〃•）可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回

归方程.

（/）建立y关于x的回归方程；

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（»）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到

最大？

（收益=销售利润-营销费用，取’59=64）.

参考公式：对于一组数据（Ml,Ul）,（M2,U2）,…，（Un,U"），其回归直线U=a+0U

的斜率和截距的最小二乘估计分别为0=£陶3-五）（外7）,。=5-0小

必（…）

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22.(12分)已知函数/(x)=^+(a-2e)x-lax1.

(I)当〃=0时，求函数/(x)的最小值；

(II)若函数/(%)在区间(0,会内存在零点，求实数。的取值范围.

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2022年广东省佛山市禅城区高考数学调研试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合4={尤|/<2%},集合B={xb<l},则()

A.(-8,2)B.(…，i)C.(0,1)D.(0,2)

解：因为集合4=37<2¥}={川7-2.r<0}={x|0<x<2},

集合8={x|x<l}，

所以ACB={x[0<x<l}=(0,1).

故选：C.

2.(5分)若复数z满足"z=2-i,则|z|=()

A.1B.2C.V3D.V5

解：因为，、z=2-i,所以z=掌==一1一2i,

所以|z|二V(-l)2+(-2)2=V5,

故选：D.

3.(5分)已知函数/(x)=(吸。-x),xVI,则/■(-2)+/1(历4)=()

\ex,x>1

A.2B.4C.6D.8

e—s,、

解：.・,函数/(x)=(lo"g2I(2-%)),%<1,

Vex,x>1

・"(-2)=log24=2,

f(加4)=e'"4=4,

・・・/(-2)4/(加4)=2+4=6.

故选：C.

4.(5分)如图所示，△ABC中，点。是线段3C的中点，E是线段4。的靠近A的三等分

点，则薪=()

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A

E

5T1一2T1-

A.-zAB+z4CB.一可AB+可71。C.—ZACD.-QAC4-AB

oOoo33

解：据题意得:

[TT]1T5T1T

BE=AE-AB^AD-AB(4B+AC)-AB—+zAC,

332oo

故选：A.

5.(5分)已知m>0且mW1,则logw”>0是(1-/»)(1-〃)>0的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：若机>1,由log,”〃>0得此时1-机<0,1-n<0,贝ij(1-/n)(1-n)>0

成立,

若0<机<1,由log,”〃>0得此时l-w>0,1-n>0,则>0

成立,

即充分性成立,

m>l或THVIm<1

若(1-加(1-〃)>0则,当ov次vi,〃=o时，满足，但logwH

,71>1nVI.71<1

>0无意义，即必要性不成立,

即log"阴>0是(1-m)(1-n)>0的充分不必要条件,

故选：A.

isin(2(zH—7T)—1

6.(5分)若tcma=亍则.~~今二7=()

2sm(37T-2a)

1

A.一B-C.2D.-2

2

解：*.*tana=

sin(2a+^)-lcos2a-l-2sin2a1

=—tana

sin(37r-2a)sin2a2sinacosa2

故选：B.

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7.（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加''党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名

次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五.据此推测5人的名次排列

情况共有（）种

A.5B.8C.14D.21

解：根据题意，分2种情况讨论：

①若乙是第五，则丙、丁、戊安排在第一、二、四名，有A33=6种安排方法,

②若乙不是第五，则乙的安排方法有2种，丙的安排方法有2种，剩下2人有422=2种

安排方法,

此时有2X2X2=8种安排方法，

故有6+8=14种安排方法，

故选：C.

8.（5分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据规定：驾驶员的100〃4血液中酒精含

量为［0,20）mg,不构成饮酒驾车行为（不违法），达到［20,80）mg的即为酒后驾车,

80/咫及以上为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了

1.6mg/mL,若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少20%,要想不构成酒驾行为，

那么他至少经过（）（参考数据：0.84=0.41,,,）

A.4小时B.6小时C.8小时D.10小时

解：设酒后经过x小时后就不构成酒驾，

A160X（I-20%）x<20,

.,.0.8J<0.125,

.D10,

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

（多选）9.（5分）下列说法正确的有（）

11.

A.若a>b,则一>一B.若a>b,则〃

ab

C.若ab=l,贝D.若J+/=1,则"s$

11

解：A.根据。>b,取。=0,人=-1,则-1不成U,故A不正确；

ab

B.若a>b,则根据不等式的性质可知，a3>b\故8正确；

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C.根据〃6=1,a=b=-1,则不成立，故C不正确;

D.根据/+/=1,可得1=/+.22岫，...浦冬，故。正确.

故选：BD.

（多选）10.（5分）给出下列命题，其中正确命题为（）

A.若样本数据xi,xi,­­•,刈）的方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,…，2xio-I的方

差为4

B.回归方程为y=0.6-0.45x时，变量x与y具有负的线性相关关系

C.随机变量X服从正态分布N（3,。2）,尸（XW4）=0.64,则P（2WXW3）=0.07

D.相关指数R2来刻画回归的效果，解值越大，说明模型的拟合效果越好

解：逐一考查所给的选项：

若样本数据xi,X2,…，xio的方差为2,则数据2x2-1,…，2xio-l的方差为

2?X2=8,故4错误，

回归方程为y=0.6-0.45x时，由于b=-0.45V0,故变量x与y具有负的线性相关关

系，故8正确，

随机变量X服从正态分布N（3,。2）,P（XW4）=0.64,由正态分布的对称性可得：P

（3<XW4）=0.64-0.5=0.14,所以P（2WXW3）=0.14,故C错误，

相关指数解来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此。正确，

故选：BD.

（多选）11.（5分）甲罐中有4个红球，3个臼球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白

球和2个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以Ai,A2和A3表示由甲罐取

出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M表示由乙罐取出的

球是红球的事件，下列结论中正确的是（）

A.P（M|4）=4

B.P（M）=1

C.事件M与事件4不相互独立

D.Ai,4，心是两两互斥的事件

4?4A12

解：对于A,P（Ai）=芯=E，PCAiM）=-jgxyj=

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12

；，(M4)=虢?臂帮，故A正确;

对于B,P(42)=P(43)=亩

P(M|A2)=P(MA2)=缶3乂言5=务3

：.P(M)=P(Ai)P(M4)+尸(A2)P(MA2)+P(加)P(MA3)

=lxn+^xn+^xn=il,故8错误；

对于C,P(AiM)中P(Ai)P(M),...事件M与事件Ai不相互独立，故C正确;

对于C,Ai,A2,A3两两互不发生，是两两互斥的事件，故。正确.

故选：ACD

px—1,T>171

。一(wieR),则()

{—(x+2)2,x<m

A.对任意的〃£R,函数f(x)都有零点

B.当mW-3时，对VxiW%2,都有(xi-%2)(/(xi)-f(x2))<0成立

C.当胆=0时，方程咒f(x)]=0有4个不同的实数根

D.当机=0时，方程f(x)V(-x)=0有2个不同的实数根

解：对于A：作出函数1和y=-7-4x-4的图象如图所示：

y=-x2-4x-4

当机>0时，函数/(x)只有1个零点，

当-2<,〃W0时，函数/(x)有2个零点，

当"?W-2时，函数只有1个零点，故A正确;

对于B：当机W-3时，函数/(X)单调递增，

若当〃?W-3时，对VxiWx2,都有(xi-X2)"(xi)-f(A2))<0成立，则/(x)单调

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递减，故8错误；

对于C：〃?=0时，/(f)=0得fi=-2,a=0,

当/(x)=fi=-2时，方程有两个解，

当/(x)=12=0时，方程有两个解，

所以方程用'(x)1=0有4个不同的实数根，故C正确；

对于£＞：当〃?=0时，方程/(x)4/(-x)=0的根为/(x)=-于(-X)的根,

令h(x)=-/(-x),

作出/(x),h(x)的图象：

可得函数f(x)与h(x)有三个交点，其中包括x=0,

即方程f(x)+f(-X)有三个根，

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)在(女一15的展开式中，含x项的系数为一慨.

LX——Z——

1_15-3r

解：；(我一给5的展开式中，通项公式为

令一5—73-r=1,求得〃=1,可得展开式中含X项的系数5X(-11)=-1r,

222

故答案为：-2

1

14.(5分)已知函数/(x)=or-In(F+l)(〃€R)为偶函数，则〃=y_

解：根据题意，函数/(冗)=ax-In(e"+l)(aER)为偶函数，则有f(x)=f(x),

即ax-In(/+1)=-ax-In(eX+1),

变形可得2以=勿(炉+1)-In(一11)=lnex=x,

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必有a=I；

故答案为：

15.（5分）等比数列｛“”｝的前〃项和为S”数列｛如｝为单调递增数列,且数列｛S｝为单调递

减数列，写出满足上述条件的一个数列｛板｝的通项公式（答案不唯一：满足

m<0,0<〃<1即可）.

解：•.•等比数列｛板｝的前〃项和为品，数列｛加｝为单调递增数列，且数列｛%｝为单调递减

数列，

.•.41V0,0<^<1,

满足上述条件的一个数列｛如｝的通项公式为：a”=一方（答案不唯一：满足ai<0,0

<q<\即可）.

故答案为：=—｝（答案不唯一：满足41V0,OVqVl即可）

16.（5分）在△ABC中，内角A,8C所对的边分别为a,b,c,且的面积为S=与心,

4

4V3

且h2+c2-kbcWO恒成立，则k的最小值为.

解：ZViBC的面积为S=^a2,...s=^a2

=^bcsinA,可得：6Z2=詈".

・7,222bcsinA

..2bccos4A=b+c-cr^kbc------尸一.

化为：女22cosA+-^sinA=^^sin(A+5),

Vsin（A+J）<1,A=1时取等号.

3DO

4\/3

故答案为：-y.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知公差d#0的等差数列｛“八｝的前”项和为S,S5=25,“2是。I与。5的等比

中项.

（1）求数列｛加｝的通项公式；

（2）设力尸二:+J求数列｛力，｝的前〃项和乙.

解：（1）公差d#0的等差数列｛〃“｝的前〃项和为S”，55=25,“2是m与公的等比中项.

可得自：豆+3=2：解得｛?=J,

（（%+dy=a1•@+4d）Id=2

第16页共22页

所以〃〃=1+2(〃-1)=2n-1.

11ii1

(2)bn—Q九.Q九+i—(2n—l)(2n+l)—2(2n—1

,11、_几

••7n=2(1-3+3-5+-"+2?I=l_271+1)=271+1-

1

18.(12分)已知函数/(x)=2x-亍一出nx.

(1)已知/(x)在点(1,/(l))处的切线方程为>=X，求实数a的值；

(2)已知/(x)在(1,+8)上是增函数，求实数a的取值范围.

解：(1)f(x)=2x———alnx,•"«=2H—工——(1分)

：.f(1)=3-a,(2分)

又了(X)在点(1,/(1))处的切线方程为了=犬，f(1)=3-a=\,(3分)

解得a=2：(4分)

(2)/(x)在(1,+8)上为增函数，.♦./(%)=2+5-襄。在(1,+8)上恒成立,

(6分)

...aW2x+1在(1,+8)上恒成立，...a<(2x+3mi”，0分)

11

令9(%)=2%+彳，g'(x)=2-葭，(8分)

人X

当(1,+°°)时，g'(x)>0.；.g(x)=2x+[在(1,+8)上单调递增，(10分)

：.g(x)>g(1)=2+1=3,(11分)

故”的取值范围为(-8,3],(12分)

19.(12分)在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并

独立完成所抽取的3道题.甲能正确完成其中的4题，乙能正确完成每道题的概率为1,

且每道题完成与否互不影响，规定至少正确完成2道题便可过关.

(1)记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X,求X的分布列和期望；

(2)记乙能答对的题数为Y,求V的分布列、期望和方差.

解：(1)主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取

的3道题.

甲能正确完成其中的4题，所抽取的3道题中，甲答对的题数为X,

由题意得X的可能取值为1,2,3,

第17页共22页

P(X=1)==1

cl5

P(X=2)=笔^=|,

.♦.X的分布列为：

X123

P0.20.60.2

E(X)=0.2+1.2+0.6=2.…(6分)

(2)主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3

道题，

乙能正确完成每道题的概率为|,且每道题完成与否互不影响，

2

由题意丫的可能取值为0,1,2,3,且丫〜5(3,

p(y=o)=(扔=务

p(y=i)=程(|)鼾=探

p。=2)=或4)2(》=||,

八¥=3)=旗4)3=捺，

・・・丫的分布列为：

Y0123

P16128

1————

27272727

E(K)=0x2y+1x+2x2y+3x=2,

D(y)=(0-2)2x+(1-2)2x+(2-2)2x+(3-2)2x(12

分)

B+C"-

20.(12分)在①3asinC=4ccosA；②2bsin—5—=,asinB这两个条件中任选一个，补充

在下面问题中，然后解答补充完整的题.

在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,a=3虫.

(1)求sinA；

第18页共22页

（2）如图，M为边AC上一点，MC=MB,ZABM=求边c.

解：若选①，则答案为：

(1)在①3asinC=4c、cosA,

由正弦定理可得3sinAsinC=4sinCcosA,因为sinCWO,所以可得tanA=*

7144

在△ABC中，所以AE(0,—),所以sinA=/==『；

25

-TT.A.

(2)因为NABM=全设BM=CM="由图可得cos/8MC=-cosZBMA=-sinA=一蚩

在△BMC中，由余弦定理可得BC2=-BM2+CM2-2BM・CM・cosNBMC,而BC=a=3近,

所以18=2祖2-2川(-1),解得机=再，

在中，。=48=爆=卓=¥.

LLtfL/1_T*

3

若选②，则答案为：

(1)因为2〃sin2=Vs«sinB,所以2加in?=yfSasinB,

由正弦定理可得2sin8cos-=V5sinAsinB=2V5sin-cos-sinB,

222

.A>11A2

因)为sinBWO,cos-WO,所以sin—=-7=,cos—=-7=,

22V52v5

AA124

所以sinA=2sin-cos-=2--7=--7==

22v5y55

(2)答案同选①.

21.（12分）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音

功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很

快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且

云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服

务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品）,

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统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）:

产品的性能指数在［50,70）的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在［70,90）的适合

小班和中班幼儿使用（简称8类产品），在［90,110］的适合大班幼儿使用（简称C类产

品），A,B,C,三类产品的销售利润分别为每件1.5,3.5,5.5（单位：元）.以这100

件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.

（1）求每件产品的平均销售利润；

（2）该公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，

对近5年的年营销费用.，和年销售量9（i=l,2,3,4,5）数据做了初步处理，得到

的散点图（如图2）及一些统计量的值.

2

把14(u；-u)(u;-U)3=1-u)

16.3024.870.411.64

表中"i=bw,。i=lnyi,u=%，v=|Zf=i必・

根据散点图判断，），=”•一可以作为年销售量）'（万件）关于年营销费用x（万元）的回

归方程.

（/）建立y关于x的回归方程；

（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到

最大？

（收益=销售利润-营销费用，取*59=64）.

参考公式：对于一组数据（MI,u।）,（M2,U2）,…，（««,u”），其回归直线u=a+0〃

的斜率和截距的最小二乘估计分别为£=国工乂与包,a=v-pu.

£以1（%一正