2023年人教A版高中数学选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质

3.2.2双曲线的简单几何性质

3.2.2双曲线的简单几何性质（第1课时）.......................................1

3.2.2双曲线的简单几何性质（第2课时）.......................................26

3.2.2双曲线的简单几何性质（第1课时）

基础练习

一、单选题

I.若直线X=，与双曲线'-丁=]有两个交点，则/的值可以是（）

4

A.4B.2

C.1D.-2

【答案】A

【分析】利用双曲线的图形及性质，求出t的范围，即可得到选项.

【详解】在^"—）"=1中，xe—2]u[2,+8）,

当f=-2或f=2时，均只有一个交点，

当，€（-00,-2）=（2,+8）时，有两个交点，

当/€（—2,2）时，无交点.

2.已知双曲线方程三-汇=1,下列说法中正确的有（）

169

A.焦点坐标（0,±5）

B.该双曲线的图象过点（1,1）

C.焦距为10

D.双曲线上存在点尸，使得归用=8且国=0

【答案】C

【分析】由双曲线的标准方程及性质依次判断4个选项即可.

【详解】易知焦点坐标在x轴上，由d=16+9=25,焦点坐标为（±5,0）,A错误;

B错误；

169

由上知，焦距为2x5=10,C正确；

若归周=0,则P,鸟重合，显然行不在双曲线上，D错误.

3.双曲线V-2y2=2的焦点坐标为（）

A.（±1,0）B.（±6,0）C.（0,±l）D.（0,±V3）

【答案】B

【分析】将双曲线方程化成标准式，即可得到b2,从而求出c,即可得到焦点坐标；

【详解】解：双曲线V—2^=2,即工-y2=],所以/=2,6=1,

2

所以,2=/+从=3,即。=行，所以焦点坐标为上道,0）；

4.等轴双曲线的两条渐近线的夹角大小为（）

兀c兀-兀c27r

A.-B.-C.-D.—

4323

【答案】C

【分析】根据等轴双曲线的定义，可设a=b=l,以双曲线的中心为原点，焦点所在的射线为

x轴建立直角坐标系，写出双曲线的方程，由此得到渐近线方程，从而求得两渐近线的夹角.

【详解】由等轴双曲线的定义可知双曲线的实轴与虚轴长度相等，，实半轴与虚半轴的长度相

等，设不妨设a=b=l,以双曲线的中心为原点，焦点所在的射线为x轴建立直角坐标系，可

知双曲线的方程为--丁=1,两条渐近线方程为丫=日，这两条渐近线的夹角为

5.若双曲线G：£-1=1（">O力>0）和它的共辗双曲线C2的离心率分别为弓，%则。，%

a~b~

应满足的关系是（）

2。2211,11.

A.B.e~-e；=1C.——7=1D.—+-=1

【答案】D

22

【分析】由共聊双曲线可得C?:专一£=1,分别写出",《关于参数4、6的表达式，即可确

定答案.

【详解】由题设知：钎学且则

_11

所以w+v=l.

6.从某个角度观察篮球（如图1）,可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外

轮形状为圆。，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆。的交点将

圆。的周长八等分，AZ48c=8=1,则该双曲线的焦距为（）

【答案】c

【分析】建立平面直角坐标系，求得该双曲线的标准方程，进而求得其焦距.

【详解】如图，以。为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

22

设双曲线的方程为=-马=1（a＞0力＞0）,

a~b~

则该双曲线过点（夜词，且4=1,所以:仔=1，

解得〃=2,所以°2=〃2+从=3,得c=6，

所以该双曲线的焦距为26，

2222

7.双曲线•-方=1与5-方=2（/1H0）有相同的（）

A.实轴B.焦点C.渐近线D.以上都不对

【答案】C

【分析】根据双曲线的几何性质即可得到答案.

2-522

【详解】当4=2时，容易判断二一与=1与二-2r=2的实轴和焦点均不同，即A,B错误.

a'b'a-b

下面判断渐近线.

易知。。0出工0,现在仅讨论”＞（）力＞。时的情况，其它情况同理.

£-耳=1的渐近线为：y=±-x,

a"ba

若4＞0,则m一¥=；1=£-工=1,则渐近线方程为：y=±^-x=±-x,

a2b-Aa2Ab2阮a

若/<0,则4-£=；1=工J=l,则渐近线方程为：y=±^-x=±-X.

ab~-A,b~-yJ—Acia

于是，C正确，同时D错误.

2

8.已知点P是双曲线/一匕=1上的动点，过原点。的直线/与双曲线分别相交于M,N两点,

4

।uuiruum।

则|/狎+叫的最小值为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根据双曲线的对称性可得。为脑V的中点，即可得到尸M+PN=2PO,再根据双曲线

的性质计算可得；

【详解】解：根据双曲线的对称性可知。为脑V的中点，所以PM+PN=2PO,又尸在

2|UUQI||UUirUUU|illUUi

/一A=1匕所以poR1,当且仅当p在双曲线的顶点时取等号，所以=2/。卜2.

9.已知双曲线C：1-!=1的左右焦点为《，尸2,点P在双曲线C的右支上，点户关于原

点的对称点为。，则用耳|一|。制=（）

A.4B.2逐C.6D.2>/13

【答案】C

【分析】由双曲线的性质可得|尸玛|=|仍|,再利用双曲线的定义即得.

【详解】由双曲线的对称性可得点Q在双曲线的左支上，且|P闾=|。团，

.••I尸耳HQK|=|P£|—|P闾=2=6.

二、多选题

22

10.关于双曲线二一三=1,下列说法正确的是（）

164

A.实轴长为8B.焦距为4石C.顶点坐标为（±4,0）D.离心率为好

2

【答案】AD

［分析】利用双曲线的标准方程及其性质即可得出.

22

【详解】解：由双曲线^--二=1的方程，可知：a2=16,6=4,解得a=4,b=2,

164

/.c=J42+2「=2>/5•

实轴长=2x4=8,焦距为4石，因此A正确，8错误；

顶点坐标为（0,±4）,离心率e=£=225=鱼，因此C错误，£）正确.

a42

r2丫2

11.对于方程二一丁二1和二一丁=丸（2>0且丸工1）所表示的双曲线，有相同的（）

44

A.顶点B.焦点C.离心率D.渐近线

【答案】CD

【分析】化标准方程，比较离心率、顶点、焦点、渐近线

【详解】对于双曲线上-V=i,。=2,b=\,c=非;

4

顶点（±2,0）,焦点卜石,0）,离心率e=4,渐近线y=±gx

对于双曲线《―丁=讥即二一f=i

4-422

a'—2V2,b'=\［X，c'=V52,

顶点（±2VI,0）,焦点（土疯,0）,离心率e=逝，渐近线y=±gx

因此这两个方程表示的双曲线有相同的离心率和渐近线.

2

12.曲线C:?+y|y|=l,则（）

A.C上的点（X,y）满足xeR,y<lB.C关于x轴、y轴对称

C.C与尤轴、y轴共有3个公共点D.C与直线），=5只有1个公共点

【答案】ACD

［分析】去掉绝对值即可根据双曲线和椭圆的性质判断.

【详解】y..0,C:三+V=1表示椭圆在工轴上方的部分，

4

><0了:三-丁=1表示双曲线在无轴下方的部分，

4

作出图象:

双曲线的一条渐近线为）=5,

故选项ACD正确，选项B错误.

13.已知曲线C：工+工=1,则下列说法正确的是（）

k-\5-k

A.若曲线C表示双曲线，则%>5

B.若曲线C表示椭圆，则lv%v5且火。3

C.若曲线C表示焦点在X轴上的双曲线且离心率为2®,则％=7

3

D.若曲线C与椭圆三+匕=1有公共焦点，则々=4

42

【答案】BCD

【分析】根据双曲线，椭圆的特征一一计算可得；

【详解】解：对于A：若曲线C：上+上=1表示双曲线，则依-1）（5-%）<0,解得人>5

k-\5-k

或kvl,故A错误；

册-1>0

对于B：若曲线C：上+上=1表示椭圆，则5-k>0,解得1<%<5且Jtw3,故B正

k-\5-k,,「，

k-\#5-k

确;

对于C：若曲线。表示焦点在x轴上的双曲线旦离心率为亚，则(r=k-\

3b2=k-5"

所以寸=/+〃=22一6,则/=£=竺心=4,解得％=7,故C正确;

a2k-\3

22

对于D：椭圆£+5=1的焦点为（士&M，

a2=k-\>0

若曲线C表示焦点在X轴上的双曲线，则心1>°，贝必>5,则i=2,解得』

（舍去）；

a2=k-\>0

若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则•从=5-&>0,则3<A<5,则,2=24-6=2,解得

k-l>5-k

k=4,符合题意，故Z=4,故D正确；

三、填空题

2

14.双曲线匕-d=i的顶点坐标为.

4

【答案】(0,±2)

【分析】根据双曲线的方程确定双曲线的顶点在y轴上，由此可得答案.

【详解】由双曲线片-/=1可知，顶点在y轴上，

4

即顶点为S,±2),

15.如果双曲线方程了?+叫2=1焦点在x轴上，且焦距为2石，则根的值为.

【答案】--##-0.25

4

【分析】先将双曲线方程化成标准方程，再利用焦距得到关于用的方程，解方程即可.

2

x2y

【详解】由焦点在x轴上知机<0,化成标准方程为一二一，又焦距为2石，可得

m

,解得小=一］.

4

16.若双曲线的渐近线方程为y=±¥x,则双曲线虚轴长为.

【答案】2

【分析】先由渐近线方程求出。，进而求得虚轴长即可.

【详解】由双曲线的方程可得渐近线方程为y=士泰x,则壶=¥，解得b=i,则双曲线

虚轴长为2b=2.

17.等轴(实轴长与虚轴长相等)双曲线的离心率.

【答案】近

【分析】由题意可知，a=b,由。2=/+从，化简可求离心率.

【详解】由题意可知，a=b,两边同时平方，

得/=〃，即aJc」-4,2〃=02,

所以离心率e=£=&,

a

18.直线3x—y+3=0被双曲线4/-y2=4的两条渐近线所截得的线段的中点坐标为.

（912）

【答案】r?­j

【分析】先求双曲线的渐近线方程，进而求交点坐标及线段的中点坐标.

2

【详解】V4x2-y=4,即=则“=1,6=2且焦点在x轴上

4

・・・双曲线4/-V=4的两条渐近线方程为y=±2x

联立方程=八，解得［，=一：，即交点坐标为（-3,-6）

同理可得y=-2x与3x-y+3=0的交点坐标为1

中点坐标为（一

19.与双曲线三-二=1有公共焦点,且过点卜五,2）的双曲线方程为

164

【答案】--^=1

128

,>2

『_

【分析】设双曲线方程为r=1,将点（3夜,2）代入，解得女，即可求解.

\6-k4+Z

【详解】解：设双曲线方程为］§工-£=1（7＜左＜16）,将点（30,2）代入,

184

即大下一一二1，解得k=4或4=-14（舍去），

16-&4+Z

22

故所求双曲线方程为土-二=1.

128

20.经过点A（-l,3）,且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的焦点坐标是.

【答案】（0,±4）

【分析】设双曲线方程为丁-卜2=%，代入点A,得出双曲线方程，最后即可求得焦点坐标.

【详解】因为双曲线是等轴双曲线，设双曲线方程为：x2-y2=m,

22

代入4（-1,3）得：加=-8,所以双曲线方程为：二-三=1,

88

222

可知焦点在3轴上，c=a+b=16»c=4f焦点坐标为：（0,±4）.

2

21.点尸（0,1）到双曲线?-丁=1渐近线的距离是.

【答案】岑

【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，利用点到直线距罔公式可求得结果.

【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为y=±2x,即±2x-y=0,

•••点尸（0,1）到渐近线的距离d=~^==9.

四、解答题

22.求与双曲线=1有公共焦点，且过点（3及,2）的双曲线方程.

【答案】-

128

v2v2L184

【解析】设所求双曲线方程为=1,根据题中条件，求出c=26，号-白=1，求解即

a2b2ab-

可得出结果.

?2

【详解】设双曲线方程为?■-5=1（。>0,6>0）,

由题意易求得c=2石，又双曲线过在（3打,2）,

所以+.=1;因为/+/=（2灼;所以三一2,从=8.

故所求双曲线的方程为二-《=1.

128

23.求下列双曲线的标准方程

22

（1）与双曲线上-乙=1有共同渐近线，且过点（-3,2百）；

916

（2）与双曲线《一二=1有公共焦点，且过点（3显,2）

±__Z_l尤22

【答案】⑴94=1（2）—-^-=1

4128

【分析】（1）设所求双曲线方程为三-.=“1。0）,再将点（-3,2石）代入可求出2,从而

916

可求得双曲线方程；

22

（2）设双曲线方程为-----匚=1,将点（3后,2）代入求出z的值，从而可得双曲线方程

16—女4+Z

22

【详解】解：（1）由题意设所求双曲线方程为三-2="aw0），

916

因为双曲线过点（一3,2百）,

所以Hi“得人"

所吟即？

所以所求双曲线方程为"■一彳二，

4

（2）由题意设所求双曲线方程为工——亡=1（-4<4<16）,

16-女4+k

因为双曲线过点（3收,2）,

184

所以77^7—7丁=1,得公+10左一56=0,（左+14）（&-4）=。，

16-A:4+Z

解得女=4或左=-14,

2?

所以所求双曲线方程为工-二=1

128

24.求适合下列条件的双曲线的标准方程：

⑴经过点（木,0）,（3,2）；

（2）焦点为（0,—5）,（0,5）,经过点（空

（3）々=力，经过点（3,-1）；

（4）经过（3,-4⑹和停5）两点.

22

【答案】⑴二V--匕V=1;

68

..2

呜啧=1,

⑶工-£=i；

88

22

（4匹上=1.

169

【分析】（1）根据题意，由双曲线经过点（布，。），分析可得双曲线的焦点为x轴上，且a=«,

22

设双曲线的标准方程为：--4=1）将点（3,2）代入计算可得从的值，将从的值代入双曲线

6b

的方程，即可得答案；

（2）根据题意，分析可得双曲线的焦点在y轴上，且c=5,由双曲线的定义计算可得a的值，

结合双曲线的几何性质可得〃的值，将/、/的值代入双曲线的方程，即可得答案.

（3）根据题意，设双曲线的方程为：x2-y2=t,将点（3,-1）代入其中计算可得f的值，即可得双

曲线的方程，变形为标准方程即可得答案；

（4）根据题意，设双曲线的方程为的2-“''I,将（3,-4&）和（；，5）两点坐标代入双曲线方程

9m一32〃=1

可得81«」解可得：团、〃的值，将加、〃的值代入双曲线方程即可得答案.

116

（1）根据题意，双曲线经过点（6，°）,则双曲线的焦点在X轴上，且"=而，

工2—

设双曲线的标准方程为：二-2=1，

6b2

94

双曲线经过32）,则叫了=1，解可得从=8,

则双曲线的标准方程为：—-^-=1：

68

（2）根据题意，焦点为（°，一5）,（°，5）,则双曲线的焦点在y轴上，且C=5,

•••双曲线过点（季,2港〕，故根据双曲线的定义可知：

2a“怨］+(2&W_+(2月-5y=6,

2

则4=3,则〃2=c一“2=16,

则双曲线的标准方程为：E-工=1；

916

22

（3）根据题意，双曲线中。=〃，设双曲线的方程为：x-y=ti

又由双曲线经过点（3-D,则有/=32-（-1）2=8,

则双曲线的方程为f-y2=8,

则双曲线的标准方程为：三-工=1；

88

（4）据题意，设双曲线的方程为小一〃八比""〉。），

9/n-32n=l

双曲线经过（3,-4伪和（彳，5）两点，则有《81X,,

4—m-25n=l

U6

解可得：m=~,"=-1，

9io

22

则双曲线的标准方程为：工-匕=1.

169

25.求适合下列条件的双曲线的标准方程：

⑴焦点4（-2,0）,月（2,0）,一个顶点为（1,0）；

⑵一个焦点为（0,3）,离心率为3：

(3)一条渐近线为2x-3y=0,且过点(1「1)；

⑷经过点(3,-4码，停,5).

【答案】(l)x2-^-=l

3

⑵>2-£=1

O

匕工=1

⑶95~

94

72

(4)21_£=1

169

【分析】(1)设双曲线方程为营=1(。>0,。>0)，利用己知条件求出后可得方程.

=1(4>02>0),利用已知条件求出4力后可得方程.

2

y

(3)设双曲线方程为三-

4利用已知条件求出几后可得方程.

9

(4)设双曲线方程为“V+〃),2=1,利用已知条件求出后可得方程.

22

———1(G>0,>0)

⑴设双曲线方程为〃一匕,

由题设可得/+从=4,。=1,故〃2=3,。=1,故双曲线方程为f一£=1.

3

22

r—yr=1(。>0,i>>0)

(2)设双曲线方程为幻b-,

由题设可得半焦距C=3,£=3,故a=l,所以〃=8，

a

所以双曲线方程为丁-：=1.

22

———=2(几w0)

(3)根据渐近线方程设双曲线方程为94\

代入则有H3故兀=一最，

9436

22Vy2-2_[

所以土-匕=-2即双曲线方程为：T~T=.

943694

9/7?+32〃=1

<81

22一帆+25〃=1

(4)设双曲线方程为7^~+叮之，则U6,

।।22

解得加=4,〃=白，故双曲线方程为：=1.

916169

26.求适合下列条件的双曲线的标准方程：

⑴一个焦点为尸（一3,0）,且经过点（2,0）；

22

（2）与双曲线看-5=1有相同的焦点，且经过点97

⑶经过M-华，，和N（4,-3）两点.

【分析】（1）由题可得/=4，〃=32-4=5,即得；

22

（2）由题可设总力一£=1（-4Vzi<16）,将点（30,2）代入即求.

（3）设所求双曲线方程为如？-〃/=］（加〃>o）,代入“卜［I，和N（4,-3）,即得.

22

-5—=l（6f>0,Z?>0）

⑴由题可设双曲线方程为如匕、，,

・・•经过点（2,0）,

?202

・・・5—'=1,即/=4,又一个焦点为月（—3,0）,

ab

Z?2=32—4=5>

...所求的双曲线方程为E-£=l;

45

22

——-------------=1（—4<2<16）

⑵由题可设双曲线方程为16-24+2。则

22解得2=4或4=—14（舍去）

16-24+2

所以所求双曲线方程为d=1;

128

⑶设所求双曲线方程为侬2一〃/=1（，加>。），则

解得胆=,

.♦•所求双曲线方程为1-《=1.

43

27.求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标.

(l)x2-8y2=32；

(2)9x2-y2=81；

(3)x2-j2=-4；

【答案】(1)实轴长为8应，虚轴的长为4，顶点的坐标(-4夜,())和(4夜,0).

(2)实轴长为6,虚轴的长为18,顶点的坐标(-3,0)和(3,0).

(3)实轴长为4,虚轴的长为4,顶点的坐标(0，-2)和(0,2).

(4)实轴长为10,虚轴的长为14,顶点的坐标(0,-5)和(0,5).

【分析】化简双曲线的方程为标准方程，求得。力的值和焦点的位置，结合双曲线的几何性质,

即可求解.

22=\

(1)解：由双曲线的方程f-8V=32,可化为324,

此时双曲线的焦点在x轴上，且“2=32,从=4,所以。=40为=2,

可得双曲线的实轴长为2a=80，虚轴的长为2b=4,顶点的坐标(-40,0)和(4忘,0).

(2)ft?：由双曲线的方程9/-卜2=81,可化为§一瓦一1,

此时双曲线的焦点在x轴上，且/=9,〃=81,所以。=3*=9,

可得双曲线的实轴长为2=6,虚轴的长为2b=18,顶点的坐标(-3,0)和(3,0).

22A----------------=1

(3)解：由双曲线的方程厂-y=T,可化为44,

此时双曲线的焦点在y轴上，且片=4,〃=4,所以4=2,6=2,

可得双曲线的实轴长为2a=4,虚轴的长为力=4,顶点的坐标(0,-2)和(0,2).

x?/y2x2

---------........—―]----------........-]

(4)解：由双曲线的方程4925,可化为2549,

此时双曲线的焦点在了轴上，且。2=25,户=49,所以。=5,6=7,

可得双曲线的实轴长为2a=10,虚轴的长为4=14,顶点的坐标（0,-5）和（0,5）.

28.己知双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且与以点A（夜,0）为圆心，1为半径的圆相切,

双曲线C的一个顶点A与点A关于直线y=x对称，设直线/过点A,斜率为

（2）当&=1时，在双曲线C的上支上求点8,使其与直线/的距离为近.

【答案】（1）上一兰=1

22

⑵4夜,2）

【分析】（1）根据对称求出4（0,也），确定“=&,在由A（0,O）到渐近线距离为1列出方

程，求出。=a=\p2，确定双曲线方程；

（2）设出网x,，d+2卜写出直线/的方程，利用点到直线距离列出方程，求出x,写出点8

坐标.

（1）因为双曲线的焦点坐标在〉轴匕所以设双曲线方程为/b2,

因为A（血,0）,顶点H与点A关于直线y=x对称，

所以A'（0,&）,即“=夜，

设双曲线渐近线为y=

由题意得:A（夜,0）到渐近线距离为1,

解得:b=a=五，

所以双曲线方程为片-《=1.

22

（2）设'俨"+2）是双曲线C上到直线/：尸”一应的距离为应的点,

所以卜巴

y/2

解得：x=0,此时j2+2=2,

即B(衣2).

29.求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)焦点在x轴上，虚轴长为8,离心率为g；

(2)过点(2,0),与双曲线片-二=1离心率相等.

6416

【答案】(1)—-^=1；(2)—-/=1.

9164.

【分析】(1)根据题意可得26=8,e=-c=|5,结合/=〃+〃，求得/,即可得出答案；

a3

(2)可设双曲线的方程为二-£=42>0),将点(2,0)代入求得心即可得出答案.

6416

丫2V2C5

【详解】解：⑴设所求双曲线的标准方程为2•-多•=l(a>0,b>0),由题意知2b=8,6=-=1,

a1a3

从而8=4,c=g〃，

代入/=/+〃，得入=%

故双曲线的标准方程为二-.=1.

916

(2)由题意知，所求双曲线的焦点在x轴上,

故可设其方程为式-£—>0),

6416

将点(2,0)的坐标代入方程得4=乙，

16

故所求双曲线的标准方程为二-9=]

4

提升训练

一、单选题

1.己知耳K是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且/白尸乙2=兀三，记椭圆

31

和双曲线的离心率分别为6*2,则“看的值为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理、椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可.

【详解】设椭圆的长半轴长为％,双曲线的实半轴长为外，设B，22是椭圆和双曲线的左右

两个焦点，且闺用=2c,设P在第一象限，|P周=m|P闾=〃,

由椭圆的定义可知:\PFf\+\PF2\=m+n=2ai,

由双曲线的定义可知：\PF\-\PF^=m-n=2a2,

由此可解得:"7=4+生,〃=4一。2，

由余弦定理可知：

（2c）2=tn2+n2—2nm-cos120°即4c2=（q+4）+（4—4）~一2，（4一‘

222

化简得：4c2=3a『+aJ,即玛半_=4,

c

2,23]

所以空_+”=4,即=+下=4

ccqe2

二、多选题

2.已知曲线C:—二一+上=1,则（）

2+m4-m

A.当帆=2时，则C的焦点是月（3,0）,巴卜夜,0）

B.当机=6时，则C的渐近线方程为'=±3》

C.当C表示双曲线时，则优的取值范围为加＜-2

D.存在加，使C表示圆

【答案】ABD

【分析】通过机的值或取值范围，判断曲线的形状，转化求解即可.

22

【详解】对于A,当加=2时，曲线C:三+＞l,则C的焦点是用在0）,玛卜&,0）,所

以A正确；

对于B,当机=6时，曲线C：L-L=1,则C的渐近线方程为y=±gx,所以B正确；

822

对于C,当C表示双曲线时，（2+/n）（4-m）＜0,解得：〃?＞4或“＜-2,所以C不正确；

对于D,当2+〃z=4-〃z,即机=1时，曲线C表示圆，所以D正确.

三、填空题

3.已知双曲线5-卷=1（。＞0,"0）的左、右焦点分别为"，F2,离心率为手，点A（3,a）

是双曲线上一点连接A",过点耳作电//A鸟交双曲线于点B,且忸用＜|A周，则

ML

1叫-------

【答案】5

【分析】将点A@，&）代入双曲线方程，结合离心率，可求出兄仇。，从而可求得直线AK的

斜率，由8耳〃4亮可得直线8耳的斜率，设直线8瓦的倾斜角为凡则可求得cos6=立，然后

3

由点A（3,夜）是双曲线上一点和双曲线的离心率为孥，

得.a/解得卜=3,

指"2,1^=\

所以/=4,c=2,

所以6（2,0）,k周=J（3-2）2+（72-0）2=G.

所以直线AF2的斜率为正，

因为8耳/公名，所以直线8月的斜率为正.p

设宜线BF、的倾斜角为0，则tan。=血，

所以豆11,=近,R|JsinO=&cos。，

COS夕

因为sin?e+cos?。=1,。为锐角，

所以cose=«^.

3

连接照，在△町鸟中，由余弦定理得忸周2=忸町+4/一2忸/讣2八85夕,

又忸用2=（忸制+24，所以怛用=（,

所嚅=5.

4.设A、B、C是双曲线V—号=1（。>0/>0）上的三个点，AB经过原点O,AC经过右焦点

F,若8/FAC且2|AF|=|CF|,则焦距为.

【答案】亚

3

【分析】设双曲线的另一个焦点为E,由题意可得在Rt、ABF中，。尸为斜边A8上的中线，再

结合双曲线的定义从而可求得c,从而得到焦距.

【详解】设双曲线的另一个焦点为E,由题意可得在RJA8F中，。尸为斜边A8上的中线，

即有|明=2|。4|=2|OF|=2c,

4|BF|=|AE|=m,\AF\=n,\CF\=2n,

由双曲线的定义有，|3—|cq=|A同一情尸1=2,所以CE=2〃+2.

在Rt—E4c中，nr+（3n）~=（2n+2）2,代入2=，〃-”，化简可得机=4〃.

„28

乂〃7—〃=2得〃=—,tn=-.

33

在RtqEA/中，m2+n2=（2c）2,EP—+—=4c2,所以2c=.

v7993

5.若过点P（0,1）作直线/,使/与双曲线V-M=l有且仅有一个公共点，则直线/的方程

4

为.

【答案】2x—y+1=0,Zr+y—1=0,45x-y+\=0,>/5x+y-1=0

【分析】当直线/斜率不存在时，直线与双曲线没有交点.当直线/斜率存在时，设出直线/的方

程，联立直线/的方程和双曲线的方程，消去》得到（4-二卜2-2米-5=0,根据二次项系数和

判别式进行分类讨论，由此求得直线/的方程.

【详解】当直线/斜率不存在时，显然不合题意

所以可设直线/方程为y="+l,

y=kx+\

联立1得（4_公卜2_2后_5=0（*）,

'一彳一

①当4一二=0，即A=2或女=一2,方程（*）只有•解，

直线/与双曲线E有且仅有一个公共点，此时，直线/方程为y=±2x+l.

②'与4-产工0，即％*±2,要使直线，与双曲线E有且仅有一个公共点，

贝|JA=（-2Q2-4（4—）（_5）=0,解得&=土石，

此时，直线/方程为、=±氐+1,

综上所述，直线/的方程为丫=±>/^+1或丫=±2'+1.

故答案为：2x—y+l=0,2r+y—l=0,岛一y+l=O,后+y-l=O.

6.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为4,且该双曲线的虚轴长为

8,则该双曲线的标准方程为.

【答案】花一而一】或记一记T

【分析】分焦点在*轴和y轴上，设出双曲线方程，由虚轴长和顶点到渐近线的距离即可求出

双曲线方程.

22

【详解】当焦点在X轴上时，设双曲线方程为※-5=1（。>0,/,>0）,可得»=8,b=4,则

顶点（±a,0）,渐近线方程为y=±9x,

a

24

不妨取顶点（。,0），渐近线y=，则，解得“=耳,则双曲线方程为茁-正

当焦点在y轴上时，设双曲线方程为—=l(m>0,n>0),可得2〃=8,n=4,贝U顶点

（0,土机）,渐近线方程为y=±^x,

=24

不妨取顶点（0,心），渐近线y=，解得m=F，则双曲线方程为

1616

T

综上：双曲线的方程为：16」或迈一正

3

7.点P在双曲线/-5=1上，若点尸在第一象限，则点P到直线y=3x的距离的取值范围是

【答案】。，幽10J

【分析】由双曲线的标准方程，可得右顶点坐标以及渐近线的方程，易得右顶点到渐近线为最

远，可得答案.

【详解】由炉-总=1,可知a=l1=3,c=Ji6,则其渐近线方程为y=±3x,

则该点到直线y=3x的距离d=察二q=要，

该双曲线的右顶点坐标为（1,0）,

V？Tiio

则点尸到直线y=3x的距离的取值范围是（o,坐

四、解答题

22

8.己知双曲线C：「-£=1（4>0力>0）,以点尸（。,0）为圆心，“为半径作圆P,圆