2023年九年级中考数学-锐角三角函数与圆的综合【含答案】

2023年九年级中考数学专题一锐角三角函数与圆的综合

一、综合题

1.如图，钝角MBC内接于口。中，AB=AC,连结AO,BO,延长AC,BO交于点D.

(1)求证：AO是NBAD的角平分线；

SMB0

(2)若AO=5,AD=5庭，求S^BCD.

OD八

-----=k(k>1)

(3)若OB，求cosZJO5(用含左的代数式表示).

2.如图，AB是。。的一条弦，点C是半径OA的中点，过点C作OA的垂线交AB于点E,且与

BE的垂直平分线交于点D,连接BD.

(1)求证：BD是。0的切线；

(2)若。0的半径为2G,CE=1,试求BD的长.

3.如图，AC是。0的直径，点B为。。上一点，PA切。0于点A,PB与AC的延长线交于点

1/42

M,Z_CAB=2ZAPB.

(1)求证：PB是0O的切线；

2

(2)当sinM=3,OA=2时，求MB,AB的长.

4.如图，AABC中，NABC=90。

(1)在BC边上找一点P,作0P与AC,AB边都相切，与AC的切点为Q；(尺规作图，保留

作图痕迹)

(2)若AB=4,AC=6,求第(1)题中所作圆的半径；

(3)连接BQ,第(2)题中的条件不变，求cos/CBQ的值.

5.如图，将MBC绕点A按顺时针方向旋转，得到MDE，当点C的对应点E落在线段

4B上时，点B的对应点D恰好落在"BC的外接圆上，且点C,D,E在同一直线上.

2/42

D

(1)求证：BD=DE.

8C=6"COS/C48=2

(2)若3,求CE的长.

6.如图，AABC内接于。0,AB=AC,CF垂直直径BD于点E,交边AB于点F.

(1)求证：zBFC=zABC.

(2)若。0的半径为5,CF=6,求AF长.

7.如图，已知，。0的半径OC垂直于弦AB,垂足为点D,点P在OC的延长线上，连结AP,AC

平分ZPAB.

3/42

(1)求证：PA是。0的切线；

3

(2)若sinP=5,AB=16,求。0的半径长.

8.如图，在AABC中，AB=AC,以AC为直径作交BC于点D,过点D作FELAB于点E,交

AC的延长线于点F.

(1)求证：EF与。0相切；

3

(2)若AE=6,sin4CFD=5,求EB的长.

9.如图AB是半径为R的O0的直径，AC是。0的切线，其中A为切点.直线0C与。0相交于

D,E两点，直线BD与AC相交于点F.

(1)求证：AD・AC=DC・EA

4/42

G

(2)若sin/CDF=3，求线段AC的长.

10.如图，在RtZiABC中，ZACB=9O°,D为斜边AB上的中点，连接CD,以CD为直径作。O,

分别与AC、BC交于点M、N.过点N作NE1AB,垂足为点E.

(1)求证：NE为00的切线;

(2)连接MD,若NE=3,sin/BCD=5，求MD的长.

11.如图，AB是。0的直径，D,E为。0上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C,使得

CD=BD,连结AC交于点F,连接BE,DE,DF.

(1)若/E=35。，求NBDF的度数.

2

(2)若DF=4,cos/CFD=3,E是4B的中点，求DE的长.

12.如图，在RSABC中，ZACB=9O°,ZBAC的平分线A0交BC于点0,以0为圆心，0C长为

半径作。0,。0交A0所在的直线于D、E两点(点D在BC左侧).

5/42

(1)求证：AB是OO的切线；

2

(2)连接CD,若AC=3AD,求tan/D的值；

(3)在(2)的条件下，若。0的半径为5,求AB的长.

13.如图所示，AABC中，点D是AB上一点，且AD=CD,以CD为直径的。0交BC于点E,交

AC于点F,且点F是半圆CD的中点.

(1)求证：AB与00相切.

(2)若tanB=2,AB=6,求CE的长度.

14.如图，在菱形ABCD中，取CD中点0,以0为圆心0D为半径作圆交AD于E交BC的延长线

交于点F,AB=4,BE=5,连结OB

(1)求DE的长;

6/42

(2)求tan/OBC的值.

15.如图所示，AB是OO的直径，点D是弧AC的中点，ZCOB=60°,过点C作CE1AD,交AD

的延长线于点E.

(1)求证：CE为的切线；

(2)若CE=也,求00的半径长.

16.如图，在AABC中，AC=BC,以BC边为直径作。0交AB边于点D,过点D作DE1AC于点

E.

(1)求证：DE是OO的切线；

32

(2)若。0的半径等于2,cosB=3,求线段DE的长.

17.已知，如图在平面直角坐标系中，过点A(0,2)的直线与。0相切于点C,与x轴交于点B且

半径为6.

7/42

(1)求NBAO的度数.

(2)求直线AB的解析式.

V10

18.如图在。0中，BC=2,AB=AC,点D为AC上的动点，且cosB=1°.

(1)求AB的长度;

(2)求AD・AE的值;

(3)过A点作AH_LBD,求证：BH=CD+DH.

19.如图，以为直径作。。，过点/作的切线4C,连结BC,交。。于点。，点E是3C边

的中点，连结力£

(1)求证：乙AEB=2乙C；

8/42

3

(2)若AB=6,cos5=5,求。E的长.

20.如图，在AC=BC以AB为直径的圆交AC、BC与点E和点D,AB=6,且E为

AC的中点，过E点作EFLBC与点、F,

(1)求BC的值

(2)连接OF并求OF的长

9/42

答案解析部分

1.【答案】（1）证明：连结0C,

VAB=AC,AO=AO,BO=CO,

•••\ABO-^ACO(SSS)

."BAO=NCAO,

AAO为NBAC的角平分线

(2)解：作AE_LAD于点E,CF1BD于点F,

设OD=%,

,.,AO=BO,

:.zABO=zBAO=zOAC,

又\"ADO=NBDA,

M.DOsABDA

10/42

AD_BD5>/6=x+5

:.ODAD,即x5几，

,-.x2+5x-150=0

解得再=10,%=一15(舍)，即OD=10,

AO_AD

.,.BD=OB+OD=15,ABBD,

5576576

——=----AB=----

即AB15一•.2,

]_

；.AB=AC=2AD=CD,

XVAE//CF,

.,.CF=2AE,

J.RC.Ap

_BO-AE_2BO_2y5_2

S^BCDXBDCFBD，CFBD153

2

(3)解：设OB=r,

OD,

---=k

OB,.\OD=kr,

由(2)可知MDO-MDA,

AD_BDAD_(k+l)r

/.ODAD,即krAD,

.AD=y/k(k+l)r

11/42

♦..设OE=x,BE=r-x,在放。°£和Rt\ADE中,

AO2-OE2=AD2-DE2,即r2-x1=k[k+\)r2-{x+krf

k-\OExk-\

X=----T---=-=-----

解得2k，,cosN/OB=0/r2k

【解析】【分析】(1)连结0C,利用边边边定理证明根80三以CO,则对应角NBAO=ZCAO,即

可得出A0为ZBAC的角平分线；

(2)作AE1AD于点E,CF1BD于点F,设0D=%,证明根据相似三角形的性

质列比例式求解，得出0D的长，则可求出BD,再根据相似三角形的性质求出AB的长，由于AE〃

J

CF,结合AC=CD,得出CF=3AE,然后根据三角形的面积公式即可求出两个三角形的面积比；

(3)设OB=r,把0D用含r的代数式表示，根据MD0〜MDA。0,在Rt^AOE和

R2DE中，利用勾股定理列关系式把x用含r的代数式表示，统一量以后，根据RtzJXOE中即可求出

coszAOB的值.

2.【答案】(1)证明：连接0B,

VOB=OA,DE=DB,

:.Z.A=ZOBA,ZDEB=ZABD,

XVCD10A,

，4A+NAEC=4A+NDEB=90。，

JZOBA+ZABD=90°,

AOB1BD,

12/42

...BD是。0的切线；

(2)解：如图，作0H1AB,

。。的半径为26，点c是半径0A的中点,

.,.AC=5OA=G,

VCE=1,

CE

:.tanZ.A=AC=#>

.".ZA=3O°,

,."ACE=90。，

二ZDEB=ZAEC=6O°,

YDF垂直平分BE,

；.DE=DB,

.••△DEB是等边三角形，

，BE=BD,

设EF=BF=x,AB=2x+2,

过0作0H1AB于H,

.*.AH=BH=x+l,

AO=2d5,

.△DEB是等边三角形，

..BE=BD,

设EF=BF=x,

.AB=2x+2,

过O作OH_LAB于H,

13/42

，AH=BH=x+l,

AO=2^AO=3,

百

，AH=2

Z.AB=6,

二BD=BE=AB-AE=4.

【解析】【分析】(1)连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明4OBD=90。，即可证明BD是。0的切

线；

CE

(2)根据三角函数的定义得到tanzA=〃C=0,求得zA=30。，得到NDEB=NAEC=60,推出aDEB

是等边三角形，至l」BE=BD,设EF=BF=x,求得AB=2x+2,过O作OH1AB于H,解直角三角形即可

得到结论.

3.【答案】(1)证明：连接OB,

NCAB==NCOB,NCAB=二NAPB

22ZCOB=NAPB

•：PA是OC的切线，二O4J./P,NAPB+NM=90°,

ZCOB+ZM^90°，二/。8"=90。，二。8,以，且。8为半径，.•.尸8为0c的切

线.

(2)解：连接BC,

一

sinMnu__OB__,,_____

••ZOBM=90°-OM-sinA/_=LMB=M—*=#>

14/42

vAC为直径N/8C=90。，N08/+N08C=90°,

•••，ZM・・BC+AOBC=90°，-NMBC=AOBA

・.・OA—OB,.・./MBC—/OAB,又<4M-/M,：.xMCBs^MBA

CBCM_1_____

:.ABMBV5,...48=,32-22=辰8,又叱+/炉=力。2

即SC2+55C2=42,

BC=^

：.3,

2回

.*.AB=3

【解析】【分析】（1）连接OB,根据切线的性质得到OA1AP,求得NOBM=90。，OB1MP,根据求得

的判定定理即可得到结论；（2）连接BC,解直角三角形得到MC=1,MB==,根据圆

周角定理得到NABC=90。，根据相似三角形的性质得到AB=后CB,根据勾股定理即可得到结论.

4.【答案】（1）解：如图，OP即为所求.

,..BC=-AB'=2m

15/42

：PA平分NBAC,PB1BA,PQ1AC,

.*.PB=PQ,设PB=PQ=r,

•SAABC=SAABP+SAACP，

_L11

2x4x2旧=2x4xr+2x6xr,

4-

r=5.

(3)解：VZABP=ZAQP=9O°,AP=AP,PB=PQ,

.".RtAAPB=RtAAPQ(HL),

，AB=AQ,VPB=PQ,

；.PA垂直平分线段BQ,

.*.zCBQ+zABQ=90°,zBAP+zAPB=90°,

/.zCBQ=zBAP,

【解析】【分析】（1）作NBAC的平分线交BC于点P,作PQ1AC于Q,以P为圆心，PQ为半径作

AB

OP即可.（2）利用面积法求解即可.（3）证明NCBQzBAP,可得COS/CBQ=COS4BAP=4P,由

此计算即可.

5.【答案】（1）证明：将AABC绕点A按顺时针方向旋转，得AADE,

."CABMBAD,BC=DE,

VzCAB=zCDB,zBAD=zBCD,

16/42

，乙BCD=4CDB,

VBC=BD

・・・BD=DE

(2)解：过8作BFLCD,垂足为F.

由（1）可得BC=BD=DE=6y/2,

•­•CD=2DF，

,：NCAB=NBDC（同弧所对的圆周角相等），

2

cos/BDC=cosZCAB=—

，3,

DF=BD-cosZBDC=472,

CD=2DF=872,

...CE=CO-DE=80-6近=272

【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得ZCAB-ZBAD,BC=DE,由同圆或等圆中相等的圆周角所

对的弧相等可得弧BC=MBD,即BC=BD,所以BD=DE；

（2）过B作BF1CD,垂足为F,由（1）得BC=BD=DE,由垂径定理可得CD=2DF,根据同弧所

DF

对的圆周角相等可得zCAB=/BDC,于是COSNBDC=COSZCAB=bd,则DF可求解，由线段的构

成CE=CD-DE可求解，

6.【答案】（1）证明：连结AD,

17/42

A

VBD是。O的直径，

・・.4BAD=90。，

VCF1BD,

AzBEF=90°,

•・・4ABD+匕ADB=90。,zABD+zBFE=90°,

JZBFC=ZADB,

VAB=AC,

AZABC=ZACB,

VZACB=ZADB,

JZBFC=ZABC.

(2)解：连结CD,YBD是OO的直径，.,.zBCD=90°,

：BD=10,二CD=飞BD。-8。=Jl()2_6.=8,...

VZBFC=ZABC,・・・BC=CF=6,coszDBC=

BC3CD4318

BD5,sinNDBC=6045,在RtABCE中，BE=BCcoszDBC=6x5=5

4_24AB_BE

,CE=BCsinzDBC=6x55,/conzABD=BDBF,即

18

4B二三

2所

；而

5.AB=3,...AF=AB-BF=5

【解析】【分析】（1）连结AD,由BD是直径可得NBAD=90。，由CF_LBD可得NBEF=90。，可得

ZBFC=ZADB,根据等腰三角形性质和圆周角定理即可证明ZBFC=ZABC；

（2）连接CD,由BD是直径可得NBCD=90。，根据（1）的结论可得CF=BC=6,利用勾股定理可求

出CD的长，即可得4DBC的余弦和正弦值，进而可得CE、BE的长，即可得EF的长，利用勾股定

18/42

理可得BF的长，即可求出NABD的余弦值，进而求出AB的长，根据AF=AB-BF即可得答案.

7.【答案】（1）解：连接OA,

V0C1AB

♦♦

BC=AC,ZODA=90°

zO=2zBAC,zOAD+zO=90°

•/AC平分4PAB

AZ.PAB=2Z.BAC

."O=ZPAB

VzOAD+zPAB=90°

A0A1PA,OA是半径

；.PA是圆O的切线。

(2)解：VOC1AB

AD=-AB=-x\6=8

22

在RtAPAD中，

AD_8_3

sinP=4P4P5

40

解之：AP=3

在RtAOAP中，

OA3

sinP=OP5

设OA=3x,贝U0P=5x,AP=4x

19/42

40

4x=3

10

解之：x=3

10

.,.OA=3x3=io

oo的半径为10

【解析】【分析】（l）利用垂径定理及圆周角定理，可证得4O=2NBAC,ZOAD+ZO=90°,再利用角平

分线的定义，可推出ZO/PAB,从而可得到NOAD+NPAB=90。，然后利用切线的判定定理，可证得

结论。

（2）利用垂径定理可求出AD的长，再在RQPAD中，结合已知条件，利用解直角三角形求出AP

的长，然后在R3OAP中，利用解直角三角形及勾股定理就可求出圆的半径。

8.【答案】（1）证明：如图，连接OD,

ZOCD=ZODC

•/AB=AC

ZACB=ZB,

ZODC=ZB

.-.OD//AB,

ZODF=ZAEF

20/42

•/EF1AB,

ZODF=ZAEF=90°,

.-.OD1EFf

••・OD是OO的半径，

EF与OO相切

⑵解：由°）知，OD//AB,OD1EF

AF7

,sinZCFD=—=-

在Rt^AEF中，AF5,AE=6

则AF=10,

VOD//AB

AFOD-^AFAE,

OFOD

"AF-AE,

设0°的半径为r,

10-r_r

10-6,

=15

解得，4,

AB=AC=2r=—

2,

153

EB=AB-AE=—-6=-

22

【解析】【分析】（1）连接OD,利用等腰三角形的性质，可证得NOCD=zODC,ZACB=ZB,即可推

出4ODC=4B,再利用同位角相等，两直线平行，可证得ODIIAB,利用平行线的性质及垂直的定义可

21/42

证得OD_LEF,然后利用切线的判定定理可证得结论。

（2）利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再证明△FODs^FAE,利用相似三角形的对应边成比

例，建立关于r的方程，解方程求出r的值，就可求出AB的长，然后根据EB=AB-AE就可求出EB

的长。

9.【答案】（1）证明：：AC是00的切线，

."CAD=4AED,

：4C=4C,

/.△CAD—ACEA,

ADDC

•••西=就，

••・AD・AC=DC・EA；

（2）解：・・・AB、DE是半径为R的OO的直径，

AAB=DE,OA=OE=OB=OD,

.••四边形AEBD是矩形，

AAEHBF,

令4CDF=O,则ZABD=4AED=4FDC=O,

G

•,.sinzCDF=sin9=3,

2r2血R

.，.AD=2RsinO=也,AE=BD=2RcosO=百，

令AC=m,

ADAC团

由（1）可知：CD=EA=6,

22/42

VCA2=CD«CE=CD(CD+2R),

mm

即m2=亚(2R+正

),

解得：AC=m=2拒R.

【解析】【分析】（1）根据弦切角定理得出ZCAD=ZAED,又NC是公共角，故ACAD^ACEA,

ADDC

根据相似三角形对应边成比例得出EA=AC,根据比例的性质即可等积式；

（2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形得出四边形AEBD是矩形，根据矩形的对边互相

平行得出AEIIBF,根据矩形的性质及同弧所对的圆周角相等得出令NCDF=。，则

旦

NABD=NAED=/FDC=O,根据等角的同名三角函数值相等得出sin/CDF=sinO=3,根据锐

2r2亚R

角三角函数的定义从而得出AD=2Rsin9=乖1,AE=BD=2Rcos0=也令AC=m,根据

皿/C加

（1）可知CD=EA=6■，又CA2=CD・CE=CD（CD+2R）,进而即可得出结论。

10.【答案】（1）证明：连接ON.'."ACB=90。，D为斜边的中点,

]_

；.CD=DA=DB=2AB,

."BCD=ZB,

VOC=ON,

23/42

.,.ZBCD=ZONC,

."ONC=zB,

AONHAB,

VNE1AB,

AON1NE,

ANE为。O的切线.

（2）解：由（1）得到：NBCD=4B,

NE3

/.sinzBCD=sinzB=BN=5,

VNE=3,

.,.BN=5,连接DN.

VCD是。0的直径，

二4CND=90。，

ADNIBC,

/.CN=BN=5,

易证四边形DMCN是矩形，

；.MD=CN=BN=5.

【解析】【分析】（1）连接ON,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出

；.CD=DA=DB=2AB,根据等边对等角得出ZBCD=ZB,ZBCD=ZONC,故

ZONC-ZB,根据同位角相等，二直线平行得出ONIIAB,从而根据平行线的性质，由NE1AB,

得出ON_LNE,故NE为。0的切线；

24/42

NE3

（2）根据等角的同名三角函数值相等及三角函数的定义得出sinzBCD=sinzB=BN=5,从

而求出BN的长，连接DN.根据直径所对的圆周角是直角得出/CND=90。，即DN1BC,根据

等腰三角形的三线合一得出CN=BN=5,易证四边形DMCN是矩形，根据矩形的对边相等得出

MD=CN=5.

11.【答案】（1）解：如图1,连接EF,BF,

图1

•；AB是00的直径，

二NAFB=NBFC=90。，

VCD=BD,

；.DF=BD=CD,

J.DF^BD,

."DEF=/BED=35。，

."BEF=70°,

.,.zBDF=180°DzBEF=110°

(2)解：如图2,连接AD,OE,过B作BG_LDE于G,

25/42

VzCFD=ZABD,

2

coszABD=coszCFD=3,

在RtAABD中，BD=DF=4,

，AB=6,

•；E是AB的中点，AB是。0的直径，

."AOE=90。，

VBO=OE=3,

ABE=36,

."BDE=NADE=45。，

旦

.,.DG=BG=2BD=2/，

22

...GE=YJBE+BG=V10,

；.DE=DG+GE=2五+屈.

【解析】【分析】（1）如图1,连接EF,BF,根据直径所对的圆周角是直角得出

4AFB=NBFC=90。，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DF=BD=CD,根据同圆

26/42

中相等的弦所对的弧相等得出DF=BD,根据等弧所对的圆周角相等得出ZDEF=ZBED=35°,

进而根据圆的内角四边形的对角互补即可算出答案；

（2）如图2,连接AD,0E,过B作BG_LDE于G,根据圆内接四边形的性质得出

2

/CFD=NABD,根据等角的同名三角函数值相等得出coszABD=coszCFD=3,根据锐角三角

函数的定义即可求出AB的长，根据垂径定理得出NAOE=90。，根据圆周角定理得出

V2

△BDE=NADE=45。，根据等腰直角三角形的性质得出BE=33,DG=BG=2BD=2

及，进而根据勾股定理算出GE的长，从而即可根据线段的和差得出答案。

12.【答案】（1）证明：如图，过点0作0F1AB,

/.OC=OF,

...OF为半径，OF1AB

:.AB是。0切线

（2）解：连接CE

「DE是直径

27/42

.,.ZDCE=9O°

VzACB=90°

AZ.DCE=ZACB

AzDCO=zACE

VOC=OD

・"D=NDCO

zsACE=Z.D,且NA=Z.A

・•・AACE-AADC

lAD

AC_CE2,

...茄一而一AD-3

CE2

/.tanzD=CD=3

(3)解：V△ACE-△ADC

AC_AE

.••茄一就

2

.*.AC2=AD(ADQ10),且AC=3AD

AAD=18

，AC=12

VAO=AO,OC=OF

JRtAAOF=RtAAOC(HL)

AF=AC=12

28/42

VZB=Z.B,ZOFB=ZACB=90°

AOBF-^-AABC

OFOB_BF

...就一茄一正

5OBBF

即n~n+BF~BO+5

'580+25=128/

.\60+5BF=\2OB

>・I

600

.\BF=119

6002028

.,.AB=FA+BF=12+口9=119

【解析】【分析】(1)如图，过点O作OFLAB,根据角平分线的性质可得OC=OF,根据切线的判定

可证AB是。O切线.

(2)连接CE,根据圆周角定理可得NDCE=90。，即得NDCE=ZACB,利用等式性质可得

NDCO=NACE,由等边对等角可得ND=/DCO根据两角分别相等可证△ACE-AADC,利用相似三角

CE

形的对应边成比例可得CD的值，继而求出tanzD的值.

(3)利用相似三角形的对应边成比例可求出AD的长，从而可得AC的长.根据“HL”可证RtA

AOFmRtAAOC,可得AF=AC=12.根据两角分别相等可证△OBF—ABC,利用相似三角形的对应边

OFOBBF_5__OB_BF

成比例可得ACABBC,即得1212+BFBO+5,从而求出BF的长，由AB=FA+BF求

出AB的长.

13.【答案】(1)证明：连接DF,

29/42

VCD为OO的直径，

AzCFD=90o,

・・,点F是半圆CD的中点，

・・.CF=DF,

，ZACD=45°,

VAD=CD,

.\ZA=ZACD=45°,

JZADC=9O°,

・・・AB与OO相切

(2)解：VCD1AB,tanB=2,

・・・CD=2BD,

VAD=CD,

・・・AB=3BD,

VAB=6,

ABD=2,CD=4,

ABC=2逐，

•；BD与。O相切,

30/42

.•.BD2=BE・BC,

222V5

.•.BE=2M--5,

8V5

.".CE=BCDBE=5.

【解析】【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角，可知nCFD=90。，再根据直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半，可证4ACD=45。，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可证得

NADC=90。，然后利用切线的判定定理，可证得结论。

(2)利用锐角三角函数的定义，可证得CD=2BD,从而可以推出AB=3BD,再由AB=6,就可求出

BD,CD的长，利用勾股定理求出BC的长，然后根据切割线定理可得到BD2=BE・BC,代入计算求

出BE的长，由CE=BCDBE,就可求出CE的长。

14.【答案】(1)解：:•四边形ABCD是菱形，

；.AB=BC=CD=4,ADHBC,

；CD是。0的直径，

."DEC=90。，

/.zBCE=zDEC=90°,

...CE=JBE「-BC、=3,

...DE=-JCD2-CE2=A/42-32=V7

(2)解：连接DF,过O作OH_LCF于H,

31/42

VCD是。O的直径，

."DFC=90。，

...四边形ECFD是矩形，

，DF=CE=3,CF=DE=币,

V7

.\CH=2,

£3

，OH=2DF=2,

8+77

；.BH=BC+CH=2,

OH8-V7

.•.tan/OBC=BH19

【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可证得AB=BC=CD=4,ADHBC,利用直径所对的圆周角是

直角，易证ADEC=90。，再根据平行线的性质，可求出DBCE=90。，然后利用勾股定理求出DE的长。

（2）连接DF,过O作OH1CF于H,利用圆周角定理可证4DFC=90。，再根据矩形的性质，可得到

DF=CE=3,CF=DE,利用垂径定理求出CH的长，根据BH=BC+CH求出BH的长；然后利用锐角

三角函数的定义可求出tanzOBC的值。

15.【答案】（1）证明：连接OD,如图，

32/42

E

•.•点D是弧AC的中点，

-ZAOC

."AOD=zCOD=2

又'."COB=60。，

.,.4AOD=NCOD=60°,

VOA=OD,

.•.△AOD为等边三角形，

.,-COB=60°,

AOCIIAE,

.*.ZOCE+ZE=180°

VCE±AD,

.*.zE=90°,

.".zOCE=90°,BPOC1CE,

VOC为OO的半径，

ACE为。O的切线，

(2)解：由(1)知AAOD和ACOD均为等边三角形，CE=G,

.•.OC=CD,ZOCD=60°,

33/42

，乙ECD=90。口60。=30。,

EC也也

-----==—

.,.cosNECD=CDCD2

，CD=2,即。。的半径为2.

【解析】【分析】（1）连接OD,由相等的弧所对的圆心角相等可得4A0D=NC0D=2NA0C,于是根

据4cOB的度数可求得L\OD和NCOD的度数，由等边三角形的判定可得AAOD为等边三角形，则易

得OCIIAE,结合已知可得zOCE=90。，根据圆的切线的判定可得CE为。0的切线；

（2）由（1）的等边三角形可求得/ECD=30。，解直角三角形ECD即可求得CD的长。

16.【答案】（1）证明：连结OD.

VAC=BC,

z.A=zB,

VOB=OD,

Z.B=Z.OOB,

Z.A=Z.ODB，

AODHAC,

VDEIAC,

ADE1OD,

34/42

ADE是。0的切线，

（2）解：如图,连结CD.

3

•••。0的半径等于2,

；.BC=3,zCDB=90°,

在RtACDB中，

BD]_

cosB=BC=3,

...BD=1,CD=^BC2-BD2=V32-l2=2V2,

VAC=BC=3,ZCDB=9O°.

.".AD=BD=1,

“ADCD1x2722V2

[）卜:----------------------------

解法一：在RSADC中，AC33,

解法二：VZA=ZA,ZADC=Z.AED=9O°,

AACD,^AADE.

ACCD

...而一法.

寸ADCD1x2722V2

DE=-----------=----------=-------

AC33

【解析】【分析】（1）连结0D.根据等边对等角得出NA=4B,ZB=ZODB,故NA=zODB,

根据同位角相等，两直线平行得出ODIIAC,根据平行线的性质，由DE1AC,得出DELOD,根

据切线的判定定理即可得出DE是。0的切线；

（2）如图，连结CD.根据直角所对的圆周角是直角得出ZCDB=9O°,根据余弦函数的定义，由

35/42

BD£

cosB=BC=3得出BD的长，根据勾股定理算出CD的长，根据等腰三角形的三线合一得出

DE=AD，CD

AD=BD=1,解法一：在RSADC中，利用面积法，由AC即可算出答案；解法二

ACCD

,判断出AACDSAADE,根据相似三角形对应边成比例得出ADDE,由比例式建立方程即可

求出DE的长。

17.【答案】（1）解：连接0C,如图，

OC垂)

VA(0,2),，OA=2.在R3AOC中，sinzBAOOA2,.*.zBAO=60o；

,

（2）解：VzBAO=60°,..ZOBC=30°,；.OB=2OC=26,AB（D2,0）,设直线AB解析

k=g

K_

{-2®+b=0{T

式为y=kx+b,b=2,解得：b=2，，直线AB解析式为y3x+2.

【解析】【分析】（1）连接OC,由圆的切线的性质可得OC1AB,在直角三角形AOC中，根据

OC

sinzBAO=OA以及特殊角的三角函数值可求解；

（2）解直角三角形BOA可求得OB的值，于是用待定系数法可求得直线AB的解析式。

18.【答案】（1）作AM1BC,

36/42

VAB=AC,AM1BC,BC=2BM,

]_

Z.CM=2BC=1,

BMV10

VcosB=AB10,

在RtAAMB中,BM=1,

・・・AB=COSB；

(2)连接DC,

VAB=AC,

・•・ZACB=ZABC,

・・•四边形ABCD内接于圆O,

JZA