河南省洛阳市强基联盟2023届新高三摸底大联考数学（文科）试题（解析版）

强基联盟23届新高三摸底大联考

数学（文科）

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水

签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在

试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本命题范围：人教版必修5,选修1-1,选修1-2,选修4-4,选修4-5.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

I.甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关指数

R2,则线性相关程度最高的是（）

甲乙丙J-

R120.870.910.580.83

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【解析】

【分析】利用相关指数R?的性质，通过比较四位同学的R2,即可得到线性相关程度最高

的同学

【详解】R2越接近于I,两个变量的线性相关程度越高.

0.91>0.87>0.83>0.58,则线性相关程度最高的是乙

故选：B.

1,

2.已知命题p：HxeH,使得e*+x+],则「〃为（）

1,1,

A.VxGR>e'<—x~+x+1B.VxGR,e'<-x~+x+1

22

1,1,

C./?（e><—x~+x+lD.HXG7?,eA<—x+x+l

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据命题的否定即可求解.

【详解】解：根据命题的否定可知，力为VxeR,ex<-x2+x+l.

2

故选：A.

3.若复数：z=i（3-2i）（i是虚数单位），则z=（）

A.—2+3iB.2+3iC.3+2iD.3一2i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的乘法，可直接得出结果.

【详解】z=i（3-2i）=3i-2i2=2+3i

故选：B

4.下面几种推理是类比推理的是（）

A.由“周长为定值的长方形中，正方形的面积最大”，推测“在表面积为定值的长方体中，

正方体的体积最大”

B.三角形中大角对大边，若AABC中，ZABC>ZBAC,则AC>8C

C.由F+23=32,「+23+33=62,…，得到『+23+33+型+53+63=2『

D.一切偶数都能被2整除，22°22是偶数，所以22侬能被2整除

【答案】A

【解析】

【分析】由类比推理、演绎推理、归纳推理的定义依次判断即可.

【详解】对于A,由平面图形的性质推测出空间几何体的性质，为类比推理，A正确；

对于B,为演绎推理，B错误：对于C,为归纳推理，C错误；对于D,为演绎推理，D错

误.

故选：A.

5.在等差数列｛4｝中，％+%+。9=72,则4=（）

A.12B.18C.24I）.36

【答案】C

【解析】

【分析】设等差数列｛凡｝的公差为d，利用等差数列的通项公式结合已知条件可求得4

的值.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

则％+%+%=(4+d)+(4+6d)+(q+8d)=3(q+54)=34=72,

因此，4=24.

故选：C

&是“lna<ln〃”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据必要不充分条件的定义及对数的定义即可判断.

【详解】解：由lna<ln/?,可得0<。<》，所以)时，所以必要性成立；

当Ji时，在a<Z?<0的情况下，Inaclnb不成立，所以充分性不成立.

故")</”是"Ina<Inb”的必要不充分条件.

故选:B.

7.曲线y=xe'+2x—2在x=0处的切线方程是()

A.3x+j+2=0B.2x+y+2=0

C.2x-y-2=0D.3x-y-2=0

【答案】D

【解析】

(分析】利用导数的几何意义去求曲线y=xe'+2x-2在x=0处的切线方程

【详解】y=xex+2x-2,则y'=(x+l)e'+2,

当x=0时，y=-2,弁=3,

所以切线方程为y-(-2)=3x,即3》一y-2=().

故选：D.

8.已知i为虚数单位，若匕处(/〃eR)是实数，则|〃z+2i|=()

A.2B.-2C.亚D.-75

【答案】C

【解析】

【分析】先对复数一「（meR）化简，然后由其为实数可求出m,从而可求出加+2i|

1—i

(l+mi)(l+i)\-m1+m

------------------+-------i.

(l-i)(l+i)22

1+nq\1+m

因为-----是实数，所以——=0,解得加=一1,

1-i2

所以帆+2i|=|—l+2i|=6.

故选：C

9.在平面直角坐标系中，已知直线4：Ax+4y+G=0,/2：4x+82y+G=0,若

/114,则44+4与=°♦类比可得在空间直角坐标系中，平面⑪+2y+2z-4=o与

平面3x+5y+az+l=0垂直，则实数a的值为（）

106

A.-2B.---C.--D.-5

35

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面线线垂直性质类比空间面面垂直的性质进行求解即可.

【详解】类比可得，若平面Ax+4y+Gz+A=0与平面42%+与丁+。22+。2=0垂

直，

则A4+B]B,+C[C,=0，

所以由平面分+2y+2z-4=0与平面3x+5y+az+l=0垂直可得3a+2x5+2a=0,

解得“=-2.

故选：A

2

10.已知点尸是双曲线》2-21=1右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且

8

尸尸与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则|PQ|的最小值为（）

A.272+-B.2^2----

3C1-呼

1+诞

3

【答案】B

【解析】

【分析】由双曲线的方程可得点尸坐标及渐近线方程，进而求得点尸坐标，利用点到直线

的距离公式即可求解.

【详解】解：由双曲线方程可得，点F坐标为（3,0）,将x=3代入双曲线方程，得

y=±8,

由于点尸在第一象限，所以点P坐标为（3,8）,

双曲线的渐近线方程为2缶土y=0,点P到双曲线的渐近线的距离为.

3

Q是双曲线渐近线上的动点，所以|PQ|的最小值为包|二^=2啦-|.

故选：B.

11.对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和：13=1.23=3+5，

33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，根据上述规律，25,的分解式中等号右边的

所有数中最大的数为（）

A.325B.323C.649D.647

【答案】C

【解析】

【分析】直接由题目所给数据总结规律，按照规律即可求解.

【详解】观察可知，等号右边的所有数中最大的数依次为1,5,11,19,满足

12,22+1,32+2,42+3,

由规律可知，25,的分解式中等号右边的所有数中最大的数为252+24=649.

故选：C.

2222

12.已知椭圆G：0+方=1（。＞匕＞0）和双曲线。2：2r=1（加＞0,〃＞0）有共

同的焦点片，尸2，P是它们在第一象限的交点，当/"P鸟=60。时，C与G的离心率互

为倒数，则双曲线G的离心率是（）

A.V2B.V3C.2D.y/5

【答案】B

【解析】

【分析】由椭圆的定义和双曲线的定义结合余弦定理得

4c2=（«+m）'+（a—m）'—2（«+m）（a—m）cos60°,化简后两边同除以不，得

,13

4=/+/,再由e©=1可求出02

【详解】设C,C2的离心率分别为6,4焦距为2c,

因为|P制+|P段=2«,|尸制-归闻=2〃?，

所以归制=。+〃2,俨闾=4一〃,2

由余弦定理，得忻用2=忸用，|「入『一2|以讣归国cosNFJPE,

即4c2=(a+m)-+^a—m)~-2(tz+m)(a—m)cos60°,

“13

化简，得4c2="+3m2,两边同除以。2,得4=方+丁.

G02

,23

又e©=l,所以4=纥+二

€2

又《2>1,所以弓=6.

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数/(幻=]—/⑴了2_1,则/⑴的值为.

【答案】:

【解析】

【分析】由赋值法求解

【详解】/'(乃=/一2矿⑴，令x=l得/'⑴=1—2/'⑴，得/⑴=；,

故答案为：!

3

'%>1

14.已知实数x,y满足约束条件<x+y<2,则2x+y的最小值是..

x—3y<0

7

【答案】-

3

【解析】

【分析】作出不等式组的可行域，再令z=2x+y,得到y=-2x+z,做出直线

y=-2x,向上平移到点即可得出2x+y的最小值.

x>\

【详解】作出满足约束条件，x+y<2,的可行域如图阴影部分所示：

x-3y<0

令z=2x+y,得到y=-2x+z,做出直线y=-2x,

x=l（

向上平移到点A,即《「八解得：4%，

九一3y=0I3）

7

所以2x+y有最小值为y.

7

故答案为：一.

3

15.在各项均为正数的等比数列｛《,｝中，若为=4,则4+为+%的最小值为.

【答案】12

【解析】

【分析】由题意得4>0，根据等比数列的性质=a；和基本不等式

a6+a^>2544即得.

【详解】由题意得4>0,•.•｛%｝是等比数列，.•.4/=%2=16,

又Q4,+[22向]=2，话=8,当且仅当4=/=4时，等号成立，

。6+%+。8的最小值为12.

故答案为：12.

16.关于x的方程/+方一匕=o,有下列四个命题：甲：x=5是方程的一个根；乙：

x=3是方程的一个根；丙：该方程两根异号；丁：该方程两根之和为4.若四个命题中只

有一个假命题，则假命题是.

【答案】乙

【解析】

【分析】因为四个命题中只有一个假命题，所以分别分析甲、乙、丙、丁其中一个是假命

题的情况即可得出答案.

【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则x=3是方程/+"一。=0的一个根，由

于两根之和为4,则另一根为1,两根同号、与丙是真命题矛盾，不满足题意；

若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则x=5是方程V+田:一匕=。的一个根，由于两根之

和为4,则该方程的另一根为-1,两根异号，满足题意；

若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则方程/+奴一。=0的两根为3和5,两根之和为

8,与丁是真命题矛盾，不满足题意；

若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则方程f+以一2=0的两根为3和5,两根同号，与

丙是真命题矛盾，不满足题意.

综上所述，乙命题为假命题.

故答案为：乙.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题

为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作

答.

(-)必考题：共60分.

17.为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康观念，手机APP也推出了多款健

康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司280名员工均在微信好友群中参与了“微信运

动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月

“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者为了进一步了解员工们的运动情况，选取了

员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：

运动达人参与者合计

男员工120160

女员工40

合计280

(1)请补充完2x2列联表；

(2)根据2x2列联表判断是否有90%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关?

n(ad-bc\

参考公式：K?=其中n=a-\-h+c+d.

(a+O)(c+d)(a+c)(O+d)

临界值表:

2

P(K>k0)0.150.100.050.01

即2.0722.7063.8416.635

【答案】（1）表格见解析

（2）没有90%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关

【解析】

【分析】（1）根据题干所给数据完善列联表；

（2）计算出卡方，即可判断；

【小问1详解】

解：依题意可得2x2列联表如下：

运动达人参与者合计

男员工12040160

女员工8040120

合计20080280

【小问2详解】解：由列联表可得K?=28。。2吆。心必）=2333<2706，

200x80x160x120

所以没有90%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关.

18.如图，在平面四边形A8CZ）中，若A8=6,BC=10,CD=12,NABC=120。，

ZACB=ZACD.

（1）求cosZBCD的值；

（2）求AO的长度.

71

【答案】⑴7

（2）AD=2百

【解析】

【分析】（1）在AABC中，由余弦定理得AC=14,由正弦定理得sinN8CA=3®，再

14

根据二倍角公式求解即可得cosNBC£>=—；

98

13

(2)结合(1)得cosNBC4=一,进而在八48中，根据余弦定理得AO=2近.

14

【小问1详解】

解：在AABC中，因为AB=6,BC=10,NA5C=120°,

由余弦定理，nT#AC2=AB2+5C2-2xABxBCxcosZABC=196，

所以AC=14.

ABAC

又由正弦定理可得

sinZBCAsinZABC

w、一AB-sinl20。3K

所以smZBCA=---------------=——.

AC14

,71

所以cosZBCD=l-2sin2ZBCA=—

98

【小问2详解】

解：由(1),因为NBC4为锐角，可得cosNBCA=一sir?NBC4=」.

14

在/\ACD中，根据余弦定理，可得AD2=AC2+CD2-2ACCD-cosZBCA

=142+122-2xl4xl2x—=28,

14

所以AO=2jy.

19.已知函数/("=⑪3―灰2_9*_]在》=_]处取得极值4

(1)求a,方的值；

(2)若存在xe[2,4],使34—%2之/(力成立，求实数义的取值范围.

【答案】(1)a=l,b=3

(2)H，7]

【解析】

【分析】(1)利用题给条件列出关于“，匕的方程组，解之并进行检验后即可求得。，匕的

值；

(2)利用题给条件列出关于实数X的不等式，解之即得实数4的取值范围.

【小问1详解】

/(x)=ar3-fex2-9x-l,则f'(x)=3ax2-2bx-9.

因为函数/(司=加一展2-9X-1在尤=一1处取得极值4,

Q=1

所以3。+2/?-9=0,—。―/7+9—1=4,解得《

b=3

此时/'（x）=3%2-6x-9=3（x+l）（x-3）.

易知/（x）在（YO,-1）上单调递增，在（-1,3）上单调递减，在（3,+8）上单调递增，

则》=-1是函数/（X）的极大值点，符合题意.故。=1,b=3.

【小问2详解】

若存在xe[2,4],使3%—力2/（力成立，则“一万对了⑴焉.

由（1）得，/（x）=x3-3x2-9x-\,

且〃x）在[2,3）上单调递减，在（3,4]上单调递增，

所以=/G）=27—27—27—1=一28,

所以32—几2之一28，即兄2一32—28W0,解得一44/1<7，

所以实数2的取值范围是[T,7].

20.网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达

8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%.某电商对其旗下的一家专营

店近五年来每年的利润额外（单位：万元）与时间第4年进行了统计得如下数据：

412345

2.63.14.56.88.0

（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与/的关系？请计算相关系数r

并加以说明（计算结果精确到0.01）.（若“20.75,则线性相关程度很高，可用线性回归

模型拟合）

（2）试用最小二乘法求出利润y与时间r的回归方程，并预测当，=7时的利润额.

力（4-亍）（y-y）为的-两

右=『--------------------------，a^y-bT.

刀-〃尸

/=]/=!

2

参考数据：j>/=89.5,回,Jy（y,-y）=A/21.86,

；=Iviy篇

5/218.6«14.785.

【答案】（1）0.98,y与f的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合.

（2）夕=1.45，+0.65,10.8万元.

【解析】

【分析】（1）先利用公式计算出相关系数r,再按要求进行比较，进而得到结果；

（2）先利用公式求得从a-得到利润y与时间/的回归方程，进而预测当，=7时的利润

额.

【小问1详解】

由题表，T=gx(l+2+3+4+5)=3,y=^x(2.6+3.1+4.5+6.8+8.0)=5

因6b=89.5,快一7丫=回,JE(x-y)2=V2h86-

5

14.514.5

所以「=卜、卜，x0.98>0.75

V218.614.785

Vz=iV/=i

故y与r的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合.

【小问2详解】

5

,2注一51145A_

b=y--------=--=1.45,a=y-bT=5-1.45x3=0.65,

刀-5尸10

i=\

所以9=1.45/+0.65.当方=7时，$=1.45x7+0.65=10.8.

预测该专营店在t=7时的利润为10.8万元.

21.已知抛物线C：、2=2，%（0>0）的焦点为尸，直线y=2x—2被抛物线C截得的弦

长为5.

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知点A,8是抛物线C上异于原点O的不同动点，且直线和直线的斜率之

和为-2,过点尸作直线AB的垂线，垂足为“，是否存在定点P,使得线段P"的长度为

定值？若存在，求出点P的坐标及线段PH的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y2=4x

⑵存在，呜，T），Y

【解析】

【分析】（1）设直线y=2x-2与抛物线交于加（司,乂），N（%,〉2）两点，两方程联

立，得

利用韦达定理代入|MN|=-=5，可得答案；

<2\/2\

（2）设直线A8的方程为％=缈+匕A，B区,以，直线AB的方程与抛

[r471r4y

k4-k=上L+-=-2

物线方程联立，利用韦达定理代入°入以一区甚一可得。=2相，从而得到

直线AB恒过定点。（0,-2）,利用FHLDH得点”在以线段。尸为直径的圆上，取。F

的中点尸，得|P”|=g|DF上手，可得存在定点尸，求得线段P4的长度.

【小问1详解】

设直线"2%-2与抛物线C丁=2〃尢交于用（4乂），N（%,%）两点.

联立<；；_2px，得2f-（4+p）x+2=0,

因为〃>0,所以八=（4+〃）2-16=〃2+8〃>0恒成立，

4+p

\+x2=,无也=1，

2

所以\MN\=Vl+2|x,-x2|=逐J（X[+*2）2-4%]%2=,J[+"=5,

解得p=2（p=T0舍去）.

所以抛物线C的方程为y2=4x.

【小问2详解】

由题意分析可知，直线AB的斜率不为0,

不妨设直线AB的方程为x=A半，为，B2,为，

I4）I4

y2=4x

联立《得y20一4m丁-4/=0,

x=my+t

△=16m2+16/>0，即/7?+1>（）,

y3+y4=4m,y3y4=-4t,

y3y4_44_4（y+y）_16/n

k+k-----f----------T-------------3-----4---------

KOAT八08

¥£%%为%—4f

44

所以，=2w，所以直线AS的方程为X=m)，+2〃z,即％=〃?(、+2),

所以直线AB恒过定点1)(0,-2),

因为尸(1,0),FH±AB，即£WZ)〃，

所以点，在以线段。尸为直径的圆上，

取OF的中点P,则P(；,-1),

|P//|=1|£>F|=|XV12+22

所以存在定点P，使得线段尸”的长度为定值，点P的坐标为

线段P”的长度为更.

2

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则

按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

x=1+cosa

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〈°.(a为参数).以。为