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文档简介
强基联盟23届新高三摸底大联考
数学(文科)
考生注意:
1.本试卷分选择题和非选择题两部分,满分150分,考试时间120分钟.
2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时,请将答案答在答题卡上,选择题每小题选出答案后,用2B铅
笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水
签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在
试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本命题范围:人教版必修5,选修1-1,选修1-2,选修4-4,选修4-5.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的.
I.甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验,并分别计算出相关指数
R2,则线性相关程度最高的是()
甲乙丙J-
R120.870.910.580.83
A.甲B.乙C.丙D.T
【答案】B
【解析】
【分析】利用相关指数R?的性质,通过比较四位同学的R2,即可得到线性相关程度最高
的同学
【详解】R2越接近于I,两个变量的线性相关程度越高.
0.91>0.87>0.83>0.58,则线性相关程度最高的是乙
故选:B.
1,
2.已知命题p:HxeH,使得e*+x+],则「〃为()
1,1,
A.VxGR>e'<—x~+x+1B.VxGR,e'<-x~+x+1
22
1,1,
C./?(e><—x~+x+lD.HXG7?,eA<—x+x+l
22
【答案】A
【解析】
【分析】根据命题的否定即可求解.
【详解】解:根据命题的否定可知,力为VxeR,ex<-x2+x+l.
2
故选:A.
3.若复数:z=i(3-2i)(i是虚数单位),则z=()
A.—2+3iB.2+3iC.3+2iD.3一2i
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘法,可直接得出结果.
【详解】z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i
故选:B
4.下面几种推理是类比推理的是()
A.由“周长为定值的长方形中,正方形的面积最大”,推测“在表面积为定值的长方体中,
正方体的体积最大”
B.三角形中大角对大边,若AABC中,ZABC>ZBAC,则AC>8C
C.由F+23=32,「+23+33=62,…,得到『+23+33+型+53+63=2『
D.一切偶数都能被2整除,22°22是偶数,所以22侬能被2整除
【答案】A
【解析】
【分析】由类比推理、演绎推理、归纳推理的定义依次判断即可.
【详解】对于A,由平面图形的性质推测出空间几何体的性质,为类比推理,A正确;
对于B,为演绎推理,B错误:对于C,为归纳推理,C错误;对于D,为演绎推理,D错
误.
故选:A.
5.在等差数列{4}中,%+%+。9=72,则4=()
A.12B.18C.24I).36
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列{凡}的公差为d,利用等差数列的通项公式结合已知条件可求得4
的值.
【详解】设等差数列{%}的公差为d,
则%+%+%=(4+d)+(4+6d)+(q+8d)=3(q+54)=34=72,
因此,4=24.
故选:C
&是“lna<ln〃”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据必要不充分条件的定义及对数的定义即可判断.
【详解】解:由lna<ln/?,可得0<。<》,所以)时,所以必要性成立;
当Ji时,在a<Z?<0的情况下,Inaclnb不成立,所以充分性不成立.
故")</”是"Ina<Inb”的必要不充分条件.
故选:B.
7.曲线y=xe'+2x—2在x=0处的切线方程是()
A.3x+j+2=0B.2x+y+2=0
C.2x-y-2=0D.3x-y-2=0
【答案】D
【解析】
(分析】利用导数的几何意义去求曲线y=xe'+2x-2在x=0处的切线方程
【详解】y=xex+2x-2,则y'=(x+l)e'+2,
当x=0时,y=-2,弁=3,
所以切线方程为y-(-2)=3x,即3》一y-2=().
故选:D.
8.已知i为虚数单位,若匕处(/〃eR)是实数,则|〃z+2i|=()
A.2B.-2C.亚D.-75
【答案】C
【解析】
【分析】先对复数一「(meR)化简,然后由其为实数可求出m,从而可求出加+2i|
1—i
(l+mi)(l+i)\-m1+m
------------------+-------i.
(l-i)(l+i)22
1+nq\1+m
因为-----是实数,所以——=0,解得加=一1,
1-i2
所以帆+2i|=|—l+2i|=6.
故选:C
9.在平面直角坐标系中,已知直线4:Ax+4y+G=0,/2:4x+82y+G=0,若
/114,则44+4与=°♦类比可得在空间直角坐标系中,平面⑪+2y+2z-4=o与
平面3x+5y+az+l=0垂直,则实数a的值为()
106
A.-2B.---C.--D.-5
35
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面线线垂直性质类比空间面面垂直的性质进行求解即可.
【详解】类比可得,若平面Ax+4y+Gz+A=0与平面42%+与丁+。22+。2=0垂
直,
则A4+B]B,+C[C,=0,
所以由平面分+2y+2z-4=0与平面3x+5y+az+l=0垂直可得3a+2x5+2a=0,
解得“=-2.
故选:A
2
10.已知点尸是双曲线》2-21=1右焦点,点P是双曲线上在第一象限内的一点,且
8
尸尸与x轴垂直,点Q是双曲线渐近线上的动点,则|PQ|的最小值为()
A.272+-B.2^2----
3C1-呼
1+诞
3
【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线的方程可得点尸坐标及渐近线方程,进而求得点尸坐标,利用点到直线
的距离公式即可求解.
【详解】解:由双曲线方程可得,点F坐标为(3,0),将x=3代入双曲线方程,得
y=±8,
由于点尸在第一象限,所以点P坐标为(3,8),
双曲线的渐近线方程为2缶土y=0,点P到双曲线的渐近线的距离为.
3
Q是双曲线渐近线上的动点,所以|PQ|的最小值为包|二^=2啦-|.
故选:B.
11.对于一个数的三次方,我们可以分解为若干个数字的和:13=1.23=3+5,
33=7+9+11,43=13+15+17+19,…,根据上述规律,25,的分解式中等号右边的
所有数中最大的数为()
A.325B.323C.649D.647
【答案】C
【解析】
【分析】直接由题目所给数据总结规律,按照规律即可求解.
【详解】观察可知,等号右边的所有数中最大的数依次为1,5,11,19,满足
12,22+1,32+2,42+3,
由规律可知,25,的分解式中等号右边的所有数中最大的数为252+24=649.
故选:C.
2222
12.已知椭圆G:0+方=1(。>匕>0)和双曲线。2:2r=1(加>0,〃>0)有共
同的焦点片,尸2,P是它们在第一象限的交点,当/"P鸟=60。时,C与G的离心率互
为倒数,则双曲线G的离心率是()
A.V2B.V3C.2D.y/5
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆的定义和双曲线的定义结合余弦定理得
4c2=(«+m)'+(a—m)'—2(«+m)(a—m)cos60°,化简后两边同除以不,得
,13
4=/+/,再由e©=1可求出02
【详解】设C,C2的离心率分别为6,4焦距为2c,
因为|P制+|P段=2«,|尸制-归闻=2〃?,
所以归制=。+〃2,俨闾=4一〃,2
由余弦定理,得忻用2=忸用,|「入『一2|以讣归国cosNFJPE,
即4c2=(a+m)-+^a—m)~-2(tz+m)(a—m)cos60°,
“13
化简,得4c2="+3m2,两边同除以。2,得4=方+丁.
G02
,23
又e©=l,所以4=纥+二
€2
又《2>1,所以弓=6.
故选:B
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若函数/(幻=]—/⑴了2_1,则/⑴的值为.
【答案】:
【解析】
【分析】由赋值法求解
【详解】/'(乃=/一2矿⑴,令x=l得/'⑴=1—2/'⑴,得/⑴=;,
故答案为:!
3
'%>1
14.已知实数x,y满足约束条件<x+y<2,则2x+y的最小值是..
x—3y<0
7
【答案】-
3
【解析】
【分析】作出不等式组的可行域,再令z=2x+y,得到y=-2x+z,做出直线
y=-2x,向上平移到点即可得出2x+y的最小值.
x>\
【详解】作出满足约束条件,x+y<2,的可行域如图阴影部分所示:
x-3y<0
令z=2x+y,得到y=-2x+z,做出直线y=-2x,
x=l(
向上平移到点A,即《「八解得:4%,
九一3y=0I3)
7
所以2x+y有最小值为y.
7
故答案为:一.
3
15.在各项均为正数的等比数列{《,}中,若为=4,则4+为+%的最小值为.
【答案】12
【解析】
【分析】由题意得4>0,根据等比数列的性质=a;和基本不等式
a6+a^>2544即得.
【详解】由题意得4>0,•.•{%}是等比数列,.•.4/=%2=16,
又Q4,+[22向]=2,话=8,当且仅当4=/=4时,等号成立,
。6+%+。8的最小值为12.
故答案为:12.
16.关于x的方程/+方一匕=o,有下列四个命题:甲:x=5是方程的一个根;乙:
x=3是方程的一个根;丙:该方程两根异号;丁:该方程两根之和为4.若四个命题中只
有一个假命题,则假命题是.
【答案】乙
【解析】
【分析】因为四个命题中只有一个假命题,所以分别分析甲、乙、丙、丁其中一个是假命
题的情况即可得出答案.
【详解】若甲是假命题,则乙丙丁是真命题,则x=3是方程/+"一。=0的一个根,由
于两根之和为4,则另一根为1,两根同号、与丙是真命题矛盾,不满足题意;
若乙是假命题,则甲丙丁是真命题,则x=5是方程V+田:一匕=。的一个根,由于两根之
和为4,则该方程的另一根为-1,两根异号,满足题意;
若丙是假命题,则甲乙丁是真命题,则方程/+奴一。=0的两根为3和5,两根之和为
8,与丁是真命题矛盾,不满足题意;
若丁是假命题,则甲乙丙是真命题,则方程f+以一2=0的两根为3和5,两根同号,与
丙是真命题矛盾,不满足题意.
综上所述,乙命题为假命题.
故答案为:乙.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题
为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作
答.
(-)必考题:共60分.
17.为推动实施健康中国战略,树立国家大卫生、大健康观念,手机APP也推出了多款健
康运动软件,如“微信运动”,某运动品牌公司280名员工均在微信好友群中参与了“微信运
动”,且公司每月进行一次评比,对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月
“运动达人”称号,其余员工均称为“参与者为了进一步了解员工们的运动情况,选取了
员工们在3月份的运动数据进行分析,统计结果如下:
运动达人参与者合计
男员工120160
女员工40
合计280
(1)请补充完2x2列联表;
(2)根据2x2列联表判断是否有90%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关?
n(ad-bc\
参考公式:K?=其中n=a-\-h+c+d.
(a+O)(c+d)(a+c)(O+d)
临界值表:
2
P(K>k0)0.150.100.050.01
即2.0722.7063.8416.635
【答案】(1)表格见解析
(2)没有90%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关
【解析】
【分析】(1)根据题干所给数据完善列联表;
(2)计算出卡方,即可判断;
【小问1详解】
解:依题意可得2x2列联表如下:
运动达人参与者合计
男员工12040160
女员工8040120
合计20080280
【小问2详解】解:由列联表可得K?=28。。2吆。心必)=2333<2706,
200x80x160x120
所以没有90%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关.
18.如图,在平面四边形A8CZ)中,若A8=6,BC=10,CD=12,NABC=120。,
ZACB=ZACD.
(1)求cosZBCD的值;
(2)求AO的长度.
71
【答案】⑴7
(2)AD=2百
【解析】
【分析】(1)在AABC中,由余弦定理得AC=14,由正弦定理得sinN8CA=3®,再
14
根据二倍角公式求解即可得cosNBC£>=—;
98
13
(2)结合(1)得cosNBC4=一,进而在八48中,根据余弦定理得AO=2近.
14
【小问1详解】
解:在AABC中,因为AB=6,BC=10,NA5C=120°,
由余弦定理,nT#AC2=AB2+5C2-2xABxBCxcosZABC=196,
所以AC=14.
ABAC
又由正弦定理可得
sinZBCAsinZABC
w、一AB-sinl20。3K
所以smZBCA=---------------=——.
AC14
,71
所以cosZBCD=l-2sin2ZBCA=—
98
【小问2详解】
解:由(1),因为NBC4为锐角,可得cosNBCA=一sir?NBC4=」.
14
在/\ACD中,根据余弦定理,可得AD2=AC2+CD2-2ACCD-cosZBCA
=142+122-2xl4xl2x—=28,
14
所以AO=2jy.
19.已知函数/("=⑪3―灰2_9*_]在》=_]处取得极值4
(1)求a,方的值;
(2)若存在xe[2,4],使34—%2之/(力成立,求实数义的取值范围.
【答案】(1)a=l,b=3
(2)H,7]
【解析】
【分析】(1)利用题给条件列出关于“,匕的方程组,解之并进行检验后即可求得。,匕的
值;
(2)利用题给条件列出关于实数X的不等式,解之即得实数4的取值范围.
【小问1详解】
/(x)=ar3-fex2-9x-l,则f'(x)=3ax2-2bx-9.
因为函数/(司=加一展2-9X-1在尤=一1处取得极值4,
Q=1
所以3。+2/?-9=0,—。―/7+9—1=4,解得《
b=3
此时/'(x)=3%2-6x-9=3(x+l)(x-3).
易知/(x)在(YO,-1)上单调递增,在(-1,3)上单调递减,在(3,+8)上单调递增,
则》=-1是函数/(X)的极大值点,符合题意.故。=1,b=3.
【小问2详解】
若存在xe[2,4],使3%—力2/(力成立,则“一万对了⑴焉.
由(1)得,/(x)=x3-3x2-9x-\,
且〃x)在[2,3)上单调递减,在(3,4]上单调递增,
所以=/G)=27—27—27—1=一28,
所以32—几2之一28,即兄2一32—28W0,解得一44/1<7,
所以实数2的取值范围是[T,7].
20.网购是现代年轻人重要的购物方式,截止:2021年12月,我国网络购物用户规模达
8.42亿,较2020年12月增长5968万,占网民整体的81.6%.某电商对其旗下的一家专营
店近五年来每年的利润额外(单位:万元)与时间第4年进行了统计得如下数据:
412345
2.63.14.56.88.0
(1)依据表中给出的数据,是否可用线性回归模型拟合y与/的关系?请计算相关系数r
并加以说明(计算结果精确到0.01).(若“20.75,则线性相关程度很高,可用线性回归
模型拟合)
(2)试用最小二乘法求出利润y与时间r的回归方程,并预测当,=7时的利润额.
力(4-亍)(y-y)为的-两
右=『--------------------------,a^y-bT.
刀-〃尸
/=]/=!
2
参考数据:j>/=89.5,回,Jy(y,-y)=A/21.86,
;=Iviy篇
5/218.6«14.785.
【答案】(1)0.98,y与f的线性相关程度很高,可以用线性回归模型拟合.
(2)夕=1.45,+0.65,10.8万元.
【解析】
【分析】(1)先利用公式计算出相关系数r,再按要求进行比较,进而得到结果;
(2)先利用公式求得从a-得到利润y与时间/的回归方程,进而预测当,=7时的利润
额.
【小问1详解】
由题表,T=gx(l+2+3+4+5)=3,y=^x(2.6+3.1+4.5+6.8+8.0)=5
因6b=89.5,快一7丫=回,JE(x-y)2=V2h86-
5
14.514.5
所以「=卜、卜,x0.98>0.75
V218.614.785
Vz=iV/=i
故y与r的线性相关程度很高,可以用线性回归模型拟合.
【小问2详解】
5
,2注一51145A_
b=y--------=--=1.45,a=y-bT=5-1.45x3=0.65,
刀-5尸10
i=\
所以9=1.45/+0.65.当方=7时,$=1.45x7+0.65=10.8.
预测该专营店在t=7时的利润为10.8万元.
21.已知抛物线C:、2=2,%(0>0)的焦点为尸,直线y=2x—2被抛物线C截得的弦
长为5.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知点A,8是抛物线C上异于原点O的不同动点,且直线和直线的斜率之
和为-2,过点尸作直线AB的垂线,垂足为“,是否存在定点P,使得线段P"的长度为
定值?若存在,求出点P的坐标及线段PH的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y2=4x
⑵存在,呜,T),Y
【解析】
【分析】(1)设直线y=2x-2与抛物线交于加(司,乂),N(%,〉2)两点,两方程联
立,得
利用韦达定理代入|MN|=-=5,可得答案;
<2\/2\
(2)设直线A8的方程为%=缈+匕A,B区,以,直线AB的方程与抛
[r471r4y
k4-k=上L+-=-2
物线方程联立,利用韦达定理代入°入以一区甚一可得。=2相,从而得到
直线AB恒过定点。(0,-2),利用FHLDH得点”在以线段。尸为直径的圆上,取。F
的中点尸,得|P”|=g|DF上手,可得存在定点尸,求得线段P4的长度.
【小问1详解】
设直线"2%-2与抛物线C丁=2〃尢交于用(4乂),N(%,%)两点.
联立<;;_2px,得2f-(4+p)x+2=0,
因为〃>0,所以八=(4+〃)2-16=〃2+8〃>0恒成立,
4+p
\+x2=,无也=1,
2
所以\MN\=Vl+2|x,-x2|=逐J(X[+*2)2-4%]%2=,J[+"=5,
解得p=2(p=T0舍去).
所以抛物线C的方程为y2=4x.
【小问2详解】
由题意分析可知,直线AB的斜率不为0,
不妨设直线AB的方程为x=A半,为,B2,为,
I4)I4
y2=4x
联立《得y20一4m丁-4/=0,
x=my+t
△=16m2+16/>0,即/7?+1>(),
y3+y4=4m,y3y4=-4t,
y3y4_44_4(y+y)_16/n
k+k-----f----------T-------------3-----4---------
KOAT八08
¥£%%为%—4f
44
所以,=2w,所以直线AS的方程为X=m),+2〃z,即%=〃?(、+2),
所以直线AB恒过定点1)(0,-2),
因为尸(1,0),FH±AB,即£WZ)〃,
所以点,在以线段。尸为直径的圆上,
取OF的中点P,则P(;,-1),
|P//|=1|£>F|=|XV12+22
所以存在定点P,使得线段尸”的长度为定值,点P的坐标为
线段P”的长度为更.
2
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则
按所做的第一题计分.
选修4-4:坐标系与参数方程
x=1+cosa
22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为〈°.(a为参数).以。为
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