新高考数学二轮复习 专题限时集训8 高考中的文化题 高考中的创新应用题（含解析）-人教版高三数学试题

专题限时集训(八)高考中的数学文化题高考中的创新应用题1．(2020·全国卷Ⅱ)如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12，设1≤i<j<k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()A．5B．8C．10D．15C[法一：由题意，知ai，aj，ak构成原位大三和弦时，j＝k－3，i＝j－4，所以ai，aj，ak为原位大三和弦的情况有：k＝12，j＝9，i＝5；k＝11，j＝8，i＝4；k＝10，j＝7，i＝3；k＝9，j＝6，i＝2；k＝8，j＝5，i＝1共5种．ai，aj，ak构成原位小三和弦时，j＝k－4，i＝j－3，所以ai，aj，ak为原位小三和弦的情况有：k＝12，j＝8，i＝5；k＝11，j＝7，i＝4；k＝10，j＝6，i＝3；k＝9，j＝5，i＝2；k＝8，j＝4，i＝1共5种．所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10，故选C．法二：由题意，知当ai，aj，ak为原位大三和弦时，k－j＝3且j－i＝4，又1≤i<j<k≤12，所以5≤j≤9，所以这12个键可以构成的原位大三和弦的个数为5.当ai，aj，ak为原位小三和弦时，k－j＝4且j－i＝3，又1≤i<j<k≤12，所以4≤j≤8，所以这12个键可以构成的原位小三和弦的个数为5.所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10，故选C．]2．(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天B[∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(It1＝eeq\s\up10(0.38t1)，,It2＝eeq\s\up10(0.38t2)，,It2＝2It1，))则eeq\s\up10(0.38(t2－t1))＝2，0.38(t2－t1)＝ln2≈0.69，t2－t1≈1.8，故选B．]3．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：eq\f(M1,R＋r2)＋eq\f(M2,r2)＝(R＋r)eq\f(M1,R3).设α＝eq\f(r,R).由于α的值很小，因此在近似计算中eq\f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)≈3α3，则r的近似值为()A．eq\r(\f(M2,M1))R B．eq\r(\f(M2,2M1))RC．eq\r(3,\f(3M2,M1))R D．eq\r(3,\f(M2,3M1))RD[由eq\f(M1,R＋r2)＋eq\f(M2,r2)＝(R＋r)eq\f(M1,R3)，得eq\f(M1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(r,R)))\s\up10(2))＋eq\f(M2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,R)))\s\up10(2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(r,R)))M1.因为α＝eq\f(r,R)，所以eq\f(M1,1＋α2)＋eq\f(M2,α2)＝(1＋α)M1，得eq\f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)＝eq\f(M2,M1).由eq\f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)≈3α3，得3α3≈eq\f(M2,M1)，即3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,R)))eq\s\up10(3)≈eq\f(M2,M1)，所以r≈eq\r(3,\f(M2,3M1))·R，故选D．]4．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A．eq\f(5,16)B．eq\f(11,32)C．eq\f(21,32)D．eq\f(11,16)A[由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为Ceq\o\al(3,6)＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).故选A．]5．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏B[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3.故选B．]6．(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于eq\r(12,2).若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A．eq\r(3,2)fB．eq\r(3,22)fC．eq\r(12,25)fD．eq\r(12,27)fD[由题意知，十三个单音的频率构成首项为f，公比为eq\r(12,2)的等比数列，设该等比数列为{an}，则a8＝a1q7，即a8＝eq\r(12,27)f，故选D．]7．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10－10.1A[依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，所以eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)＝－1.45－(－26.7)＝25.25，所以lgeq\f(E1,E2)＝25.25×eq\f(2,5)＝10.1，所以eq\f(E1,E2)＝1010.1.故选A．]8．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛B[设米堆的底面半径为r尺，则eq\f(π,2)r＝8，所以r＝eq\f(16,π)，所以米堆的体积为V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)π·r2·5＝eq\f(π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))eq\s\up10(2)×5≈eq\f(320,9)(立方尺)．故堆放的米约有eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛)．故选B．]9．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是()A．440B．330C．220D．110A[设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为eq\f(n1＋n,2).由题意知，N>100，令eq\f(n1＋n,2)＞100⇒n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后．第n组的各项和为eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，前n组所有项的和为eq\f(21－2n,1－2)－n＝2n＋1－2－n.设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则第n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)⇒n最小为29，此时k＝5，则N＝eq\f(29×1＋29,2)＋5＝440.故选A．]10．(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________.若l⊥m，l⊥α，则m∥α(答案不唯一)[把其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种情况．对三种情况逐一验证．①②作为条件，③作为结论时，还可能l∥α或l与α斜交；①③作为条件，②作为结论和②③作为条件，①作为结论时，容易证明命题成立．]11．(2020·北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－eq\f(fb－fa,b－a)的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．结出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时间，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．①②③[由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，故④错误．]12．[一题两空](2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有__________个面，其棱长为__________．图1图226eq\r(2)－1[依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1，解得x＝eq\r(2)－1，故题中的半正多面体的棱长为eq\r(2)－1.]1．(2020·厦门模拟)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为()A．eq\f(1,14)B．eq\f(1,7)C．eq\f(5,28)D．eq\f(5,14)D[观察八卦图可知，含有3根阴线的共有1卦，含有3根阳线的共有1卦，含有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有三根阳线和三根阴线的概率为eq\f(C\o\al(1,1)×C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,3)×C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，故选D．]2．(2020·江西红色七校第一次联考)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为eq\f(b,a)和eq\f(d,c)(a，b，c，d∈N*)，则eq\f(b＋d,a＋c)是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道e＝2.71828…，若令eq\f(27,10)＜e＜eq\f(14,5)，则第一次用“调日法”后得eq\f(41,15)是e的更为精确的过剩近似值，即eq\f(27,10)＜e＜eq\f(41,15)，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得e的近似分数为()A．eq\f(109,40)B．eq\f(68,25)C．eq\f(19,7)D．eq\f(87,32)C[第一次用“调日法”后得eq\f(41,15)是e的更为精确的过剩近似值，即eq\f(27,10)＜e＜eq\f(41,15)，第二次用“调日法”后得eq\f(68,25)是e的更为精确的过剩近似值，即eq\f(27,10)＜e＜eq\f(68,25)，第三次用“调日法”后得eq\f(19,7)是e的更为精确的不足近似值，故选C．]3．(2020·济宁模拟)《九章算术》一书中衰分、均输、盈不足等卷中记载了一些有关数列的问题．齐去长安三千里，今有良马发长安至齐，驽马发齐至长安，同日相向而行．良马初日行一百五十五里，日增十二里；驽马初日行一百里，日减二里．问几日相遇()A．十日 B．十一日C．十二日 D．六十日A[设良马每天行走的里数构成数列{an}，驽马每天行走的里数构成数列{bn}，则{an}，{bn}均为等差数列，公差分别为d1，d2，且a1＝155，d1＝12，b1＝100，d2＝－2，设n日相遇，则由题意知155n＋eq\f(nn－1,2)×12＋100n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝3000，解得n＝10.]4．(2020·日照模拟)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是()A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝eq\f(50,7)B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝eq\f(50,7)C．a，b，c成公比为eq\f(1,2)的等比数列，且a＝eq\f(50,7)D．a，b，c成公比为eq\f(1,2)的等比数列，且c＝eq\f(50,7)D[由题意可得，a，b，c构成公比为eq\f(1,2)的等比数列，b＝eq\f(1,2)a，c＝eq\f(1,2)b，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝eq\f(50,7).故选D．]5．(2020·郑州模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜求积术”．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积术”为S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up10(2)))).若c2sinA＝4sinC，B＝eq\f(π,3)，则用“三斜求积术”求得△ABC的面积为()A．eq\r(3)B．eq\r(5)C．eq\r(6)D．eq\r(7)A[根据正弦定理，由c2sinA＝4sinC，可得ac＝4.结合B＝eq\f(π,3)，可得a2＋c2－b2＝4，则S△ABC＝eq\r(\f(1,4)16－4)＝eq\r(3)，故选A．]6．[多选](2020·枣庄模拟)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”．下列为“H函数”的是()A．y＝sinxcosx B．y＝lnx＋exC．y＝2x D．y＝x2－2xAB[由题意，得“H函数”的值域关于原点对称．A中，y＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数y＝lnx＋ex的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y＝2x>0，故C不是“H函数”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”．综上所述，A，B是“H函数”，故选AB．]7．[多选](2020·济宁模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．则下列函数是一阶整点函数的是()A．f(x)＝sin2x B．g(x)＝x3C．h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up10(x) D．φ(x)＝lnxAD[对于函数f(x)＝sin2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，A正确；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，B错误；对于函数h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up10(x)，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，C错误．对于函数φ(x)＝lnx，它的图象(图略)只经过一个整点(1，0)，所以它是一阶整点函数，D正确．故选AD．]8．(2020·南宁模拟)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD＝2，ED＝1，若鳖臑P­ADE的体积为1，则阳马P­ABCD的外接球的表面积等于()A．17πB．18πC．19πD．20πA[设PA＝x，∵三棱锥P­ADE的体积为1，AD⊥DE且AD＝2，ED＝1，∴VP­ADE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×x＝1，解得PA＝x＝3.又∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∴四棱锥P­ABCD补形为正四棱柱(图略)，则阳马P­ABCD的外接球直径等于体对角线PC，∵PC＝eq\r(22＋22＋32)＝eq\r(17)，∴外接球半径r＝eq\f(\r(17),2)，∴外接球的表面积为4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(17),2)))eq\s\up10(2)＝17π.]9．[多选](2020·淄博模拟)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0，则称集合M是“垂直对点集”．则下列四个集合是“垂直对点集”的为()A．M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}B．N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)))))C．P＝{(x，y)|y＝ex－2}D．Q＝{(x，y)|y＝log2x}AC[对于A，C中的函数，结合它们的图象可知，过原点的任意一条直线l都与它们的图象相交，且存在过原点的直线l′，使得l′⊥l，并与A，C中的函数的图象相交，故A，C满足题意；对于B，y＝eq\f(1,x)的图象是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以对于任意的(x1，y1)∈N，不存在{x2，y2)∈N，使得x1x2＋y1y2＝0，所以B不满足题意；对于D，在函数y＝log2x的图象上取点(1，0)，找不到(x2，y2)∈Q，使得1×x2＋0×y2＝0，所以D不满足题意，所以答案为AC．]10．(2020·南昌模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线Γ的离心率为()A．eq\f(2\r(3),3)B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2A[设与平面α平行的平面为β，以AC，BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)．根据题意可设双曲线Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，则eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up10(2))＝eq\f(2\r(3),3).故选A．]11．(2020·广东四校联考)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前N项和为M，且满足：①N＞80，②M是2的整数次幂，则满足条件的最小的N为()A．21B．91C．95D．101C[由题意，数列分段给出，第n段是首项为1、公比为2的n项等比数列，因此前n段包含的项数为1＋2＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，这些项的和为20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋2n－1)＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝2n＋1－n－2.设所求的N项中包含完整的n段等比数列以及第n＋1段等比数列的前k项，则N＝eq\f(nn＋1,2)＋k＞80，20＋21＋…＋2k－1＝n＋2，k＜n＋1，且使得N取值最小．这等价于求n和k满足N＝eq\f(nn＋1,2)＋k>80，n＋3＝2k，k<n＋1，且使得N取值最小．于是，n＝2k－3，故N＝(2k－3)(2k－1－1)＋k.要使得N>80且取值最小，只需求k的最小值，使得N>80，当k＝3时，N＝18<80，不符合题意；当k＝4时，N＝95>80，此时，n＝13.故满足条件的最小的N为95.故选C．]12．(2020·长春模拟)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且eq\f(PT,AT)＝eq\f(\r(5)－1,2)，下列关系中正确的是()A．eq\o(BP,\s\up7(→))－eq\o(TS,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up7(→))B．eq\o(CQ,\s\up7(→))＋eq\o(TP,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(TS,\s\up7(→))C．eq\o(ES,\s\up7(→))－eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(BQ,\s\up7(→))D．eq\o(AT,\s\up7(→))＋eq\o(BQ,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up7(→))A[在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且eq\f(PT,AT)＝eq\f(\r(5)－1,2).在A中，eq\o(BP,\s\up7(→))－eq\o(TS,\s\up7(→))＝eq\o(TE,\s\up7(→))－eq\o(TS,\s\up7(→))＝eq\o(SE,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up7(→))，故A正确；在B中，eq\o(CQ,\s\up7(→))＋eq\o(TP,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(TP,\s\up7(→))＝eq\o(TA,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(ST,\s\up7(→))，故B错误；在C中，eq\o(ES,\s\up7(→))－eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(RC,\s\up7(→))－eq\o(QC,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(QB,\s\up7(→))，故C错误；在D中，eq\o(AT,\s\up7(→))＋eq\o(BQ,\s\up7(→))＝eq\o(SD,\s\up7(→))＋eq\o(RD,\s\up7(→))，eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up7(→))＝eq\o(RS,\s\up7(→))＝eq\o(RD,\s\up7(→))－eq\o(SD,\s\up7(→))，若eq\o(AT,\s\up7(→))＋eq\o(BQ,\s\up7(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up7(→))，则eq\o(SD,\s\up7(→))＝0，不合题意，故D错误．故选A．]13．(2020·太原模拟)某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：记录时间累计里程(单位：公里)平均耗电量(单位：kW·h/公里)剩余续航里程(单位：公里)2019年1月1日40000.1252802019年1月2日41000.126146(注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量＝eq\f(累计耗电量,累计里程)，剩余续航里程＝eq\f(剩余电量,平均耗电量))下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是()A．等于12.5 B．12.5到12.6之间C．等于12.6 D．大于12.6D[法一：在两次记录的时间段内，累计里程差为100公里，所以这100公里的耗电量应估计为两次记录的累计耗电量的差．由已知可知：累计耗电量＝平均耗电量×累计里程，所以100公里耗电量估计为：0.126×4100－0.125×4000＝16.6(kW·h)．法二：利用1月1日和1月2日两天的剩余电量差也可以进行估计，因为两次记录的累计里程差为100公里．由题意知，剩余电量＝剩余续航里程×平均耗电量，所以100公里耗电量估计为：0.125×280－0.126×146＝16.604(kW·h)．故选D．]14．(2020·南昌模拟)自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机．二进制以2为基数，只用0和1两个数码表示数，逢2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如(521)10＝1×29＋0×28＋0×27＋0×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝(1000001001)2.我国数学史上，对数制的研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口诀：(7×7)8＝(61)8，(7×6)8＝(52)8，(7×5)8＝(43)8，….类比二进制与十进制转化的运算，数(1010011100)2对应八进制数为()A．(446)8B．(1134)8C．(1234)8D．(4321)8C[(1010011100)2＝1×29＋1×27＋1×24＋1×23＋1×22＝(668)10，(668)10＝1×83＋2×82＋3×81＋4×80＝(1234)8.]15．(2020·淄博模拟)中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》时，发明了二次不等间距插值算法：若函数y＝f(x)在x＝x1，x＝x2，x＝x3(x1＜x2＜x3)处的函数值分别为y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，y3＝f(x3)，则在区间[x1，x3]上f(x)可以用二次函数来近似代替，即f(x)≈y1＋k1(x－x1)＋k2(x－x1)(x－x2)，其中k1＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，k＝eq\f(y3－y2,x3－x2)，k2＝eq\f(k－k1,x3－x1).若令x1＝0，x2＝eq\f(π,2)，x3＝π，请依据上述算法，估算sineq\f(π,5)的值是()A．eq\f(14,25)B．eq\f(3,5)C．eq\f(16,25)D．eq\f(17,25)C[令y＝f(x)＝sinx，则k1＝eq\f(sin\f(π,2)－sin0,\f(π,2)－0)＝eq\f(2,π)，keq\f(sinπ－sin\f(π,2),π－\f(π,2))＝－eq\f(2,π)，k2＝eq\f(－\f(2,π)－\f(2,π),π－0)＝－eq\f(4,π2)，所以sinx≈0＋eq\f(2,π)(x－0)－eq\f(4,π2)(x－0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝－eq\f(4,π2)x2＋eq\f(4,π)x，故sineq\f(π,5)≈－eq\f(4,π2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))eq\s\up10(2)＋eq\f(4,π)×eq\f(π,5)＝eq\f(16,25)，故选C．]16．(2020·东营模拟)2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布15项“世界互联网领先科技成果”，有5项成果属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．若从这15项“世界互联网领先科技成果”中任选3项，则至少有一项属于“芯片领域”的概率为()A．eq\f(67,91)B．eq\f(24,91)C．eq\f(75,91)D．eq\f(16,91)A[法一：由已知得，这15项“世界互联网领先科技成果”中有5项成果属于芯片领域．记“从这15项‘世界互联网领先科技成果’中任选3项，至少有一项属于‘芯片领域’”为事件A，则eq\x\to(A)为“选出的3项都不属于‘芯片领域’”，因为P(eq\x\to(A))＝eq\f(C\o\al(3,10),C\o\al(3,15))＝eq\f(24,91)，所以P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(24,91)＝eq\f(67,91).法二：由已知得，这15项“世界互联网领先科技成果”中有5项成果属于芯片领域．记“从这15项‘世界互联网领先科技成果’中任选3项，至少有一项属于‘芯片领域’”为事件A，x为选出的3项中，属于“芯片领域”的项数，则P(A)＝P(x＝1)＋P(x＝2)＋P(x＝3)＝eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(1,5),C\o\al(3,15))＋eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(2,5),C\o\al(3,15))＋eq\f(C\o\al(0,10)C\o\al(3,5),C\o\al(3,15))＝eq\f(67,91).]17．[多选](2020·泰安模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是()A．f(x)＝lnx B．f(x)＝x2＋2x－3C．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－1，x≤1，,|2－x|，x＞1)) D．f(x)＝x＋eq\f(1,x)BC[对于选项A，由于x＞x－1≥lnx，所以lnx＝x无解，因而该函数不是“不动点”函数；对于选项B，令x2＋2x－3＝x，得x2＋x－3＝0，因为Δ＝1－4×(－3)＞0，所以方程有两个不等的实数根，所以该函数为“不动点”函数；对于选项C，当x≤1时，令2x2－1＝x，得x＝－eq\f(1,2)或x＝1，从而该函数为“不动点”函数；对于选项D，令x＋eq\f(1,x)＝x，得eq\f(1,x)＝0，无解，因而该函数不是“不动点”函数．故选BC．]18．(2020·滨州模拟)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)3[如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为eq\f(14＋6,2)＝10寸，则盆中水的体积为eq\f(1,3)π×9×(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)，所以平均降雨量为eq\f(588π,π×142)＝3(寸)．]19．(2020·贵阳模拟)数式1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))中省略号“…”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式＝t(t＞0)，则1＋eq\f(1,t)＝t，t2－t－1＝0，取正值得t＝eq\f(\r(5)＋1,2).用类似方法可得eq\r(12＋\r(12＋\r(12＋…)))＝________.4[根据已知代数式的求值方法，令eq\r(12＋\r(12＋\r(12＋…)))＝m(m＞0)，两边平方得，12＋eq\r(12＋\r(12＋\r(12＋…)))＝m2，即12＋m＝m2，解得m＝4(－3舍去)．]20．(2020·威海模拟)“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”用现在的语言表述为：如图所示，一圆柱形木材埋在墙壁中，AB＝1尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD＝1寸，则圆柱底面圆的直径为________寸．(1尺＝10寸)26[如图，设圆柱底面圆的圆心为O，连接AO，OD，由题意知OD⊥AB，AD＝5寸，CD＝1寸．在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，∴OA2＝(OA－1)2＋52，∴OA＝13寸，∴圆柱底面圆的直径为2AO＝26寸．]21．(2020·洛阳尖子生第一次联考)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3eq\r(3)，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t≥0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))，则下列叙述正确的是________．(填序号)①R＝6，ω＝eq\f(π,30)，φ＝－eq\f(π,6)；②当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6；③当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减；④当t＝20时，|PA|＝6eq\r(3).①②④[由题意可知T＝60，所以eq\f(2π,ω)＝60，解得ω＝eq\f(π,30)，又从点A(3eq\r(3)，－3)出发，所以R＝6，6sinφ＝－3，又|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6)，故①正确；y＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))，当t∈[35，55]时，eq\f(π,30)t－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,3)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))∈[－1，0]，y∈[－6，0]，点P到x轴的距离为|y|，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故②正确；当t∈[10，25]时，eq\f(π,30)t－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，所以函数y＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))在[10，25]上不单调，故③不正确；当t＝20时，eq\f(π,30)t－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，则y＝6si