新高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时作业9 对数与对数函数（含解析）-人教版高三数学试题

课时作业9对数与对数函数一、选择题1．log29·log34等于(D)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．2D．4解析：方法1：原式＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.方法2：原式＝2log23·eq\f(log24,log23)＝2×2＝4.2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3－x＋1，x≤0，))则f(f(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))的值是(A)A．5 B．3C．－1 D.eq\f(7,2)解析：由题意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，所以f(f(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))＝5.3．若log2(log3a)＝log3(log4b)＝log4(log2c)＝1，则a，b，c的大小关系是(D)A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．b>c>a解析：由log2(log3a)＝1，可得log3a＝2，故a＝32＝9；由log3(log4b)＝1，可得log4b＝3，故b＝43＝64；由log4(log2c)＝1，可得log2c＝4，故c＝24＝16.∴b>c>a.故选D.4．设a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是(B)A．b<a<c B．b<c<aC．c<b<a D．a<b<c解析：a＝log50.5>log50.2＝－1，b＝log20.3<log20.5＝－1，c＝log0.32>log0.3eq\f(10,3)＝－1，log0.32＝eq\f(lg2,lg0.3)，log50.5＝eq\f(lg0.5,lg5)＝eq\f(lg2,－lg5)＝eq\f(lg2,lg0.2).∵－1<lg0.2<lg0.3<0，∴eq\f(lg2,lg0.3)<eq\f(lg2,lg0.2)，即c<a，故b<c<a.故选B.5．已知对数函数f(x)＝logax是增函数，则函数f(|x|＋1)的图象大致是(B)解析：由函数f(x)＝logax是增函数知，a>1.f(|x|＋1)＝loga(|x|＋1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax＋1，x≥0，,loga[－x－1]，x<0.))由对数函数图象知选B.6．(多选题)设a＝log30.4，b＝log23，则下列选项正确的是(BC)A．ab>0 B．a＋b>0C．ab<0 D．a＋b<0解析：∵a＝log30.4＝－log32.5∈(－1,0)，b＝log23>1，∴ab<0且a＋b>0，则A、D不正确，B、C正确，故选BC.7．(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(A)A．1010.1 B．10.1C．lg10.1 D．10－10.1解析：由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，得－26.7＋1.45＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)＝－25.25，∴lgeq\f(E1,E2)＝－10.1，lgeq\f(E2,E1)＝10.1，eq\f(E2,E1)＝1010.1.故选A.8．函数f(x)＝x3＋log2(x＋eq\r(x2＋1))，若对任意实数a，b，a＋b≥0，则(B)A．f(a)＋f(b)≤0 B．f(a)＋f(b)≥0C．f(a)－f(b)≤0 D．f(a)－f(b)≥0解析：本题考查对数式的运算性质以及函数单调性的应用．令g(x)＝log2(x＋eq\r(1＋x2))，则g(－x)＝log2(eq\r(1＋－x2)－x)＝log2(eq\r(1＋x2)－x)＝log2eq\f(1,\r(1＋x2)＋x)＝－g(x)．又g(x)＝log2(x＋eq\r(1＋x2))在R上单调递增，则函数f(x)为奇函数，且在R上单调递增．因为a＋b≥0，所以a≥－b，则f(a)≥f(－b)＝－f(b)，即f(a)＋f(b)≥0.故选B.二、填空题9．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1.则a＝－7.解析：由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.10．方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为x＝eq\r(5).解析：∵log2(x－1)＝2－log2(x＋1)，∴log2(x2－1)＝2，∴x2－1＝4，∴x＝±eq\r(5).经检验x＝－eq\r(5)是增根，舍去．∴方程的解为x＝eq\r(5).11．(多填题)已知a>b>1.若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，则a＝4，b＝2.解析：令logab＝t，∵a>b>1，∴0<t<1，由logab＋logba＝eq\f(5,2)，得t＋eq\f(1,t)＝eq\f(5,2)，解得t＝eq\f(1,2)或t＝2(舍去)，即logab＝eq\f(1,2)，∴b＝eq\r(a)，又ab＝ba，∴aeq\r(a)＝(eq\r(a))a，即aeq\r(a)＝aeq\f(a,2)，即eq\r(a)＝eq\f(a,2)，解得a＝4，∴b＝2.12．若函数f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2)x))(a>0，a≠1)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．解析：令M＝x2＋eq\f(3,2)x，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2－eq\f(9,16)，因此M的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，＋∞)).又x2＋eq\f(3,2)x>0，所以x>0或x<－eq\f(3,2)，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．三、解答题13．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求实数a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上的最大值．解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，且a≠1)，∴a＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,3－x>0，))得－1<x<3，∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上的最大值是f(1)＝log24＝2.14．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))(－x)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以x<0时，f(x)＝logeq\f(1,2)(－x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logeq\s\do8(\f(1,2))x，x>0，,0，x＝0，,logeq\s\do8(\f(1,2))－x，x<0.))(2)因为f(4)＝logeq\s\do8(\f(1,2))4＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x2－1|<4，解得－eq\r(5)<x<eq\r(5)且x≠±1，而x2－1＝0时，f(0)＝0>－2，所以x＝1或x＝－1.所以－eq\r(5)<x<eq\r(5).所以不等式的解集为{x|－eq\r(5)<x<eq\r(5)}．15．已知a＝eq\f(2,5)lneq\f(5,2)，b＝eq\f(lne,e)(e是自然对数的底数)，c＝eq\f(ln2,2)，则a，b，c的大小关系是(A)A．c<a<b B．a<c<bC．b<a<c D．c<b<a解析：由题意，构造函数f(x)＝eq\f(lnx,x)，则f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).令f′(x)＝0，可得x＝e.当x∈(0，e)时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，e)上单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减．因为0<2<eq\f(5,2)<e，所以c<a<b，故选A.16．若均不为1的实数a，b满足a>b>0，且ab>1，则(B)A．loga3>logb3 B．3a＋3b>6C．3ab＋1>3a＋b D．ab>ba解析：本题考查对数函数单调性的应用．当a＝9，b＝3时，loga3<logb3，A不成立；当a＝2，b＝1时，3ab＋1＝3a＋b，C不成立；当a＝4，b＝2时，ab＝ba，D不成立；因为a>b>0，ab>1，所以3a＋3b>2eq\r(3a3b)＝2eq\r(3a＋b)>2eq\r(32\r(ab))>6，故选B.17．已知函数f(x)＝x2＋ln(|x