数学（理）：课时跟踪检测（三） 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 作业

PAGE课时跟踪检测(eq\a\vs4\al(三))简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、题点全面练1．(2019·河南质量监测)已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16>8x，则命题p的否定为()A．綈p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16≤8xB．綈p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16＜8xC．綈p：∃x0∈(1，＋∞)，xeq\o\al(2,0)＋16≤8x0D．綈p：∃x0∈(1，＋∞)，xeq\o\al(2,0)＋16＜8x0解析：选C全称命题的否定为特称命题，故命题p的否定綈p：∃x0∈(1，＋∞)，xeq\o\al(2,0)＋16≤8x0.故选C.2．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则()A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：选B∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.3．下列命题中为假命题的是()A．∀x∈R，ex>0 B．∀x∈N，x2>0C．∃x0∈R，lnx0＜1 D．∃x0∈N*，sineq\f(πx0,2)＝1解析：选B对于选项A，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项A为真命题；对于选项B，当x＝0时，x2＝0，故选项B为假命题；对于选项C，当x0＝eq\f(1,e)时，lneq\f(1,e)＝－1＜1，故选项C为真命题；对于选项D，当x0＝1时，sineq\f(π,2)＝1，故选项D为真命题．综上知选B.4．命题p：若sinx>siny，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A．p或q B．p且qC．q D．綈p解析：选B当x＝eq\f(π,2)，y＝π时，满足sinx>siny，但x＜y，∴命题p是假命题，显然命题q是真命题．∴p或q是真命题，p且q是假命题，q是真命题，綈p是真命题．故选B.5．已知命题p：∃x0∈N，使得xeq\o\al(3,0)＜xeq\o\al(2,0)；命题q：a，b∈R，若|a－1|＝|b－2|，则a－b＝－1.下列命题为真命题的是()A．p B．綈qC．p∨q D．p∧q解析：选B由x3＜x2，得x2(x－1)＜0，解得x＜0或0＜x＜1，在这个范围内没有自然数，所以命题p为假命题；若|a－1|＝|b－2|，则a－1＝b－2或a－1＝－b＋2，即a－b＝－1或a＋b＝3，故命题q为假命题．故綈q为真命题，p∨q与p∧q为假命题．故选B.6．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＜3x；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)解析：选B由20＝30知，p为假命题；命题q：“x>1”不能推出“x>2”，但是“x>2”能推出“x>1”，所以“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题．所以(綈p)∧(綈q)为真命题．故选B.7．(2019·佛山一模)已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝eq\f(\r(5),2)；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0，给出下列结论：①命题p∧q是真命题；②命题p∧(綈q)是假命题；③命题(綈p)∧q是真命题；④命题(綈p)∨(綈q)是假命题．其中正确的结论是()A．②③ B．②④ C．③④ D．①②③解析：选A∵eq\f(\r(5),2)>1，∴命题p是假命题．∵x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，∴命题q是真命题．由真值表可以判断p∧q为假，p∧(綈q)为假，(綈p)∧q为真，(綈p)∨(綈q)为真，所以只有②③正确，故选A.8．(2019·南昌模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋eq\f(1,x0)>3，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真命题的是()A．p∧(綈q) B．(綈p)∧qC．p∧q D．(綈p)∨q解析：选A命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋eq\f(1,x0)>3，当x0＝3时，3＋eq\f(1,3)>3，命题为真．命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，当x＝4时，两式相等，命题为假．则p∧(綈q)为真，故选A.9．(2019·太原四校联考)给出下列三个命题：p1：函数y＝ax＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；p2：∃a0，b0∈R，aeq\o\al(2,0)－a0b0＋beq\o\al(2,0)＜0；p3：cosα＝cosβ成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．则下列命题中的真命题为()A．p1∨p2 B．p2∧p3C．p1∨(綈p3) D．(綈p2)∧p3解析：选D对于p1，令f(x)＝ax＋x(a>0，且a≠1)，当a＝eq\f(1,2)时，f(0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＋0＝1，f(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1－1＝1，所以p1为假命题；对于p2，因为a2－ab＋b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))2＋eq\f(3,4)b2≥0，所以p2为假命题；对于p3，因为cosα＝cosβ⇔α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题．所以(綈p2)∧p3为真命题，故选D.10．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，则k的取值范围是________解析：“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”当k＝0时，则有－1＜0；当k≠0时，则有k＜0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k＜0，解得－4＜k＜0，综上所述，实数k的取值范围是(－4,0]，答案：(－4,0]．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知命题p：所有的指数函数都是单调函数，则綈p为()A．所有的指数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是指数函数C．存在一个指数函数，它不是单调函数D．存在一个单调函数，它不是指数函数解析：选C命题p：所有的指数函数都是单调函数，则綈p：存在一个指数函数，它不是单调函数．2．若∃x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得2xeq\o\al(2,0)－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，2eq\r(2)] B．(2eq\r(2)，3]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(9,2))) D．{3}解析：选A因为∃x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得2xeq\o\al(2,0)－λx0＋1＜0成立是假命题，所以∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，λ≤2x＋eq\f(1,x)恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋eq\f(1,x)，则f′(x)＝2－eq\f(1,x2)，当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))时，f′(x)＜0，当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，2))时，f′(x)>0，所以f(x)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝2eq\r(2)，则λ≤2eq\r(2).3．已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2eq\r(2)x＋1＜0的解集为空集；命题q：f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，若命题p∧(綈q)是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：因为∀x∈R，不等式ax2＋2eq\r(2)x＋1＜0的解集为空集，所以当a＝0时，不满足题意；当a≠0时，必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝2\r(2)2－4a≤0，))解得a≥2.由f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，可得函数f(x)在R上单调递减，则0＜2a－5＜1，解得eq\f(5,2)＜a＜3.若命题p∧(綈q)是真命题，则p为真命题，q为假命题，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2，,a≤\f(5,2)或a≥3，))解得2≤a≤eq\f(5,2)或a≥3，则实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))∪[3，＋∞)．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))∪[3，＋∞)(二)素养专练——学会更学通4．[逻辑推理]“p∨q为真”是“綈p为假”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B∵綈p为假，∴p为真，∴“p∨q为真”，反之不成立，可能q为真，p为假，綈p为真．∴“p∨q为真”是“綈p为假”的必要不充分条件．故选B.5．[数学抽象]在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是()A．(綈p)∨(綈q)为真命题 B．p∨(綈q)为真命题C．(綈p)∧(綈q)为真命题 D．p∨q为真命题解析：选A命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题綈p是“第一次射击没击中目标”，命题綈q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(綈p)∨(綈q)为真命题，故选A.6．[数学运算]给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．解：当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立”⇔a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＜0，))∴0≤a＜4.当q为真命题时