【初中数学竞赛】 专题03 方程与恒等变换竞赛综合-50题真题专项训练（全国竞赛专用）解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页【初中数学竞赛】专题03方程与恒等变换竞赛综合-50题真题专项训练（全国竞赛专用）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）把三个连续的正整数a，b，c按任意次序（次序不同视为不同组）填入的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．使所得方程至少有一个整数根的a，b，c（

）．A．不存在 B．有一组 C．有两组 D．多于两组【答案】C【详解】设三个连续的正整数分别为，n，（n为大于1的整数）．当一次项系数是或n时，均小于零，方程无实数根；当一次项系数是1时，．因为n为大于1的整数，所以，要使，n只能取2．当时，方程均有整数根，故满足要求的（a，b，c）只有两组：、．2．（2021·全国·九年级竞赛）在方程组中，x，y，z是互不相等的整数，那么此方程组的解的组数为（）A．6 B．3 C．多于6 D．少于3【答案】A【详解】利用，把原方程组转化为解不定方程．因为，所以，从而得，即．因此x，y，z中一定是两正一负，且．又，则上述两种组合中，只有符合条件．所以或或或或或共有6个解．故选A．二、填空题3．（2021·全国·九年级竞赛）已知，则________．【答案】10【详解】解

因，由知，所以，于是，因此，．故填10．4．（2021·全国·九年级竞赛）若，且方程的两根均为奇数，则此方程的根为_________．【答案】【详解】填．理由：设是方程的两个根，则．因为均为奇数，故为偶数，为奇数．又，则．故．由，解得．从而，．所以，或4，即或．当时，，符合题意；当时，与均为无理数，不合题意，舍去．故原方程的根为．5．（2021·全国·九年级竞赛）以下算式中，相同的汉字代表相同的数字．已知“神舟”，“号”，那么六位数“飞天神舟六号”=_______．【答案】102564．【详解】设“飞天”，“六号”，则题设算式可化为，化简得即，即．两边约去13得，即，64与41互质，64整除y．故．“号”与题设符合．代入得．于是“飞天神舟六号”．6．（2021·全国·九年级竞赛）已知一个矩形的长、宽分别为正整数a，b，其面积的数值等于它的周长的数值的2倍，则______或________．【答案】

25

18【详解】根据题意，得，即，则．因为a，b均为正整数，且，所以一定是16的正约数．当分别取1，2，4，8，16时，代入上式得：时，；时，；时，（舍去）；时，（舍去）；时，（舍去）．因此或18．故应填25，18．7．（2021·全国·九年级竞赛）一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过___________．【答案】4【详解】设小明摸出的10个球中有x个红球，y个黄球，则蓝球有个．根据题意，得，即．易知，x的最大值是4，即小明摸出的10个球中至多有4个红球．8．（2021·全国·九年级竞赛）篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，那么其中排球的个数是__________．【答案】17或9或1【详解】设足球有x个，排球有y个，则，即．当时，；当时，；当时，．所以排球的个数是17或9或1个．9．（2021·全国·九年级竞赛）某一次考试共需做20个小题，做对一个得8分，做错一个扣5分，不做的得0分．某学生共得13分，那么这个学生没做的题有_______个．【答案】7【详解】设该生做对x个题，做错y个题，没做的题目有z个，则所以．又8与13互质，则被13整除．而，所以，从而．所以这个学生没做的题有7个．10．（2021·全国·九年级竞赛）两个正整数的和比积小1997，并且其中一个是完全平方数，则较大数与较小数的差是___________．【答案】663【详解】设这两个正整数为．根据题意，可得，则，即．因为，即，且a，b中有一个是完全平方数，故，所以则．11．（2021·全国·九年级竞赛）某自然数恰好等于它的各位数字和的11倍，则这个自然数是__________．【答案】198【详解】所求数不可能是一位数，四位数及四位以上的数．故只考虑两位数及三位数．（1）设所求自然数是，则，即，此方程无满足条件的解．（2）设所求自然数是，则，即．显然x只可能是1，因此，只有一组解：．故所求的数是198．12．（2021·全国·九年级竞赛）边长为整数，周长为12的三角形的面积的最大值是_________．【答案】【详解】设三角形的三边长分别为a，b，c，且，则．可得，即．又因为，所以，即．故，c可取4或5．当时，，所以．此时三角形面积为；当时，．当时，．此时，不合题意．当时，．此时三角形面积为；当时，．此时三角形为直角三角形，三角形面积为．显然，所以所求最大面积为．13．（2021·全国·九年级竞赛）一个两位数除以它的反序数所得的商数恰等于余数，则这个两位数是__________．【答案】52【详解】设这个数为，它除以它的反序数的商数是q，则其反序数为．于是，q为自然数，即．当时，，此方程无整数解；当时，有．可知y是偶数．当时，．而当或6或8时，x无整数解．所以当时，．进一步，当时，有，当时，x无整数解；而当时，，即x无满足条件的解．当时，有．因为此方程右边4不被3整除，所以无解．最后，当时，有．所以，不可能有解．综上所述，所求数等于52．14．（2021·全国·九年级竞赛）某个两位自然数，它能被其各位数字之和整除，且除得的商恰好是7的倍数，写出符合条件的所有两位数是_________．【答案】21，42，63，84【详解】设所有两位数是，则．其中k是正整数，且为7的倍数．当时，，即．当时，；时，；时，；时，．当时，，即．此方程无正整数解．当，方程均无正整数解．所以满足条件的两位数是：21，42，63，84．15．（2021·全国·九年级竞赛）小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有99颗，所用大、小盒子多于10个，则大盒子数为________，盒子数为__________．【答案】

2

15【详解】设大盒子有x个，小盒子有y个．根据题意，得，从而．因为x，y都为整数，所以x可取2或7．当时，；当时，．因为，所以．16．（2021·全国·九年级竞赛）设平方数是11个相继整数的平方和，则y的最小值是__________．【答案】－11【详解】理由：设11个相继整数为，则，即．显然，y最小时，只能是．所以y取最小值．17．（2021·全国·九年级竞赛）一个三位数，它等于它的各位数码之和的12倍．试写出所有这样的三位数_________．【答案】108【详解】设这样的三位数为，则，即．因为a，b，c均为整数，且，所以，得．又因为，所以只能．18．（2021·全国·九年级竞赛）一个四位数与它的四个数字之和等于1991，这个四位数是___________．【答案】1972【详解】设这个四位数为，根据题意，得，即．（1）若，则，所以．从而．（2）因为的最大值为，所以，即，从而．（3）由于，则．所以或7．当时，，得（舍去）；当时，，得．故这个四位数是1972．19．（2021·全国·九年级竞赛）n是一个非立方的四位数，且它仅有4个正约数，除了它本身之外其他三个约数的和等于1000，那么这个四位数n是___________．【答案】1994【详解】由题意，，且p，q均为质数，则，即．以p，q中必有一个为偶质数2，另一个为997．从而有．20．（2021·全国·九年级竞赛）方程在正整数范围内的解是_________．【答案】或【详解】由，得，所以x只能取1，2，3．当时，；当时，y无正整数解；当时，．所以所求方程的解为或21．（2021·全国·九年级竞赛）方程有_________组正整数解．【答案】5【详解】理由：因为，所以，则，即．原方程可化为，则．所以42能被y整除．所以y可取6，7，14，21，42．相应地得到五组解：22．（2021·全国·九年级竞赛）已知三角形的三个角的度数都是小于120的质数，则这个三角形三个角的度数分别是__________．【答案】【详解】设三角形的三个角的度数分别是x，y，z，且，则．所以x，y，z中必有一个偶质数2，得，y，z必为奇数．若，则，与矛盾．所以，得．因此，三角形三个角的度数分别是．23．（2021·全国·九年级竞赛）若质数m，n满足，则的值为_________．【答案】19或25【详解】因为m，n为质数，且，所以m，n中必有一个是偶质数．若，则；若，则．所以的值为19或25．三、解答题24．（2021·全国·九年级竞赛）（1）设x是实数，证明：，（2）求之值【答案】（1）见解析；（2）【详解】解

（1）设，则．若，则，于是，所以若，则，于是，所综上所述，对任何实数x，成立．（2）由（1）知令，再将各式相加得．注：从以上各例看出，求解有关及的问题的关键是：及的定义和基本不等式．只要将及的定义与不等式结合起来进行计算和讨论，就能找到解决问题的途径．25．（2021·全国·九年级竞赛）3设a，b，c是正数，且，证明：．【答案】见解析【详解】证明

注意到，设（x，y，z为正实数），则原不等式．①设，则．于是①．②不妨设，则．如果，那么，不等式②成立；如果，又，那么即②成立．26．（2021·全国·九年级竞赛）若，证明：．等号成立当且仅当．【答案】见解析．【详解】解

原不等式．①而故①成立．等号成立当且仅当．注：称为三个正数a，b，c的调和平均值．故本例的结论可写为3个正数的算术平均值不小于它们的调和平均值，等号成立当且仅当这3个正数都相等．②本题可直接用算术平均值不小于几何平均值来证明：又故．27．（2021·全国·九年级竞赛）若，则，等号成立当．【答案】见解析【详解】证明

经去括号，移项整理知，要证不等式等价于：．而由3个正数的平均值不等式得．故原不等式成立．等号成立当且仅当28．（2021·全国·九年级竞赛）已知为实数且，证明：．【答案】见解析【详解】证明

因为，设，于是，由已知条件中第二个不等式得，即，所以．由对称性得．注：①本题也可以用不等式来证明：因为，于是，下面解法与前述相同．②例12和例13中的代换称为平均值代换．29．（2021·全国·九年级竞赛）设且，证明：．【答案】见解析【详解】证明注意到，原不等式等价于①故要证①成立，只要证而由平均值不等式有．同理，故①成立，从而原不等式成立．30．（2021·全国·九年级竞赛）是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？【答案】存在满足题设的质数，理由见解析【详解】设方程有有理数根，则判别式为平方数．令，其中，n是一个非负整数，则．由于，且与同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：（1）；（2）；（3）；（4）（5）．对于情形（1）、（3），，从而，；对于情形（2）、（5），，从而（不合题意，舍去）；对于情形（4），q是合数（不合题意，舍去）又当时，方程为，它的根为，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数．31．（2021·全国·九年级竞赛）已知b，c为整数，方程的两根都大于且小于0．求b和c的值．【答案】【详解】根据二次函数的图象和题设条件知：当时，，有；

①当时，，有．

②因抛物线顶点的横坐标满足，则．

③又因，即，故．

④由①、③、④得．若，则由②、④得且，得；若，则且，无整数解；若，则且，无整数解；若，则且，无整数解．故所求b，c的值为．32．（2021·全国·九年级竞赛）试求两个不同的自然数，它们的算术平均数A和几何平均数G都是两位数，其中A，G中一个可由另一个交换个位和十位数字得到．【答案】98和32【详解】设这两个自然数为，则即是方程的两个根，所以应为自然数，即为完全平方数．设，则，可得．因此，11整除或，但，故11整除．由，得，则必须是完全平方数．由，知是一个奇数，但，所以．由得所以．故．因此，所求两数为98和32．33．（2021·全国·九年级竞赛）已知方程的根都是整数，求整数n的值．【答案】整数n的值为，，0，10【详解】解得．因为方程的根都是整数，所以，是完全平方数．设，，则有．因为，分别解得．所以，整数n的值为，，0，10．34．（2021·全国·九年级竞赛）已知，且，求的最小值．【答案】4【详解】由已知得，即．又，则，即，故，．因，则，即，故的最小值为4．35．（2021·全国·九年级竞赛）已知p为质数，使二次方程的两根都是整数，求出p的所有可能值．【答案】或7【详解】为完全平方数，从而为完全平方数．令，注意到，故，且n为整数，于是，则中至少有一个是5的倍数，即（k为整数）．则．由p为质数，知或7．当时，原方程变为，得；当时，原方程变为，得．所以，或7．36．（2021·全国·九年级竞赛）已知n为正整数，且能被整除，试求n的值．【答案】【详解】设（k为整数），则关于n的一元二次方程的判别式一定是完全平方数．解

设（k是整数），则，且应为完全平方数．因为，所以，从而．于是，，有，解得（不合题意）或57．所以．37．（2021·全国·九年级竞赛）试求出这样的四位数，它的前四位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．【答案】四位数为2025或3025【详解】设这个四位数前后两个两位数，分别是x，y，则，且，展开得关于x的二次方程：．当时，方程有实数解．即当时，方程有解．因为x为整数，故必为完全平方数，而完全平方数的末位数字仅可能为0，1，4，5，6，9．故仅当时，，此时或20．故此四位数为2025或3025．38．（2021·全国·九年级竞赛）已知m，n为整数，n为整数，且满足，求m，n的值．【答案】或【详解】以m为主元，得关于m的一元二次方程．因为m有整数解，所以，解得．又n为整数，所以．又方程有整数解，则必为完全平方数，从而．当或时，代入原方程均有，解得（舍去）．故或．39．（2021·全国·九年级竞赛）a为整数，若存在整数b和c使，求整数a的值．【答案】a的值为9，，【详解】依题意知方程有两整数根．而，则有解得由此可以看出每一个a对应两个整数，因此所求的整数a的值为9，，．40．（2021·全国·九年级竞赛）b都是大于1的整数，a，b为何值，方程有两个整数根．【答案】当时，方程有两个整数根【详解】，所以方程的两根是．（ⅰ）若，则．所以被b整除，得b整除5．故（ⅱ）若，因是奇数，所以是奇数，，即，则．可知．又因为是奇数，所以是奇数．下面分两种情况讨论：①如果，则．所以a整除，可得a整除3．所以．②如果，则．因为a整除，所以整除．当时，不能整除；当时，整除；当时，，则不能整除．综上，当时，方程有两个整数根．41．（2021·全国·九年级竞赛）m，n为正整数，关于x的方程有正整数解．求m，n的值．【答案】【详解】设方程的两个根为，则由m，n，，均为正整数，不妨设．于是，，即．则或或解得或或所以．42．（2021·全国·九年级竞赛）所有的整数a，使得关于x的一元二次方程的两根皆为整数．【答案】6【详解】设方程的两根为，于是，整数，即方程①为整系数一元二次方程，其根为整数，则其判别式必为完全平方数．设，即，故．又，则或或或分别解得．因a为整数，且当时，无意义，所以，只有，此时，方程①变为，它有两个整数根7和．因此，所求的整数为．43．（2021·全国·九年级竞赛）a，b都是正整数．试问：关于x的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．【答案】当且仅当时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为【详解】不妨设，且方程的两个整数根为，则有．所以，．故．因为a，b都是正整数，所以，均是正整数．于是，．故

①或

②（1）对于方程组①，由于a，b都是正整数，且，可得．此时，一元二次方程为，它的两个根为．（2）对于方程组②，可得．此时，一元二次方程为，它无整数解．综上所述，当且仅当时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为．44．（2021·全国·九年级竞赛）有三个都不为0且互不相同的数码，用它们组成各个可能的三位数（不重复使用数码），其和为2886，如果把这三个数码从小到大排成一个三位数，又从大到小排列成一个三位数，这两个数的差是495，这三个数码是什么？【答案】，．【详解】根据题意，用不同的字母表示三个数码可以列出一些方程．设这三个数码从小到大顺次为x，y，z，用它们排成的三位数有：，

①，

②，

③，

④，

⑤．

⑥根据题意，将6个数相加，得，即．

⑦又由⑥减去①得，即．

⑧将⑧代入⑦得．若，不合题意．若，也导出矛盾．若，则y非正数．故只能，从而．45．（2021·全国·九年级竞赛）设a，b，c都是奇数，证明方程没有有理根．【答案】见解析．【详解】由题意，为完全平方数．由于为奇数，所以可设，或．由于b，d都为奇数，所以，但为奇数，即．因此，不是平方数，从而原方程没有有理根．46．（2021·全国·九年级竞赛）一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和是1999，求这个四位数，并说明理由．【答案】1976【详解】设这个数为，依题意，得，即．（ⅰ）显然．否则，．两边减去1001，得．（ⅱ）因为的最大值为，故，即，则．（ⅲ）由于，则．所以或．当时，，则；当时，，则（舍去）．故这个四位数是1976．47．（2021·全国·九年级竞赛）有一个四位