适用于新教材2023版高中数学第七章随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列探究导学课件新人教A版选择性必修第三册

7.2离散型随机变量及其分布列第七章新课程标准素养风向标1.在具体问题分析中,理解取有限个值的离散型随机变量的概念.2.在具体问题的分析中,理解取有限个值的离散型随机变量分布列的概念.1.了解随机变量的意义,理解随机变量的概念.(数学抽象)2.理解随机变量所表示的试验结果的含义.(数学抽象)3.会求简单的离散型随机变量的概率分布.(数学运算)4.掌握离散型随机变量的分布列性质.(数学抽象)5.理解两点分布,并能进行简单应用.(数学运算)基础预习初探

主题1

离散型随机变量

在含有10件次品的100件产品中,任意取4件,变量X表示4件产品中的次品数.(1)随机试验的结果构成的样本空间是什么?提示:如果用0表示“正品”,用1表示“次品”,用0和1构成的长度为4的字符串表示样本点,则样本空间:Ω={0000,0001,0010,0100,1000,0011,0101,1001,0110,1010,1100,0111,1011,1101,1110,1111}.(2)X=2代表什么?提示:因为变量X表示4件产品中的次品个数,所以X=2代表取出的4件产品中含有2件次品,其事件包含的样本点为:0011,0101,1001,0110,1010,1100.

(3)变量X有什么特征?提示:①取值依赖于样本点;②所有可能取值是明确的.结论:1.随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个________,都有唯一的_________与之对应,我们称X为随机变量.2.离散型随机变量(1)定义:可能取值为_______或可以_________的随机变量,称为离散型随机变量.(2)表示:通常用大写的英文字母表示随机变量,如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,如x,y,z.样本点ω实数X(ω)有限个一一列举【对点练】

拋掷2颗骰子,所得点数之和记为ξ,那么ξ=4表示的随机试验结果是 (

)A.2颗都是4点B.1颗是1点,另1颗是3点C.2颗都是2点D.1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点【解析】选D.D是ξ=4代表的所有试验结果.

结论:离散型随机变量的分布列

(1)定义:一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.(2)离散型随机变量的分布列的表示①解析式:__________,i=1,2,…,n;②表格:③概率分布图.Xx1x2…xnP______…pnP(X=xi)=pip1p2(3)离散型随机变量分布列的性质①pi≥__,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=__.10

X-101Pabc

X01P

X01P1-pp

X01P1-pp

1-p【对点练】

若离散型随机变量的分布列为则c=

.

【解析】由分布列的性质得2c-1+c-1=1,解得c=1.答案:1X01P2c-1c-1核心互动探究探究点一

用随机变量表示随机试验的结果【典例1】写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值和所表示的随机事件.(1)袋中有大小相同的红球10个,白球5个,从袋中每次任取1个球,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数;(2)一袋中装有5个同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5,现从中取出3个球,被取出的球的最大号码数X.【思维导引】(1)根据红球个数为10个,所以最多摸11次可摸到白球.(2)先确定可能的最大号码,再确定其余号码.【解析】(1)设所需的取球次数为X,则X=1,2,3,4,…,10,11.X=i表示前i-1次取到红球,第i次取到白球,这里i=1,2,…,11.(2)X的可能取值为3,4,5,X=3,表示取出的3个球的编号为1,2,3;X=4,表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4;X=5,表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.

【延伸探究】本例(2)中的“被取出的球的最大号码数X”改为“被取出的球的最小号码数X”,结果如何?【解析】X的可能取值为1,2,3,X=1,表示取出的3个球的编号为1,2,3或1,2,4或1,2,5或1,3,4或1,3,5或1,4,5;X=2,表示取出的3个球的编号为2,3,4或2,3,5或2,4,5;X=3,表示取出的3个球的编号为3,4,5.【类题通法】1.确定离散型随机变量结果的步骤(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)依据随机变量各个取值确定对应试验结果.2.确定离散型随机变量结果的关键点解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果.提醒:解答过程中不要漏掉某些试验结果.【定向训练】1.袋中有3个白球,5个黑球,从中任取2个,则可以作为离散型随机变量的是(

)A.至少取到1个白球B.取到白球的个数C.至多取到1个白球D.取到的球的个数【解析】选B.根据离散型随机变量的定义可得选项B是离散型随机变量,其可以一一列出,其中随机变量X的取值为0,1,2.2.(2022·深圳高二检测)甲、乙两班进行足球对抗赛,每场比赛赢的队伍得3分,输的队伍得0分,平局的话,两队各得1分,共进行三场.用ξ表示甲的得分,则ξ=3表示(

)A.甲赢三场B.甲赢一场、输两场C.甲、乙平局三次D.甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次【思维导引】ξ=3表示甲队得分为3分这个事件,可以直接列举情况即可.【解析】选D.因为赢的队伍得3分,输的队伍得0分,平局的话,两队各得1分,所以ξ=3可以分成两种情况,即3+0+0或1+1+1,即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次.

【跟踪训练】

1.同时抛掷3个硬币,正面向上的个数是随机变量,这个随机变量的所有可能取值为(

)

A.3 B.4C.1,2,3 D.0,1,2,3【解析】选D.同时抛掷3个硬币,正面向上的个数可能取值为0,1,2,3.2.甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛,规定采用“七局四胜制”.用X表示需要比赛的局数,写出“X=6”时表示的试验结果.【解析】根据题意可知,X=6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出.探究点二

求离散型随机变量的分布列【典例2】有2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示总检测费用(单位:元),求X的分布列.【思维导引】(1)根据排列组合知识求出基本事件总数与第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品这个事件含有的基本事件的总数,然后计算概率;(2)X的可能取值为200,300,400,分别求出概率可得分布列.

X200300400P【类题通法】求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,…,n)以及X取每个值的意义;(2)求出X取各值的概率P(X=xi)=pi;(3)列成表格得到分布列.

X17181920P

X01Pp2p【类题通法】两点分布的适用范围(1)研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律.(2)研究某一随机事件是否发生的概率分布规律.

X01P6a2-a3-7a课堂素养达标1.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是 (

)A.5 B.9 C.10 D.25【解析】选B.号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.2.下列表格中,不是某个随机变量的分布列的是 (

)A. B.C.

D.【解析】选C.C选项中,P(X=1)<0不符合P(X=xi)≥0的特点,也不符合P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1的特点,故C选项不是分布列.X-2024P0.50.20.30X012P0.70.150.15X123PX123Plg1lg2lg53.下列变量中,不是随机变量的是 (

)A.一射击手射击一次命中的环数B.标准状态下,水沸腾时的温度C.抛掷两颗骰子,所得点数之和D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数【解析】选B.因为标准状态下,水沸腾时的温度是一个常量,所以不是随机变量.4.在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记ξ=|x-2|+|y-x|.写出随机变量ξ可能的取值,并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果.【解析】因为x