线性系统理论5b

第五章线性系统的

能控性和能观测性

能控性:

输出:y；输入:is回路Ⅰ的模式（模型）：e-t可由is控制；回路Ⅱ的模式（模型）：e-2t不能被is控制。①若

UC2(t0)=0，t≥t0，回路Ⅱ的模式e-2t不能被激励；

若

UC2(t0)

0，t≥t0，模式为e-2t，但输入is也无法控制它的变化。②回路Ⅰ的模式e-t，由输出y上观测不到，

y能观测的仅仅是回路Ⅱ的模式e-2t；

回路Ⅰ的模式e-t，可由

is控制——可控；

不能由y观测——不能观测。

回路Ⅱ的模式e-2t,不能由is控制——不能控；

可由

y观测——能观测。

§5-1引言

控制作用对控制系统影响的可能性。能观测性:

由系统的输出量确定系统状态的可能性。

引例1如图所示：

_+R3

2

yⅠC11FR11

C20.5FR21

Ⅱx1、x2

都是由u控制，达到一定状态——系统完全能控；y只反映了x2——系统不完全能观测。

状态x(t)：

若x(t0)=0，t≥t0，

us，x(t)=0——x(t)不能控；若us=0，

x(t0)，t≥t0，y=0——x(t)不能观测；

——不能控不能观测的系统。引例2如图所示:Cx_+RRRR

_+y引例3系统

§5-2能控性

定义（线性定常系统，状态能控性）

对于线性定常系统，若对初始状态x(t0)

0，存在输入u(t)，t∈[t0,t1]，能在有限时间区间t∈[t0,t1]内,将x(t0)转移到状态x(t1)=0，则称此状态x(t0)是能控的。

若所有状态均可控，则称此系统是完全能控的；

若系统内一部分状态能控，另一部分状态不能控，则称此系统不完全能控。

对于线性时变系统，强调“x(t0)在t0时刻能控”。若对于t∈

(-∞,∞)，x(t)均可控，称为“一致可控”。

（n

n对称阵）为非奇异。能控性判据

一、线性定常系统(A,B,C)能控性判据

1.

定理1[Gram矩阵判据]

线性定常系统为完全能控的充要条件是存在有限时刻t1>0,使Gram矩阵

证明：a）充分性：

=0b）必要性：完全能控

WC(0,t1)非奇异。反证法：反设WC(0,t1)为奇异，至少

于是，又，系统完全能控，为满秩。即

2.定理2[秩判据]

的假设与系统完全能控相矛盾，反证不成立。

即

WC(0,t1

)是非奇异的。

线性定常系统状态完全能控的充要条件是：能控性判别矩阵WC

rankWC=n(A—n

n，B—n

p，WC—n

np)（该定理也适用于线性定常离散系统：证明：a）充分性已知rankWC

=n

系统完全能控。反证法：反证系统不完全能控。为奇异，则存在非零向量

使其成立：对(1)式逐次求导，直到(n-1)次，得

(1)和(2)中令t=0，得

由于

0所以(3)式意味着WC为行线性相关。即有

rankWC<n，这与已知rankWC=n矛盾，所以，反证不成立

系统为完全能控。

b）必要性：已知系统完全能控

rankWC=n

反证法：反证rankWC<n

。这意味着：WC为行线性相关，因此，存在非零向量

使其成立。

又由(4)知

根据Cayley-Hamilton定理知，An，An+1，···，均可表示为Ⅰ，A，A2，···，An-1的线性组合，

例

已知

可得：

(9)式表明，Gram矩阵WC(0,t1)为奇异，即系统不完全能控，与已知系统完全能控矛盾，反证不成立。于是，有rankWC=n

。必要性得证。判定系统(A,B,C)是否完全能控。

rankWC=2<3(n=3)

系统不完全能控。作变换：

线性定常系统的系统矩阵A有相异特征值，则系统完全能控的充要条件是M-1B中没有元素全为零的行。4．定理4

[对角形判据]证明：已知

3．定理3

对状态变量x(t)进行非奇异线性变换，即x(t)=PZ(t)（P为非奇异），不改变系统的能控性。M是系统的模式矩阵。（M=[e1，e2，···,en]）

证明：

M=[e1，e2，···,en]x=Mz

中第q行元素全为零：反之，不含有全零的行，

无线性相关行（因

i相异）由下式亦可进一步理解：5.定理5

[约当规范形判据]

设系统(A,B)有重特征值

1(

1重)，2(

2重)，···，

k(k重)，系统经x=Tw非奇异变换后为约当规范形：式中

即每个重特征值

i对应于一个约当块（每个约当块对应于互不相同的特征值）。

则系统完全能控的充要条件是：

变换后的控制阵中与每一约当块Ji

(i=1,2,

,k)的最后一行相应的各行，其元素不完全为零。即证明：

rankWCW

=

n

rankWCX=

n

系统(A,B)完全能控。

完全能控某J约当块Ji，相应的Jil为一上三角块。因此，若对应于Ji的最后一行，记为J的第

q行，控制阵中该行元素全为零，即

则WCW中必有第q行元素为零。于是：rankWCW<n.

若rankWCW=n，则须使

注:

若重特征值

i对应的两个以上的约当块，即：由的最后一行组成的矩阵

对于i=1,2,···,k均为线性无关。

则系统(A,B)完全能控的充要条件是：因为则WCW中必有两行线性相关，于是rankWCW<n。若与线性相关（即有线性相关）,

以上的“注”是针对多输入系统的。（若P(行)<

i(列)

系统不完全能控。）例

（完全能控）（完全能控）（不完全能控）（不完全能控）验证

（不完全能控）为非奇异，验证二、线性时变系统的能控性判据

1．判据1

[Gram矩阵判据]

线性时变系统(A(t),B(t))在时刻t0为完全能控的充要条件是，存在一个有限时刻t1,t1>t0使Gram矩阵：其中，

(·,·)为该系统的状态转移矩阵。即rankWC(t0,t1)=n。（完全能控）2．判据2[秩判据]设A(t)和B(t)是(n-1)阶连续可微的矩阵，若存在一个有限时刻t1,t1>t0使

则线性时变系统(A(t),B(t))在时刻t0为完全能控。其中：（

这是一个充分条件。）§5-3能控标准形(规范形.典范形)讨论：单输入系统的能控规范形。1．定义

单输入系统(AC,BC)为能控规范形，若

2．定理

若系统的状态方程为能控规范形，则系统必完全能控。证

为下三角阵,

rankWC

=n.

若单输入系统(A,B)完全能控，则有非奇异阵P，使（P-1AP，P-1B）为能控标准形，即

3．定理

其中：证：设QA=ACQ

（1）

QB=BC

（2）记：由(1)：由(2)得：转置：所以，可得出

若Q为非奇异（待证），Q-1存在，可令P=Q-1，

P-1=Q，则有

如此，也给出了P(P-1)构造方法。补证：Q为非奇异

注意：

的最后一行，可知

5．能控标准形系统的特性

4．推论

单输入系统(A,B)完全能控的充要条件是可通过非奇异线性变换x=Pz，

使系统(A,B)变为能控标准形(AC,BC)。（单输入系统）（1）矩阵AC中的系数

0

,1,···,n-1可为任意值，不影响系统的能控性。（2）矩阵AC的特征多项式

（3）这因为

当q=1时（SISO系统）：例

求：（1）能控标准形；（2）传函G(s)；（3）x(0)=0,u(t)=l(t)时的y(t)。解：（1）先判断能控性。

系统完全能控。§5-4能观测性研究能观测性：能观测性判据

一、线性定常系统的能观测性判据1．定理1

[Gram矩阵判据]

线性定常系统完全能观测的充要条件是存在有限时刻t1>0，使Gram矩阵

为非奇异。2．

定理2

[秩判据]

系统(A,C)为完全能观测的充要条件是能观测性判别矩阵W0

：为满秩，即

该定理也适用于线性定常离散系统。

若系统(A,C)有奇异特征值，则系统完全能观测的充要条件是CM中没有全为零的列。M=[e1，e2，···,en]是系统的模式矩阵。3．定理3

4．定理4

[对角形判据]

5．定理5

[约当规范形判据]

设系统(A,C)有重特征值

1(1重)，

2(2重)，···，

k(k重)，系统经x=Tw非奇异变换后为约当标准形。其中，

对系统(A,C)进行非奇异线性变换，x=Pz，P为非奇异阵，不改变其能观测性。

系统完全能观测的充要条件是：均为线性无关。的第1列所组成的矩阵

由对于单输出系统，则当

i

j（i,j=1,2,···，k）得：完全能观测的充要条件为：例(能观测)(能观测)二、线性时变系统的能观测判据1．判据1

[Gram矩阵判据]

线性时变系统(A(t),C(t))在时刻t0为完全能观测的充要条件是存在有限时刻t1,t1>t0,使Gram矩阵

为非奇异。2．判据2

[秩判据]

A(t)和C(t)为(n-1)阶连续可微，若存在时刻t1,t1>t0,使

则(A(t),C(t))在时刻t0为完全能观测。其中

§5-5能观测标准形(规范形)讨论单输出系统1．定义

单输出系统(Ao,Co)为能观测标准形，若

2．定理

若线性定常系统的系统方程为能观测标准形，则该系统必为完全能观测。

3．定理

若单输出系统(A,C)为完全能观测，则必有非奇异阵Q，使(Q-1AQ,CQ)为能观测标准形。即：5．能观测标准形系统的特性（单输出系统）

其中

Pn为中的最后一列构成的列向量(n1)。

4．推论

单输出系统(A,B)为完全能观测的充要条件是可通过非奇异线性变换x=Qz,

使系统(A,C)变换为能观测标准形(Ao

,Co)。(1)Ao中

i(i=0,1,···,n-1)为任意值,不改变系统的能观测性。

当P=1（SISO），§5-6能控与能观测典范分解线性系统可分解为四种系统：

能控能观测1

√√2.√3.√4.

一、能控性典范分解

定理

n阶系统(A,B,C)，rankWc=k<n，则通过非奇异变换可导出原系统按能控性典范分解的新系统(Ac,

Bc

,

Cc)，有

xc是k维能控状态分量，为(n-k)维不能控分量，为能控子系统。5-3

Tc的求法：

i)从WC中任选k

(rankWC=k)个线性无关的列向量，它为Tc的前k列：V1,V2,

···,

Vk

；

ii)在Rn中再选n-k个列向量，记为Vk+1,···,

Vn

,需使得：为非奇异。证：（1）记Tc=[p1,p2]其中，由Tc的构成，知Tc-1存在。当j≤k，AVj是

V1,V2,

···,

Vk

的线性组合。

因此，于是，由(*)式，知

Q2Ap1=0。

设线性定常系统如下，判断其能控性；若不完全能控，试将该系统按能控性进行分解。

例

同理，B的所有列也均可由

V1,V2,

···,

Vk

线性表示；所以，Q2B=0。即有

解

系统能控性判别阵

rankWc=2<n=3所以系统是不完全能控的。其中Tc3是任意的，只要能保证Tc非奇异即可。变换后的系统的状态空间表达式

即

能控子系统为

用MATLAB进行分解：A=[00-1;10-3;01-3];B=[1;1;0];C=[01-2];Tc=[100;110;011];Ac=inv(Tc)*A*Tc,Bc=inv(Tc)*B,Cc=C*Tc

为能观测子系统。可将原系统变换为按能观测典范分解的新系统(Ao

,

Bo,

Co)，有

5-4定理

n阶系统(A,B,C)，

rankWo=r<n，通过非奇异变换，xo为r维能观测状态分量；

是(n-r)维不能观测的状态分量。二、能观测性典范分解

To-1的求法:

i)

从Wo中任选r(rankWo=r)个线性无关的行向量，作为To-1的前r个行向量。

ii)在Rn中再选(n-r)个行向量，构成To-1，并使To-1为非奇异。

例

设线性定常系统如下，判断其能观测性；若不完全能观测，试将该系统按能观测性进行分解。解

系统能观测性判别阵rankWo=2<n

所以系统是不完全能观测的。即

其中是任意的，只要能保证非奇异即可。

变换后的系统的状态空间表达式

能观测子系统为用MATLAB进行分解：A=[00-1;10-3;01-3];B=[1;1;0];C=[01-2];To=inv([01-2;1-23;001]);