适用于新教材2023版高中数学课时素养检测十七一元线性回归模型及其应用新人教A版选择性必修第三册

PAGE十七一元线性回归模型及其应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.若冬季昼夜温差x(单位:℃)与某新品种反季节大豆的发芽数量y(单位:颗)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),用最小二乘法近似得到回归直线方程为y=2.5x-3,则下列结论中不正确的是 ()A.y与x具有正相关关系B.回归直线过点(x,y)C.若冬季昼夜温差增加1℃,则该新品种反季节大豆的发芽数约增加2.5颗D.若冬季昼夜温差的大小为10℃,则该新品种反季节大豆的发芽数一定是22颗【解析】选D.因为回归直线的斜率为2.5,所以y与x具有正相关关系,则A正确;回归直线过点样本中心点(x,y),则B正确;冬季昼夜温差增加1℃,则该新品种反季节大豆的发芽数约增加2.5颗,所以C正确;若冬季昼夜温差的大小为10℃,则可估计该新品种反季节大豆的发芽数为22颗,但不可确定,所以D错误.2.在生物学上,有隔代遗传的现象.已知某数学老师的体重为62kg,他的曾祖父、祖父、父亲、儿子的体重分别为58kg、64kg、58kg、60kg.如果体重是隔代遗传,且呈线性相关,根据以上数据可得解释变量x与响应变量的回归方程为=x+,其中=0.5,据此模型预测他的孙子的体重约为 ()A.58kg B.61kg C.65kg D.68kg【解析】选B.由于体重是隔代遗传,且呈线性相关,则取数据(58,58),(64,62),(58,60),得x=58+64+583=60,y=58+62+60即样本点的中心为(60,60),代入=x+,得=60-0.5×60=30,则=0.5x+30,取x=62,可得=0.5×62+30=61kg.故预测他的孙子的体重约为61kg.3.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系.根据成对样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的经验回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是 ()A.y与x具有正的线性相关关系B.经验回归直线过点(x,y)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可判定其体重必为58.79kg【解析】选D.当x=170时,=0.85×170-85.71=58.79,体重的估计值为58.79kg.4.对于样本点分布在指数函数曲线y=aebx(其中a,b为待定参数且a>0)周围时,令z=lny,c=lna,经过变换后得到的线性回归方程为 ()A.y=bx+c B.y=cx+bC.z=bx+c D.z=cx+b【解析】选C.因为y=aebx,所以lny=lna+bx,所以z=c+bx.5.用y关于x的方程y=menx来拟合一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,10)时为了求出其回归方程,设z=lny,得到z关于x的线性回归方程z=0.6x+1,则 ()A.m=e,n=0.6 B.m=0.6,n=eC.m=1,n=0.6 D.m=0.6,n=1【解析】选A.由题意,y=menx得到z=lny=lnmenx=lnm+nx=0.6x+1,故n=0.6,lnm=1,所以n=0.6,m=e.6.(多选题)研究变量x,Y得到一组样本数据,进行回归分析,以下说法正确的是 ()A.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好B.用相关指数R2来刻画回归效果,R2越小说明拟合效果越好C.在回归直线方程=0.2x+0.8中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量平均增加0.2个单位D.若变量Y和x之间的相关系数为r=-0.9462,则变量Y和x之间的负相关性很强【解析】选ACD.A可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故A正确;B用相关指数R2来刻画回归效果,R2越大说明拟合效果越好,故B错误;C在经验回归方程=0.2x+0.8中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量平均增加0.2个单位,故C正确;D若变量Y和x之间的相关系数为r=-0.9462,r的绝对值趋向于1,则变量Y和x之间的负相关性很强,故D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.某数学老师身高为176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm,170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm.

【解析】设父亲身高为xcm,儿子身高为Ycm,则x173170176Y170176182x=173,y=176,=0×(-=y-x=176-1×173=3,所以=x+3,当x=182时,=185.答案:1858.已知变量x,Y线性相关,由观测数据算得样本的平均数x=4,y=5,经验回归方程=x+中的系数,满足+=4,则经验回归方程为.

【解析】由题知,点(4,5)在回归直线上,则4+=5,又+=4,所以=113,=13,即经验回归方程为=13x+113答案:=13x+11三、解答题9.(10分)某种产品的广告费用支出x(单位:百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如下的对应数据:x/百万元24568y/百万元3040605070(1)画出散点图;(2)求经验回归方程;(3)试预测广告费用支出为10百万元时,销售额多大.【解析】(1)散点图如图所示:(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算:i12345合计xi2456825yi3040605070250xiyi601603003005601380x416253664145所以x=255=5,y=2505=50,∑i=15xiy所以=∑i=15xiy=y-x=50-6.5×5=17.5.所以所求的经验回归方程为=6.5x+17.5.(3)根据上面求得的经验回归方程,当广告费用支出为10百万元时,=6.5×10+17.5=82.5(百万元),即广告费用支出为10百万元时,销售额大约为82.5百万元.【补偿训练】近年来,随着互联网的发展,“共享汽车”在我国各城市迅猛发展,为人们出行提供了便利,但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握“共享汽车”在M省的发展情况,M省某调查机构从该省抽取了5个城市,分别收集和分析了“共享汽车”的A,B两项指标数xi,yi(i=1,2,3,4,5),数据如下表所示:项目城市1城市2城市3城市4城市5A指标数x46285B指标数y44354经计算得∑i=15(xi-(1)试求y与x间的相关系数r,并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合);(2)建立y关于x的回归方程,并预测当A指标数x为7时,B指标数y的估计值.附:相关公式:r=∑i=1n(xi-x)(yi参考数据:0.3≈0.55,0.9【解析】(1)由已知,x=4+6+2+8+55=5,y=4+4+3+5+4所以相关系数r=∑i=15(xi-x)(所以y与x有较强的线性相关关系,可以用线性回归模型拟合y与x的关系;(2)由(1)知=∑i=15(xi-x)(yi-y)故y与x的线性回归方程为=310x+52当x=7时,=310×7+52=4.6(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知变量x,Y的取值如表:x12345Y1015304550由散点图分析可知Y与x线性相关,且求得经验回归方程为=x-3,据此可预测:当x=8时,的值为 ()A.63 B.74 C.85 D.96【解析】选C.由题得x=1+2+3+4+55y=10+15+30+45+505=30故样本点的中心的坐标为(3,30),代入=x-3,得=30+33=11.所以=11x-3,取x=8,得=11×8-3=85.2.若一函数模型为y=ax2+bx+c(a≠0),将y转化为t的线性回归方程,需做变换t= ()A.x2 B.(x+a)2C.x+b2a2 D.以上都不对【解析】选C.y=ax2+bx+c(a≠0)=ax+b2a2+4ac-b24a,根据线性回归方程是一次函数可知,令t=x+b2a2,则y=at+4ac-3.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出经验回归方程,设z=lny,将其变换后得到经验回归直线方程=0.2x+3,则c,k的值分别是 ()A.e2,0.6 B.e2,0.3C.e3,0.2 D.e4,0.6【解析】选C.因为y=cekx,等式两边同时取对数可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=kx+lnc,设z=lny,则上式可化为z=kx+lnc,因为z=0.2x+3,则k=0.2,lnc=3,所以c=e3,k=0.2.4.(多选题)由相关变量x,y之间的一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得到y关于x的线性回归方程为=1.4x+0.8,且x=3,去除两个歧义点(1.2,2.4)和(4.8,7.6)后,得到y关于x的新线性回归方程的回归系数为1.5,则去除这两个歧义点后 ()A.xj(j=1,2,…,8)的平均值变大B.xj(j=1,2,…,8)的平均值不变C.新线性回归方程为=1.5x+0.5D.当x增加1个单位时,y增加1.5个单位【解析】选BC.将x=3代入=1.4x+0.8得y=5,又因为1.2+4.82=3,2.4+7.62=5,故去除两个歧义点(1.2,2.4)和(4.8,7.6)后,其数据的平均值不变,故A错误,B正确;设新线性回归方程为=1.5x+a,将数据中心(3,5)代入得a=0.5,故C正确;故当x增加1个单位时,y平均增加1二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知某成对样本数据的残差图如图,则样本点数据中可能不准确的是从左到右第个.

【解析】原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据,即偏离平衡位置过大的数据.答案:66.某公司调查了商品A的广告投入费用x(万元)与销售利润Y(万元)的统计数据,如表:广告费用x(万元)2356销售利润Y(万元)57911由表中的数据得经验回归直线方程为=x+,则当x=7时销售利润y的估值为万元.

【解析】由题表中数据可得x=2+3+5+64=4,y=5+7+9+11所以=∑i=14xiy所以=y-x=8-1.4×4=2.4,故经验回归方程为=1.4x+2.4,所以当x=7时,=1.4×7+2.4=12.2.答案:12.27.在研究两个变量的相关关系时,观察散点图,发现样本点集中于某一条曲线y=ebx+a的周围,令z=lny,求得经验回归方程=0.25x-2.58,则该模型的经验回归方程为.

【解析】由经验回归方程=0.25x-2.58得ln=0.25x-2.58,整理得=e0.25x-2.58,所以该模型的经验回归方程为=e0.25x-2.58.答案:=e0.25x-2.588.已知某产品连续4个月的广告费xi(千元)与销售额yi(万元)(i=1,2,3,4),经过对这些数据的处理,得到如下数据信息:①∑i=14xi=18,∑i=14yi=14;②广告费x和销售额y之间具有较强的线性相关关系;③回归系数=0.8.则广告费平均值为千元,当广告费为6千元时【解析】由题意得,x=184=4.5,y=144=3由y=x+得,=3.5-0.8×4.5=-0.1,所以=0.8x-0.1.当x=6时,=0.8×6-0.1=4.7.答案:4.54.7三、解答题9.(10分)为了落实习主席提出的“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求,某市计划自2014年初起开始实施绿化行动.实施绿化的第x年(如2014年对应的x=1),绿化面积为y平方公里,则连续五年x,y之间的数据如下表:x12345y13678(1)已知对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),若其拟合直线方程=x+,记Q=∑i=1n(yi-xi-)2,若Q越小则拟合效果越好.若根据表中数据,观察得出的拟合直线方程分别为l1:=2x-1,l2:=32x+12,使用Q判断哪条直线的拟合效果更好;(2)试用(1)中所求的拟合效果较好的直线,估计2024年的绿化面积.【解析】(1)根据直线l1:=2x-1得出的数据列表如表:x12345y13678l1:=2x-113579根据直线l2:=32x+12得出的数据列表如表x12345y13678l2:=32x+123.556.58分别根据表中数据及Q的公式可得,Q1=02+02+12+02+(-1)2=2,Q2=(-1)2+(-0.5)2+12+0.52+02=2.5,因为Q1<Q2,所以直线l1:=2x-1的拟合效果更好.(2)由题意可知,l1:=2x-1,2024年对应的x=11,所以预测绿化面积=2×11-1=21(平方公里).【补偿训练】生物学家预言,21世纪将是细菌发电造福人类的时代.说起细菌发电,可以追溯到1910年,英国植物学家利用铂作为电极放进大肠杆菌的培养液里,成功地制造出世界上第一个细菌电池.然而各种细菌都需在最适生长温度的范围内生长.当外界温度明显高于最适生长温度,细菌被杀死;如果在低于细菌的最低生长温度时,细菌代谢活动受抑制.为了研究某种细菌繁殖的个数Y是否与在一定范围内的温度x有关,现收集了该种细菌的6组观测数据如表:温度x/℃21232427293