福州市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试卷（含答案）

保密★启用前准考证号姓名(在此卷上答题无效)福州市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024.1.24本试卷共4页,22小题,满分150分,考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.3.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.4.考试结束后，考生上交答题卡.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z·i=z+1(i为虚数单位),则|z|=A.12B.22C.12.设集合M={x|-2≤x≤2},N={y|y=2*+1},则M∪N=A.[-2,+∞)B.(1,2]C.[1,2]D.(1,+∞)3.已知直线l与曲线y=x³-x在原点处相切，则l的倾斜角为A.π6B.π/4C.4.已知a,b为单位向量,若||a+b|=|a-b|,则a+b与a-b的夹角为A.π3B.π/2C5.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x<0时,fx=x²-2x+1,则f(2)+fA.2B.1C.-8D.-96.已知a=x+1A.∃x∈[-1,1],a>cB.∃x∈[-1,1],b>cC.∃x∈[-1,1],a<cD.∃x∈[-1,1],b<c7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为A.51B.70C.92D.117数学试题第1页(共4页)8.已知函数f(x)的定义域为R,∀x,y∈R,f(x+1)f(y+1)=f(x+y)-f(x-y),若f(0)≠0,则f(2024)=A.-2B.-4C.2D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知函数fxA.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图象关于点(2π3C.f(x)在区间0πD.若f(x)的图象关于直线x=x₀对称,则si10.已知甲、乙两组数据分别为:20,21,22,23,24,25和a,23,24,25,26,27,若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同11.设椭圆C:x2a2+y2b2=1ab>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,过F₁的直线与C交于A,BA.a=2B.C的离心率为1C.|AB|可以为πD.∠BAF₂可以为直角12.如图所示,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,△ABF和△DCE均是等边三角形,且AB=23A.EF∥平面ABCDB.二面角A-EF-B随着x的减小而减小C.当BC=2时,五面体ABCDEF的体积V(x)最大值为27D.当BC=32时，存在x使得半径为3ABCDEF数学试题第2页(共4页)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.若sinα+π14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有种.15.已知平面α的一个法向量为n=(1,0,1),且点A(1,2,3)在α内,则点B(1,1,1)到α的距离为.16.设△ABC是面积为1的等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点P在△ABC所在的平面内,记△PCD与△PAB的面积分别为S₁,S₂,且,S₁-S₂=1.当|PB|=10,且|PA|>|PB|时,|PA|=;记|PA||PB|=a,则实数a的取值范围为(注:第空2分,第二空3四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a²cosB+abcosA=2c.(1)求a;(2)若A=2π3,且△ABC的周长为2+5,,求18.(12分)如图,在四棱锥E-ABCD中,ADBC,2AD=BC=2,AB=2,AB⊥AD,EA⊥平面ABCD,过点B作平面(1)证明:平面α∥平面EAC;(2)已知点F为棱EC的中点,若EA=2,求直线AD与平面FBD所成角的正弦值.数学试题第3页(共4页)19.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a₂=2a₁=4,当n∈N°,且n≥2时,Sn+1=3Sn-2Sn-1(1)证明:{an}为等比数列;(2)设bn=anan-1an+1-1,记数列{bn}的前n项和为T20.(12分)已知甲、乙两支登山队均有π名队员，现有新增的4名登山爱好者a，b，c，d将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同.先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕.新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队.(1)求a，b，c三人均被分至同一队的概率；(2)记甲、乙两队的最终人数分别为n₁，n₂，设随机变量X=|n₁-n₂|,求E(X).21.(12分)已知函数fx=alnx-x-1x+1有两个极值点(1)求实数a的取值范围；(2)证明:f22.(12分)在平面直角坐标系xOy中，点P(1，0)，点A为动点，以线段AP为直径的圆与y轴相切，记A的轨迹为Γ，直线AP交Γ于另一点B，(1)求Γ的方程;(2)△OAB的外接圆交Γ于点C(不与O,A,B重合),依次连接O,A,C,B构成凸四边形OACB,记其面积为S.(i)证明:△ABC的重心在定直线上;(ii)求S的取值范围.数学试题第4页(共4页)绝密★启用前试卷类型：A福州市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题答案及评分参考2024.1一、单项选择题：题号12345678答案BACBDDCA二、多项选择题：题号9101112答案BCBDACACD三、填空题：13.-35;14.24;15.2;三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.a²cosB+abcosA=2c.(1)求a;(2)若A=2π3,且△ABC的周长为2+5,,求解:(1)∵a²cosB+abcosA=2c,∴a(acosB+bcosA)=2c,…1分由正弦定理,得a(sinAcosB+sinBcosA)=2sinC,⋯2分即asin(A+B)=2sinC,⋯3分∵A+B+C=π,∴sin(A+B)=sinC,…4分∴asinC=2sinC,∵0<C<π,∴sinC>0,∴a=2.……………5分(2)由(1)知a=2,在△ABC中,由余弦定理,得cosA=b∴b2+c2-42bc=-∴a+b+c=5+2,∴b+c=5②,考答案及评分标准第1页共10页由①,②得b²+c²+bc=b+c²-bc=4,∴bc=1,记△ABC的面积为S,∴S=12bc18.(12分)如图,在四棱锥E-ABCD中,AD//BC,2AD=BC=2,AB=2,AB⊥AD,EA⊥平面ABCD,过点B作平面α⊥(1)证明:平面α∥平面EAC;(2)已知点F为棱EC的中点,若EA=2,求直线AD与平面FBD所成角的正弦值.证明:(1)设AC与BD的交点为O,∵AD∥BC,且AB⊥AD,∴AB⊥BC,∵AD=1,AB=2且AB=∴△ABD~△BCA,……2分∴∠ABD=∠BCA,∴∠BAC+∠ABD=∠BAC+∠BCA,∵AB⊥BC,∴∠BAC+∠BCA=90°,∴∠BAC+∠ABD=90°,即∠BAO+∠ABO=90°,∴∠AOB=90°,∴AO⊥BO,即AC⊥BD,…………………4分∵EA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,高三数学参考答案及评分标准第2页共10页∴EA⊥BD,∵EA∩AC=A,EA,AC⊂平面EAC,∴BD⊥平面EAC,又∵α⊥BD,且B∉平面EAC,∴平面α∥平面EAC,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)(方法一)∵AB⊥AD,EA⊥平面ABCD,∴AB,AD,AE两两垂直.如图,以A为原点,AB,AD,AE分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),D(0,1,0),B(-2,0,0),E(0,0,2),C(-2,2,0),∴AD=∵点F为棱EC的中点,∴BF=1设平面FBD的一个法向量为n=(x,y,z),贝BD取x=2,得y=-2∴平面FBD的一个法向量为n=2-22记直线AD与平面FBD所成角为θ，则si∴直线AD与平面FBD所成角的正弦值为277(方法二)如图,取AC中点M,连接FM,∵F为棱EC的中点,∴FM=EA2=1,且FM∥∵EA⊥平面ABCD,高三数学参考答案及评分标准第3∴FM⊥平面ABCD,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分∵OM⊂平面ABCD,∴FM⊥OM,∵AB⊥AD,AB⊥BC,∴BD=AB2+A易知△OBC~△ODA,∴∴OA=OC2=6又AM=∵FM=1,且FM⊥OM,∴OF=1+16∵BD⊥平面EAC,OF⊂平面EAC,∴BD⊥OF,∴SFBD=∵AD=1,AB=2,且AB⊥AD,∴SABD=设h为A到平面BFD的距离，∵即144×h=22×1,解得h=记直线AD与平面FBD所成角为θ，则si∴直线AD与平面FBD所成角的正弦值为277.19.(12分)已知数列{an}的前n项和为，Sₙ,a₂=2a₁=4,当n∈N*,且n≥2时,(1)证明:{an}为等比数列;(2)设bn=anan-1an+1-1,记数列{bₙ}的前解:(1)∵当n∈N⁺,且n≥2|时,S高三数学参考答案及评分标准第4页共10页∴当n≥2时,S∴an₊₁=2a∵a2=2∴{an}是以首项为2，且公比也为2的等比数列.…………5分(2)由(1)易知{an}的通项公式为an=2∴bn=∴Tn∵∴2ᵐ⁺ˡ-1>7×2ᵐ⁻²,即8×2ᵐ⁻²-1>7×2ᵐ⁻²,…………………10分∴2ᵐ⁻²>1,∴m-2>0,∴m>2,∴m≥3,即正整数m的最小值为3,…………12分20.(12分)已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者a，b，c，d将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同.先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕.新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队.(1)求a，b，c三人均被分至同一队的概率；(2)记甲、乙两队的最终人数分别为n₁，n₂，设随机变量.X=|n₁-n₂|,求E(X).解：(1)a，b，c三人均被分至同一队当且仅当三人同分至甲队或同分至乙队.设事件A=“a被分至甲队”,B=“b被分至甲队”,C=“c被分至甲队”,当a即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a被分至甲队即a摸出红球的概率为PA=22+2当a被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b被分至甲队即b摸出红球的概率为PB|A=22+3高三数学参考答案及评分标准第5页共10页当a，b均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c被分至甲队即c摸出红球的概率为PC|AB=∴P∴PABC=PAB同理可知，新增登山爱好者a，b，c均被分至乙队的概率也为1∴a，b，c三人均被分至同一队的概率为115+115由题设可知,X的可能取值为4,2,0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分X=4表明新增的4名登山爱好者均被分至甲队或乙队，∴PX=4=2×X=2表明新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名则被分至另一队，设新增的第k(k=1，2，3，4)名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则PP………9分∴PX=2=P1X=0表明新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，∴PX=0=1-PX=2∴X的数学期望EX=4×410521.(12分)已知函数fx=alnx-x-1x+1有两个极值点x(1)求实数a的取值范围；(2)证明:f解:(1)易知f'x=ax-2x+12=ax2+2a-1高三数学参考答案及评分标准第6页共10页∴f(x)在(0，+∞)上单调递减，不可能有两个极值点，与题设矛盾，∴a>0,⋯⋯⋯⋯2分∵f(x)有两个极值点x₁,x₂,∴关于x的方程.ax²+2a-1x+a=0a0)有两个相异的正实数根：x₁,x₂∴Δ=4a-12解得0<a<∴实数a的取值范围为012.(2)由(1)知,0<a<12,且x不妨设0<x₁<1<x₂,化简可得...=∴fx1欲证fx1-fx2x1-x2只需证2x1+x2令t=x1x2(0<t<1),则需证由(1)知,当a=12时,ax2+2高三数学参考答案及评分标准第7页共10页∴fx=12lnx-x-1∵0<t<1,∴f(t)<f(1)=0,即12lnt-t-1∴fx122.(12分)在平面直角坐标系xOy中，点P(1，0)，点A为动点，以线段AP为直径的圆与y轴相切，记A的轨迹为Γ，直线AP交Γ于另一点B.(1)求Γ的方程;(2)△OAB的外接圆交Γ于点C(不与O,A,B重合),依次连接O,A,C,B构成凸四边形OACB，记其面积为S.(i)证明:△ABC的重心在定直线上;(ii)求S的取值范围.解:(1)设A(x,y),则线段AP的中点坐标为x+12y2∵以线段AP为直径的圆与y轴相切，∴x+12=12|AP|=1(2)(i)如图,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃),(方法一)∵O,A,C,B四点共圆,∴∠OAB=∠OCB,……4分由对称性可知直线OA,AB,OC,BC的斜率存在,不妨设其分别为k₁,k₂,k₃,k₄,且OA,AB,OC,BC的倾斜角为α₁,α₂,α₃,α₄,∴∠OAB=α₂-α₁,∠OCB=α₄