高考数学 三角函数的图象与性质课后作业 文 新人教A版

课后作业(十八)三角函数的图象与性质一、选择题1．(2013·银川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称的函数是()A．y＝2sin(2x＋eq\f(π,3)) B．y＝2sin(2x－eq\f(π,6))C．y＝2sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,3)) D．y＝2sin(2x－eq\f(π,3))2．函数y＝tan(eq\f(π,4)－x)的定义域是()A．{x|x≠eq\f(π,4)} B．{x|x≠－eq\f(π,4)}C．{x|x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z} D．{x|x≠kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z}3．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A．[－1，1] B．[－eq\f(5,4)，－1]C．[－eq\f(5,4)，1] D．[－1，eq\f(5,4)]4．(2013·南昌模拟)设函数f(x)＝sin3x＋|sin3x|，则f(x)为()A．周期函数，最小正周期为eq\f(2π,3)B．周期函数，最小正周期为eq\f(π,3)C．周期函数，最小正周期为2πD．非周期函数5．(2013·潍坊模拟)已知函数f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx，设a＝f(eq\f(π,7))，b＝f(eq\f(π,6))，c＝f(eq\f(π,3))，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．c＜a＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，，且当x＝eq\f(π,2)时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数二、填空题7．(2013·延吉模拟)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值为eq\f(π,3)，则正数ω＝________．8．已知函数f(x)＝3sin(ωx－eq\f(π,6))(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，eq\f(π,2)]，则f(x)的取值范围是________．9．已知函数f(x)＝cosxsinx(x∈R)，给出下列四个命题：①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在区间[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上是增函数；④f(x)的图象关于直线x＝eq\f(3π,4)对称．其中真命题是________．三、解答题10．已知函数f(x)＝sinxcosx＋sin2x，(1)求f(eq\f(π,4))的值；(2)若x∈[0，eq\f(π,2)]，求f(x)的最大值及相应的x值．11．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝eq\f(π,8)，(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．12．已知a＞0，函数f(x)＝－2asin(2x＋eq\f(π,6))＋2a＋b，当x∈[0，eq\f(π,2)]时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝f(x＋eq\f(π,2))且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．解析及答案一、选择题1．【解析】根据函数的最小正周期为π，排除C，又图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，则f(eq\f(π,3))＝2或f(eq\f(π,3))＝－2，代入检验知选B.【答案】B2．【解析】y＝tan(eq\f(π,4)－x)＝－tan(x－eq\f(π,4))，由x－eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z得x≠kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故选D.【答案】D3．【解析】f(x)＝(sinx＋eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)，∵sinx∈[－1，1]，∴－eq\f(5,4)≤f(x)≤1，∴f(x)的值域为[－eq\f(5,4)，1]．【答案】C4．【解析】f(x)＝sin3x＋|sin3x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2sin3x，sin3x≥0,0，sin3x＜0))，周期不变．【答案】A5．【解析】∵f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2sin(x＋eq\f(π,3))，∴函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,6)对称，从而f(eq\f(π,3))＝f(0)，又f(x)在[0，eq\f(π,6)]上是增函数，∴f(0)＜f(eq\f(π,7))＜f(eq\f(π,6))，即c＜a＜b.【答案】B6．【解析】∵T＝6π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,6π)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,3)×eq\f(π,2)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，∴φ＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．∵－π＜φ≤π，∴令k＝0得φ＝eq\f(π,3).∴f(x)＝2sin(eq\f(x,3)＋eq\f(π,3))．令2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(x,3)＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，则6kπ－eq\f(5π,2)≤x≤6kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.易知f(x)在区间[－2π，0]上是增函数．【答案】A二、填空题7．【解析】由|α－β|的最小值为eq\f(π,3)知函数f(x)的周期T＝eq\f(4,3)π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)8．【解析】依题意得ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－eq\f(π,6))．因为x∈[0，eq\f(π,2)]，所以2x－eq\f(π,6)∈[－eq\f(π,6)，eq\f(5,6)π]，所以sin(2x－eq\f(π,6))∈[－eq\f(1,2)，1]，所以f(x)∈[－eq\f(3,2)，3]．【答案】[－eq\f(3,2)，3]9．【解析】f(x)＝eq\f(1,2)sin2x，当x1＝0，x2＝eq\f(π,2)时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]时，2x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，故③是真命题；因为f(eq\f(3π,4))＝eq\f(1,2)sineq\f(3,2)π＝－eq\f(1,2)，故f(x)的图象关于直线x＝eq\f(3,4)π对称，故④是真命题．【答案】③④三、解答题10．【解】(1)∵f(x)＝sinxcosx＋sin2x，∴f(eq\f(π,4))＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,4)＋sin2eq\f(π,4)＝(eq\f(\r(2),2))2＋(eq\f(\r(2),2))2＝1.(2)f(x)＝sinxcosx＋sin2x＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(1,2)(sin2x－cos2x)＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sin(2x－eq\f(π,4))＋eq\f(1,2)，由x∈[0，eq\f(π,2)]得2x－eq\f(π,4)∈[－eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]，所以，当2x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(3,8)π时，f(x)取到最大值为eq\f(\r(2)＋1,2).11．【解】(1)∵直线x＝eq\f(π,8)是函数f(x)图象的一条对称轴，∴2×eq\f(π,8)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，即φ＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，∴φ＝－eq\f(3,4)π.(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－eq\f(3,4)π)，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(3,4)π≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得eq\f(π,8)＋kπ≤x≤eq\f(5π,8)＋kπ，k∈Z.因此y＝f(x)的单调增区间为[eq\f(π,8)＋kπ，eq\f(5,8)π＋kπ]，k∈Z.12．【解】(1)∵x∈[0，eq\f(π,2)]，∴2x＋eq\f(π,6)∈[eq\f(π,6)，eq\f(7π,6)]．∴sin(2x＋eq\f(π,6))∈[－eq\f(1,2)，1]，∴－2asin(2x＋eq\f(π,6))∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b，3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin(2x＋eq\f(π,6))－1，g(x)＝f(x＋eq\f(π,2))＝－4sin(2x＋eq\f(7π,6))－1＝4sin(2x＋eq\f(π,6))－1，又由lgg(x)＞0得g(x)＞1，∴4sin(2x＋eq\f(π,6))－1＞1，∴sin(2x＋eq\f(π,6))＞eq\f(1,2)，∴2kπ＋eq\f(π,6)＜2x＋eq\f(π,6)＜2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，其中当2kπ＋eq\f(π,6)＜2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，