高考数学 抛物线课后作业 文 新人教A版

课后作业(五十一)抛物线一、选择题1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．42．(2013·大连调研)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.eq\f(3,4)B．1C.eq\f(5,4)D.eq\f(7,4)3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－eq\r(3)，那么|PF|＝()A．4eq\r(3)B．8C．8eq\r(3)D．164．(2012·课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4eq\r(3)，则C的实轴长为()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C．4D．85．(2013·宿州质检)直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()A．y2＝12xB．y2＝8xC．y2＝6xD．y2＝4x6．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x二、填空题7．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．8．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点．其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．9．(2012·陕西高考)如图8－7－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m图8－7－2三、解答题图8－7－310．如图8－7－3所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．11．(2013·南昌质检)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．图8－7－412．(2013·厦门模拟)如图8－7－4所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解析及答案1．【解析】因为椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点为(2，0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2，0)，则p＝4.【答案】D2．【解析】∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋eq\f(1,2)＝3，∴xA＋xB＝eq\f(5,2).∴线段AB的中点到y轴的距离为eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(5,4).【答案】C3．【解析】由题意，直线l的方程为x＝－2，焦点F为(2，0)，设A点的坐标为(－2，n)，则eq\f(n－0,－2－2)＝－eq\r(3)，解得n＝4eq\r(3)，又PA⊥l，由(4eq\r(3))2＝8x，得x＝6.∴|PF|＝x＋eq\f(p,2)＝8.【答案】B4．【解析】设C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1.∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1和x＝－4得A(－4，eq\r(16－a2))，B(－4，－eq\r(16－a2))，∴|AB|＝2eq\r(16－a2)＝4eq\r(3)，∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.【答案】C5．【解析】如图，分别过点A、B作抛物线准线的垂线，垂足分别为M、N，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝8，又四边形AMNB为直角梯形，故AB中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，又抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，所以4＝2＋eq\f(p,2)＝p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.【答案】B6．【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且两点在抛物线上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yeq\o\al(2,1)＝2px1，①,yeq\o\al(2,2)＝2px2，②))①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，又线段AB的中点的纵坐标为2，∴y1＋y2＝4，又直线的斜率为1，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1，∴2p＝4，p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)＝－1.【答案】B二、填空题7．【解析】由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹是以点(0，3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.【答案】x2＝12y8．【解析】∵y2＝4x的焦点为F(1，0)，又直线l过焦点F且倾斜角为60°，故直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－1)，将其代入y2＝4x得3x2－10x＋3＝0.∴x＝eq\f(1,3)或x＝3.又点A在x轴上方，∴xA＝3.∴yA＝2eq\r(3).∴S△OAF＝eq\f(1,2)×1×2eq\r(3)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)9．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py，得p＝1.∴x2＝－2y.当水面下降1m，得D(x0，－3)(x0>0将其坐标代入x2＝－2y得xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝eq\r(6).∴水面宽|CD|＝2eq\r(6)m.【答案】2eq\r(6)三、解答题10．【解】(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,x2＝4y，))得x2－4x－4b＝0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2，1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.11．【解】(1)直线AB的方程是y＝2eq\r(2)(x－eq\f(p,2))，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4).由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，∴p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，从而A(1，－2eq\r(2))，B(4，4eq\r(2))．设eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4，4eq\r(2))＝(4λ＋1，4eq\r(2)λ－2eq\r(2))，又yeq\o\al(2,3)＝8x3，所以[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．【解】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．∵点P(1，2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝eq\f(y1－2,x1－1)(x1≠1)，kPB＝eq\f(y2－2,x2－1)(x2≠1)，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得yeq\o\al(2,1)＝4x1，①yeq\o\al(2,2)＝4x2，②∴e