高考数学 函 数的奇偶性与周期性课后作业 文 新人教A版

课后作业(六)函数的奇偶性与周期性一、选择题1．(2013·广东六校联考)函数y＝log2eq\f(1＋x,1－x)的图象()A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称2．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数3．(2012·淮北二模)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋4)－f(x)＝2f(2)，若y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝2，则f(1003)＝()A．2 B．3 C．4 D．64．(2013·郑州模拟)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1)＜f(eq\f(1,3))的x取值范围是()A．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3)) B．[eq\f(1,3)，eq\f(2,3)) C．(－∞，eq\f(2,3)) D．[eq\f(1,2)，eq\f(2,3))5．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．－3 B．－1 C．6．(2012·“江南十校”第二次联考)已知函数f(x)＝(eq\f(1,ax－1)＋eq\f(1,2))cosx＋bsinx＋6(a，b为常数，且a＞1)，f(lglog81000)＝8，则f(lglg2)的值是()A．8 B．4C．－4 D．与a，b的值有关二、填空题7．(2013·开封模拟)函数f(x)＝eq\f(（x＋1）（x＋a）,x3)为奇函数，则a＝________．8．(2013·金华模拟)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝eq\f(1,f（x）)，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________．9．(2012·上海高考)已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________．三、解答题10．已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值．(1)求实数a的取值范围；(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．11．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1，2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．12．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解析及答案一、选择题1．【解析】由eq\f(1＋x,1－x)＞0得－1＜x＜1，即函数定义域为(－1，1)，又f(－x)＝log2eq\f(1－x,1＋x)＝－log2eq\f(1＋x,1－x)＝－f(x)，∴函数y＝log2eq\f(1＋x,1－x)为奇函数，故选A.【答案】A2．【解析】因为g(x)是R上的奇函数，所以|g(x)|是R上的偶函数，从而f(x)＋|g(x)|是偶函数，故选A.【答案】A3．【解析】将y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位后即得y＝f(x)的图象．因此由y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，可得y＝f(x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，从而对于f(x＋4)－f(x)＝2f(2)，令x＝－2可得f(2)－f(－2)＝f(2)－f(2)＝0，因此f(x＋4)＝f(x)，即函数以4为周期，从而f(1003)＝f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2，故选A.【答案】A4．【解析】由题意知f(－eq\f(1,3))＝f(eq\f(1,3))，且f(x)在(－∞，0)上单调递减．∴－eq\f(1,3)＜2x－1＜eq\f(1,3)，∴eq\f(1,3)＜x＜eq\f(2,3).【答案】A5．【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3，故选A.【答案】A6．【解析】令F(x)＝f(x)－6，则F(－x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数，则F(－lglog81000)＝－F(lglog81000)，F(lglg2)＝F(lglog10008)＝F(－lglog81000)＝－F(lglog81000)，所以f(lglg2)－6＝F(lglg2)＝－F(lglog81000)＝－[f(lglog81000)－6]＝－2，所以f(lglg2)＝－2＋6＝4.【答案】B二、填空题7．【解析】由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1.【答案】－18．【解析】∵f(x＋2)＝eq\f(1,f（x）)，∴f(x＋4)＝eq\f(1,f（x＋2）)＝f(x)，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝eq\f(1,f（1）)＝－eq\f(1,5).【答案】－eq\f(1,5)9．【解析】由g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，得f(1)＝g(1)－2＝－1.∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝1＋2＝3.【答案】3三、解答题10．【解】(1)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a＋2）x－4，x≥2，,（a－2）x＋4，x＜2，))要使函数f(x)有最小值，需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2≥0,a－2≤0))，∴－2≤a≤2，即当a∈[－2，2]时，f(x)有最小值．(2)∵g(x)为定义在R上的奇函数，∴g(－0)＝－g(0)，∴g(0)＝0.设x＞0，则－x＜0.∴g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4∴g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－2）x－4，x＞0，,0，x＝0，,（a－2）x＋4，x＜0.))11．【解】(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)当x∈[1，2]时，2－x∈[0，1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1，2]．(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2012)＋f(2013)＝f(0)＋f(1)＝1.12．【解】(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝eq\f(1,2)f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x