矩阵的特征值问题课件

第七章

矩阵特征值计算内容7.1引言7.2幂法及反幂法1设k/m=1，求固有频率的特征方程7.1引言

物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等)，结构屈曲，物理学中的某些临界值的确定。它们都归结为下述数学问题。345677.2幂法及反幂法一、幂法幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值λ1及其对应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。891011121314于是主特征值为：2.5365323；对应特征向量为：(0.74820.64971)TkUk(规范化向量)Max(vk)01510…20(111)T(0.90910.81821)T(0.76510.66741)T(0.74940.65081)T…(0.74820.64971)T2.75000002.55879182.5380029…2.536532315二、加速方法161718kUk(规范化向量)Max(vk)05678910(111)(0.75160.65221)(0.74910.65111)(0.74880.65011)(0.74840.64991)(0.74830.64971)(0.74820.64971)1.79140111.78884431.78733001.78691521.78665871.7865914三、反幂法反幂法可求非奇异实矩阵的按模最小特征值及特征向量。也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。19202122232425kUkT(规范化向量)p+1/Max(vk)012345(111)(1-0.271604938-0.197530864)(1-0.23453776-0.171305338)(1-0.235114344-0.171625203)(1-0.23510535-0.171621118)(1-0.235105489-0.171621172)-13.40740741-13.21752930-13.22021864-13.22017941-13.2201799826%%求对称正定矩阵的特征值问题%%A=[3-20;-25-3;0-37];%%对称正定矩阵Epsilon=0.0001;%%迭代控制误差%%求最大特征值及对应的特征向量v=[1;1;1];%%初始迭代向量Lambda_0=max(abs(v));%%最大特征值的估计值while1v=A*v;Lambda_1=max(abs(v));v=v/Lambda_1;ifabs(Lambda_1-Lambda_0)<=Epsilondisplay('最大特征值')display(Lambda_1);display('最大特征值对应的特征向量')display(v');breakendLambda_0=Lambda_1;end27%%求最小特征值及对应的特征向量A=inv(A);%%求矩阵A的逆——好的做法是利用平方根法求逆v=[1;1;1];%%初始迭代向量Lambda_0=max(abs(v));%%最大特征值的估计值while1v=A*v;Lambda_1=max(abs(v));v=v/Lambda_1;ifabs(Lambda_1-Lambda_0)<=Epsilondisplay('最小特征值')Lambda_1=1/Lambda_1;%%注意倒数

display(Lambda_1);display('最小特征值对应的特征向量')display(v');breakendLambda_0=Lambda_1;end28矩阵特征值与特征向量的计算重要概念（特征值，特征向量，正交相似变换，反射变换，平面旋转变换，QR分解）迭代法幂法（原理、