南京九年级上期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）

1.在一次中学生田径运动会上，参加跳高的15名运动员的成绩如表：

成绩（m）1.501.601.651.701.751.80

人数124332

那么这些运动员跳高成绩的众数是（）

A.4B.1.750.1.70D.1.65

2.有5张大小、背面都相同的扑克牌，正面上的数字分别是4,5,6,7,8.若将这5张

牌背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张牌正面上的数字为偶数的概率是（）

A.9B.aC.2D.1

5555

3.方程x?+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）

A.（x+3）Jl4B.（x-3）2=140.（x+6）2=^D.（x+3）2=4

4.下列命题中，正确的是（）

A.任意三点确定一个圆B.平分弦的直径垂直于弦

C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形D.垂直弦的直线必过圆心

5.如图，。。是4ABC的外接圆，连接0A、OB,Z0BA=50°,则NC的度数为（）

0c

A.30°B.40°C.50°D.80°

6.如图，在AABC中，ZACB=90",ZABC=30°,AB=2.将4ABC绕直角顶点C逆时针旋转

60°得B，C,则点B转过的路径长为（）

B'

AA'B

A。•率加号D.n

二'填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）

7.在一次数学测试中，小明所在小组6人的成绩（单位：分）分别为84、79、83、87、77、

81,则这6人本次数学测试成绩的中位数是___________

8.若关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值是

2

9.一元二次方程x-mx+m=0的两个实数根为x,xX2,则代数式x.+x,x2+x2=.（用

含m的代数式表示）

10.如图，圆0的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,NA=22.5°,0C=4,CD的长为.

11.如图，ZkABC为。。的内接三角形，AB为。0的直径，点D在。。上，NADC=54°,则

NBAC的度数等于____________.

C

12.一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为.

13.如图，AB是。。的直径，点C在AB的延长线上，CD切。。于点D,连接AD.若NA=25°,

则NC=____________度.

14.如图，PA,PB切。。于A、B两点，CD切。。于点E,交PA,PB于C,D.若PA=10,则

△PCD的周长=____________.

如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则NBAD二

D

AB

16.已知：00的半径为2,圆心到直线I的距离为1,将直线I沿垂直于I的方向平移,

使I与。0相切，则平移的距离是.

三、解答题(共11小题，共88分)

17.解方程(配方法)：2X2+3X-2=0.18.解方程：2(3x-1)2=3x-1.

19.(2)班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表(10分制):

甲789710109101010

乙10879810109109

(1)甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分;

(2)计算乙队的平均成绩和方差；

(3)已知甲队成绩的方差是1.4分2,则成绩较为整齐的是队.

21.如图，AB为。。的直径，PD切。0于点C,交AB的延长线于点D,且ND=2NCAD.

(1)求ND的度数；

(2)若CD=2,求BD的长.

22.某市从2012年起治理空气污染，中期目标为：2016年PM2.5年均值降至38微克/立方

米以下.该城市PM2.5数据的相关数据如下：2012年PM2.5年均值为60微克/立方米，经

过治理，预计2014年PM2.5年均值降至48.6微克/立方米.假设该城市PM2.5每年降低的

百分率相同，问该市能否顺利达成中期目标？

23.已知关于x的方程x?+ax+a-2=0

(1)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一根；

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

24.如图，O0是4ABC外接圆，AB=AC,P是。。上一点.

(1)分别出图①和图②中NBPC的角平分线；

(2)结合图②，说明你这样理由.

①②

25.如图，在RtZXABC中，NC=90°,点E在斜边AB上，以AE为直径的。。与BC相切于

点D.

(1)求证：AD平分NBAC;

(2)若AD=2«，AE=4,求图中阴影部分的面积.

26.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,以AC为直径的00与AB边交于点D,EB=EC

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若以点0、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断aABC的形状，并说明理由.

27.阅读材料：

已知，如图(1),在面积为S的AABC中，BC=a,AC=b,AB=c,内切圆。的半径为r.连接

0A、OB、0C,4ABC被划分为三个小三角形.

'''S—S△OBC+SAO*C+SAOAB=—BCr+-iACr+—ABr=—(a+b+c)r.

2222

.•-1r-----2-S---.

a+b+c

(1)类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图(2),

各边长分别为AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求四边形的内切圆半径r；

(2)理解应用：如图(3),在等腰梯形ABCD中，AB〃DC,AB=21,CD=11,AD=13,与

分别为4ABD与ABCD的内切圆，设它们的半径分别为□和、，求3■的值.

(1)Q)(3)

2014-2015学年江苏省南京市九年级（上）期中数学试卷

弁考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）

1.在一次中学生田径运动会上，参加跳高的15名运动员的成绩如表：

成绩（m）1.501.601.651.701.751.80

人数124332

那么这些运动员跳高成绩的众数是（）

A.4B.1.75C.1.70D.1.65

考点：众数.

专题：常规题型.

分析：根据众数的定义找出出现次数最多的数即可.

解答：解：65出现了4次，出现的次数最多，

••.这些运动员跳高成绩的众数是1.65；

故选：D.

点评：此题考查了众数，用到的知识点是众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的

数.

2.有5张大小、背面都相同的扑克牌，正面上的数字分别是4,5,6,7,8.若将这5张

牌背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张牌正面上的数字为偶数的概率是（）

A.9B.WC.2D.A

5555

考点：概率公式.

分析：由有5张大小、背面都相同的扑克牌，正面上的数字分别是4,5,6,7,8.其中

偶数为：4,6,8,直接利用概率公式求解即可求得答案.

解答：解：■.・有5张大小、背面都相同的扑克牌，正面上的数字分别是4,5,6,7,8.其

中偶数为：4,6,8,

从中任意抽取1张，那么这张牌正面上的数字为偶数的概率是：心.

5

故选：B.

点评：此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

3.方程x，6x-5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）

A.（x+3）=14B.（x-3）=14C.（x+6）2=^-D.（x+3）2=4

考点：解一元二次方程-配方法.

专题：配方法.

分析：配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

解答:解：由原方程移项，得

2

x+6x=5,

等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即3*得

2

x+6x+9=5+9,

（x+3）=14.

故选A.

点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配

方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

4.下列命题中，正确的是（）

A.任意三点确定一个圆

B.平分弦的直径垂直于弦

C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形

D.垂直弦的直线必过圆心

考点：垂径定理；圆的认识.

分析：根据不共线的三点确定一个圆、垂径定理的推论和圆的有关性质分别判断.

解答：解：不共线的三点确定一个圆，所以A选项不正确；

平分（非直径）弦的直径垂直于弦，所以B选项不正确；

圆既是轴对称图形又是中心对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心,

所以C选项正确；

弦的垂直平分线必过圆心，所以D选项不正确；

故选C.

点评：本题考查了垂径定理的推论：平分（非直径）弦的直径垂直于弦；弦的垂直平分线

必过圆心.也考查了不共线的三点确定一个圆以及有关圆的性质.

5.如图，00是AABC的外接圆，连接OA、OB,Z0BA=50°,则NC的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.80°

考点：圆周角定理.

专题：几何图形问题.

分析：根据三角形的内角和定理求得NA0B的度数，再进一步根据圆周角定理求解.

解答:解：；0A=0B,Z0BA=50°,

Z0AB=Z0BA=50°,

...NA0B=180°-50°X2=80°,

ZC=AZA0B=40°.

2

故选：B.

点评：此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理.一条弧所对的圆周角等于它

所对的圆心角的一半.

6.如图,在aABC中,NACB=90°,ZABC=30°,AB=2.将AABC绕直角顶点C逆时针旋转

60°得B，C,则点B转过的路径长为（）

卜会孚T一

考点：旋转的性质；弧长的计算.

专题：几何图形问题.

分析：利用锐角三角函数关系得出BC的长，进而利用旋转的性质得出NBCB，=60。，再

利用弧长公式求出即可.

解答：解：•..在△ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AB=2,

.,.cos30°=区,

AB

.,.BC=ABcos30°=2X

2

•.•将AABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得B，C,

ZBCB7=60°,

60兀X%展”

二点B转过的路径长为:

1803

故选：B.

点评：此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B转过的路径形状是解题关

键.

二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）

7.在一次数学测试中，小明所在小组6人的成绩（单位：分）分别为84、79、83、87、77、

81,则这6人本次数学测试成绩的中位数是3.

考点：中位数.

分析：根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再求出最中间两个数的平均数即可.

解答：解：把这组数据从小到大排列为：77、79、81、83、84、87,

最中间两个数的平均数是：（81+83）+2=82；

故答案为：82.

点评：此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最

中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数的概念

是本题的关键.

8.若关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值是-1.

考点：根的判别式.

分析：根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0,据此求出m的值即可.

解答：解：；关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，

.,.△=0,

(-2)2-4X1X(-m)=0,

解得m=-1.

点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)△AO。方程有两个不相等的实数根；

(2)△=()=方程有两个相等的实数根；

(3)△<0。方程没有实数根.

9.一元二次方程x?-mx+m=0的两个实数根为刈、x2,则代数式Xi+xiXz+x2=2m.(用含m

的代数式表示)

考点：根与系数的关系.

专题：计算题.

分析：先根据根与系数的关系得到M+xkm,x,x2=m,然后利用整体代入的方法计算即可.

解答：解：根据题意得Xi+X2=m,XiX2=m,

所以x1+x1X2+X2=m+m=2m.

故答案为2m.

点评：本题考查了根与系数的关系：若X2是一元二次方程ax?+bx+c=0(a=#0)的两根

时，X1+X2=—,X1X2--.

aa

10.如图，圆0的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,ZA=22.5°,0C=4,CD的长为4M.

考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理.

分析：根据圆周角定理得ZB0C=2NA=45°,由于。0的直径AB垂直于弦CD,根据垂径定

理得CE=DE,且可判断AOCE为等腰直角三角形，所以CE《&C=2&,然后利用CD=2CE进

2

行计算.

解答：解：•「NA=22.5°,

NB0C=2NA=45°,

•••。0的直径AB垂直于弦CD,

；.CE=DE,AOCE为等腰直角三角形，

.-.CE=叵C=2加,

2_

二.CD=2CE=4加.

故答案为4方.

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也

考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理.

11.（2分）（2014兰州）如图，AABC为。0的内接三角形，AB为。0的直径，点D在。0

上，ZADC=54°,则NBAC的度数等于36°.

考点：圆周角定理.

专题：几何图形问题.

分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得NB的度数，又由直

径所对的圆周角是直角，即可求得NACB=90°,继而求得答案.

解答：解：；NABC与NADC是众所对的圆周角，

ZABC=ZADC=54°,

：AB为。0的直径，

ZACB=90°,

ZBAC=90°-ZABC=90°-54°=36°.

故答案为：36。.

点评：此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质.此题比较简单，注意掌握在同圆或等

圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与直径所对的圆周角是直角定理的应用.

12.一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为

考点：圆锥的计算.

专题：计算题.

分析：设这个圆锥的底面半径为r,根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等

于圆锥底面的周长和弧长公式进行计算.

解答：解：设这个圆锥的底面半径为r,

根据题意得2口厂四空工，

180

解得r=3.

故答案为3.

点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底

面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

13.如图，AB是。0的直径，点C在AB的延长线上，CD切。。于点D,连接AD.若NA=25°,

考点：切线的性质；圆周角定理.

专题：计算题.

分析：连接0D,由CD为圆。的切线，利用切线的性质得到0D垂直于CD,根据OA=OD,利

用等边对等角得到NA=NODA,求出NODA的度数，再由NCOD为aAOD外角，求出NCOD度

数，即可确定出NC的度数.

解答：解：连接0D,

•「CD与圆0相切，

.,.ODXDC,

,.,OA=OD,

ZA=Z0DA=25",

ZCOD^AAOD的外角，

ZC0D=50°,

/.ZC=90°-50°=40°.

点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质

是解本题的关键.

14.如图，PA,PB切。。于A、B两点，CD切。0于点E,交PA,PB于C,D.若PA=10,则

△PCD的周长=20.

考点：切线长定理.

分析：由PA,PB切。。于A、B两点，CD切。0于点E,根据切线长定理可得：PB=PA=10,

CA=CE,DB=DE,继而可得4PCD的周长=PA+PB.

解答：解：；PA,PB切。。于A、B两点，CD切。0于点E,

.-.PB=PA=10,CA=CE,DB=DE,

APCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=20.

故答案为：20.

点评：此题考查了切线长定理.此题难度不大，注意从圆外一点引圆的两条切线，它们的

切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.

15.如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则NBAD=72°.

考点：正多边形和圆.

分析：利用多边形内角和公式求得NE的度数，在等腰三角形AED中可求得NEAD的读数,

进而求得NBAD的度数.

解答：解：••.正五边形ABCDE的内角和为(5-2)X1800=540°,

ZE=AX540°=108°,NBAE=108°

5

又：EA=ED,

NEAD」X(180°-108°)=36°,

2

ZBAD=ZBAE-NEAD=72°,

故答案是：72。.

点评：本题考查了正多边形的计算，重点掌握正多边形内角和公式是关键.

16.已知：00的半径为2,圆心到直线I的距离为1,将直线I沿垂直于I的方向平移，

使I与。0相切，则平移的距离是1或3.

考点：直线与圆的位置关系；平移的性质.

专题：计算题.

分析：根据直线与圆的位置关系得到使I与。0相切，则圆心0到直线I的距离为2,于是

可得到直线I平移的距离.

解答：解：的半径为2,

••.使I与。0相切，则圆心0到直线I的距离为2,

将直线I沿垂直于I的方向平移1个单位或3个单位时，圆心0到直线I的距离为2,此

时I与。0相切.

故答案为1或3.

点评：本题考查了直线与圆的位置关系：设。0的半径为r,圆心0到直线I的距离为d,

直线I和。0相交od<r；直线I和。0相切。d=r；直线I和。。相离。d>r.

三、解答翘(共11小题，共88分)

17.解方程(配方法)：2X2+3X-2=0.

考点：解一元二次方程-配方法.

专题：配方法.

分析：配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1;

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

解答：解：由原方程，得

2X2+3X=2,

化二次项系数为1,得

X2+—X=1,

2

等式两边同时加上一次项系数一半的平方(卫)，得

4

x2+-|x+(J)2=1+(J)；

244

即(x+心)2侬，

416

也，

44

«-Xi——,x?=-2.

2

点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配

方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

18.解方程:2(3x-1)2-3X-1.

考点：解一元二次方程-因式分解法.

分析：移项后提公因式，转化为一元一次方程后解答.

解答：解：移项得，2(3x-1)2-(3x-1)=0,

提公因式得，(3x-1)[2(3x-1)-1]=0,

即3x-1=0,2(3x-1)-1=0,

解得，Xl=—,X2=-^-.

32

点评：本题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟悉提公因式法、公式法、十字相

乘法等是解题的关键.

19.J\(2)班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表(10分制)：

甲789710109101010

乙10879810109109

(1)甲队成绩的中位数是9.5分,乙队成绩的众数是10分;

(2)计算乙队的平均成绩和方差；

(3)已知甲队成绩的方差是1.4分*则成绩较为整齐的是乙队.

考点：方差；加权平均数；中位数；众数.

专题：计算题；图表型.

分析：(1)根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数

最多的数即可；

(2)先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；

(3)先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案.

解答:解：(1)把甲队的成绩从小到大排列为：7,7,8,9,9,10,10,10,10,10,最

中间两个数的平均数是(9+10)+2=9.5(分)，

则中位数是9.5分；

乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，

则乙队成绩的众数是10分；

故答案为：9.5,10；

(2)乙队的平均成绩是：Ax(10X4+8X2+7+9X3)=9,

10

则方差是：—X[4X(10-9)2+2X(8-9)2+(7-9)2+3X(9-9)2]=1；

10

(3)..•甲队成绩的方差是1.4,乙队成绩的方差是1,

成绩较为整齐的是乙队；

故答案为：乙.

点评：本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新

排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，一般地设n个数据，X”x2,-x„

222

的平均数为7,则方差6「彳)+(x2-K)+-+(xn-x)],它反映了一组数据的

n

波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

20.在学校田径运动会4X100米接力比赛时，用抽签的方法安排跑道，九年级(1)、(2)、

(3)三个班恰好分在一组，求九年级(1)、(2)班恰好依次排在第一、第二道的概率.

考点：列表法与树状图法.

分析：列举出所有情况，看(1)、(2)班恰好依次排在第一、第二道的情况占总情况的多

少即可.

解答：解：列举所有可能发生的结果：

・•.所有可能出现的结果有6个，且每个结果发生的可能性相等，其中(1)、(2)班恰好依次

排在第一、第二道的结果只有1个，

•••P(1、2班恰好依次排在第一、二道)

6

点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果,

那么事件A的概率P(A)注意本题是不放回实验.

n

21.如图，AB为。。的直径，PD切。0于点C,交AB的延长线于点D,且ND=2NCAD.

(1)求ND的度数；

(2)若CD=2,求BD的长.

考点：切线的性质.

专题：几何综合题.

分析：(1)根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出NC0D=2NA,求出ND=NCOD,根

据切线性质求出N0CD=90°,即可求出答案；

(2)求出0C=CD=2,根据勾股定理求出BD即可.

解答：解：(1),.-OA=OC,

NA=NACO,

ZCOD=ZA+ZAC0=2ZA,

ND=2NA,

/.ZD=ZCOD,

；PD切。。于C,

Z0CD=90°,

ND=NC0D=45°；

(2)VZD=ZCOD,CD=2,

.,.0C=0B=CD=2,

在Rt^OCD中，由勾股定理得：22+2=(2+BD)2,

解得：BD=2&-2.

点评：本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质的应用,

主要考查学生的推理能力.

22.某市从2012年起治理空气污染，中期目标为：2016年PM2.5年均值降至38微克/立方

米以下.该城市PM2.5数据的相关数据如下：2012年PM2.5年均值为60微克/立方米，经

过治理，预计2014年PM2.5年均值降至48.6微克/立方米.假设该城市PM2.5每年降低的

百分率相同，问该市能否顺利达成中期目标？

考点：一元二次方程的应用.

专题：增长率问题.

分析：设该市PM2.5指数平均每年降低的百分率为x,根据2014年PM2.5年均值降至48.6

微克/立方米，列出方程，求出方程的解，即可得出答案.

解答：解：设该市PM2.5指数平均每年降低的百分率为x,根据题意，得：

60(1-x)=48.6.

解得：XFO.1,x2=1.9(不合题意,舍去).

则该城市PM2.5指数平均每年降低的百分率为10%,

V48.6X(1-10%)=39.366>38,

•..该市不能顺利达成中期目标.

点评：此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出

方程，注意把不合题意的解舍去.

23.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0

(1)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一根；

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

考点：根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系.

专题：判别式法.

分析：(1)将x=1代入方程x2+ax+a-2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一

根；

(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答.

解答：解：(1)将x=1代入方程x?+ax+a-2=0得，1+a+a-2=0,解得，a=—；

2

方程为/+2x-8=0,即2x?+x-3=0,设另一根为X”则1Xi=-WXF-2

2222

(2)-,-△=a2-4(a-2)=a2-4a+8=a2-4a+4+4=(a-2)2+4>0,

••・不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

点评：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用.

24.如图，。。是AABC外接圆，AB=AC,P是。。上一点.

(1)分别出图①和图②中NBPC的角平分线；

(2)结合图②，说明你这样理由.

考点：圆周角定理.

分析：(1)利用圆心角、弧、弦的关系，得出作法即可；

(2)利用圆周角定理得出定左血，再利用AB=AC,得出施正，进而得出答案.

解答：解：(1)如图①，连接AP,即为所求角平分线；

如图②，连接A0并延长，与。0交于点D,连接PD,即为所求角平分线

(2)「AD是直径,

二半圆ABD=半圆ACD

又：AB=AC,

AB^AC,

BBBD,

...ZBPD=ZCPD,

即PD平分NBPC.

点评：此题主要考查了基本作图以及圆心角、弧、弦的关系等知识，熟练利用圆心角、弧、

弦的关系得出是解题关键.

25.如图，在Rt^ABC中，NC=90°,点E在斜边AB上，以AE为直径的。。与BC相切于

点D.

(1)求证：AD平分NBAC；

(2)若AD=2«,AE=4,求图中阴影部分的面积.

考点:切线的性质；扇形面积的计算.

分析:(1)首先连接0D,由。0与BC相切于点D,在RtZ\ABC中，NC=90°,易证得0D

〃AC,又由OA=OD,则可证得AD平分NBAC；

(2)首先连接DE,由AE为直径，易得NADE=90°,然后由勾股定理，求得DE的长，继而

求得AD的长，然后由S阴影二S扇形AOD一S&00求得答案.

解答：(1)证明：连接0D,则0A=0D,

/.NDAO二NODA.

IBC是。。的切线,

.'.ODXBC,

'/Z0=90°,

即AC±BC,

/.0D/7AC,

NCAD二NODA,

NDAO=NCAD,

AAD平分NBAC；

(2)解：连接ED,

VAE为直径,

・・・NADE=NC二90°,

'.'DE2=AE2-AD=4,

/.DE=2,

在RSADE中，:AE=4,AD=2«,

/.DE=2,

/.ZDAE=30°,ZA0D=120°,

SAAOD=-^SAADE=-X-iADDE2，^X2二，

22222

.・s-120KX22_41T

•>扇形AOD-------——-----------n,

3603

•'•S阴影二S扇形AOD_S^AOD、^n-

3

点评：此题考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及扇形的面积.此题难度

适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

26.如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,以AC为直径的。。与AB边交于点D,EB=EC

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若以点0、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断aABC的形状，并说明理由.

考点：切线的判定；等腰直角三角形.

分析：(1)运用垂径定理、直角三角形的性质证明N0DE=90°即可解决问题;

(2)证明NB=45°,NA=45°,进而证明AC=BC即可解决问题.

解答：(1)证明：连接CD,0C

,.'AC是直径，

ZADC=90