热点题型提升卷（模拟卷）（解析版） 【高考冲刺满分】2022年高考数学名师押题预测全真模拟 巩固卷（新高考全国Ⅰ卷）

绝密★启用前

【高考冲刺满分】2022年高考名师押题预测全真模拟卷（新高考全

国I卷）

数学

【高考大赢家•巩固】热点题型提升卷（模拟卷）

（本卷共6页，22小题，考试时间：120分，试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必填写好自己的姓名、准考证考号等信息。

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题

卡上。写在本卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个

选项中只有一个选项是符合题目要求的。

1.己知集合4={划―1<》42）,8={-2,—1,0,2,4},贝lJ&A）c8=（）

A.0B.{-1,2}C.{-2,4}D.{-2,—1,4}

【答案】D

【分析】利用补集定义求出。A,利用交集定义能求出他A）ns.

【详解】解：集合A={x[-l<xV2},B={-2,-1,0,2,4）,

则44={回》4-1或x>2},

.♦.（QA）c8={-2,-l,4}.

故选：D

2.己知复数2=可对，则|z|=(

)

1-i

A.石B.Vioc.2+D.275

【答案】B

【分析】根据复数四则运算法则计算即可.

22

【详解】解：z==言=(2-4?(l+i)=3T,|z|=^3+(-l)=V10；

故选：B.

3.已知一个正四棱锥的底面边长为4,以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱

锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为()

A.4(石+1)B.6-1C.4(75-1)D.8(V5+1)

【答案】D

【分析】利用四棱锥斜高与高的关系列方程并求解，再利用侧面积公式直接求解.

【详解】解：

正四棱锥如图，

设四棱锥的高OE=/i，

由底面边长为4,可知OF=2,斜高成=病直,

故〃2=：X4X〃2+4,解得〃2=2+2石，

故侧面积为4x1x4x病百=4后=8+8石=8（1+6），

故选：D.

4.设圆C:V+y2=3,直线/:x+3y-6=0,点P（%,%）€/,存在点QeC,使NOPQ=60。

（。为坐标原点），则看的取值范围是（）

A.-彳,1B.[0»1]C.0,—D.不；

L2JLJ[_5]\_22]

【答案】C

【分析】结合图形可知|3W2时满足题意，代入|0叶=/2+%2",解不等式即可.

【详解】解：如图，当直线PQ与圆C相切，。为切点时，

OQLPQ,NOPQ取得最大值，

此时sinZ.OPQ=

OPOP

当10H42时sinZOPQ=^>^-

可得60。4NOP。<90°

所以满足题意的条件为：|。升42

即[0叶=x；+%244,

又为=三",所以*02+（笥±）244

76

即5%-6x0<0,所以04%«不

故选：C.

y

【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何

法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.

5.已知三角形的三边长为b,C,则三角形的面积为(海伦一秦九韶公式)

S=yJp(p-a)(p-b)(<p-c),〃="":若AABC,AC=8,BC+BA=12,则面

积的最大值为()

A.875B.8GC.16D.4M

【答案】A

【分析】根据海伦一秦九韶公式将三角形的面积表示出来，再利用基本不等式即可得出答案.

【详解】解：在AABC中，由AC=8,BC+BA=12,

则Z?=8,4+c=12,贝I]4+h+c=20,

所以/1+；c=[0,

所以S.ABC=J10(10-q)(10-8)(10-c)

=2>/5-7(10-a)(10-c)

42石1°-“+1°一。

2

=8石,

当且仅当10-a=10-c,即a=c=6时,取等号,

所以“1BC面积的最大值为8石.

故选：A.

6.若tan（a-i）=2,则「2snra=（）

1+sin2a

A.B.-3C.-D.3

33

【答案】A

【分析】先求出…=2,时热震进行弦化切代入计算即可.

【详解】解：因为tan(a-4)=2,所以tana=2,

l-2sinasina+cosa-2sinacoscr-sinacosa-sincr1-tana1

hill------------------=------j-------------------------------------------=--------------------------Y=----------=-------=---

'1+sin2asin~a+cos-a+2sinacosa(sina+cosa)**cosa+sina1+tana3"

故选：A.

7.若存在过点(0,—2)的直线与曲线y=d和曲线y=》2一无+“都相切，则实数〃的值是

()

A.2B.1C.0D.-2

【答案】A

【分析】在两曲线上设切点，得到切线，又因为（0,-2）在两条切线上，列方程即可.

【详解】解：5=卡的导函数为：/=3/,y=/-x+a的导函数为y'=2x-l,

若直线与"/和丫=%2-》+。的切点分别为（为，x；）,（x2,x1-x2+a）,

...过(0,-2)的直线为y=3x；x-2、y=(2xl-l)x-2,

3xf=2x2-1芭=1

则有.X2~X2+Cl=(^X2-1)X2-2,可得卜2=2.

M=3X”2a=2

故选：A.

log.x,(x>0)

8.已知函数.f(x)=J2且百<七<三<七时，/(%)=〃N)=/(%3)=〃匕),

x2+2>/2x+3,(x<0)

A.(；,8B.[2,-H»)C.(4,-H»)D.[-64,T)

【答案】D

【分析】根据已知条件作出分段函数的图象，利用二次函数和对•数函数的性质结合不等式的

性质即可求解.

【详解】解：作出图象如图所示

设〃x)=f，由图象可知：1<Y3时有四个交点，可得1</伍)43

gpi<log2x4<4,解得2<匕48；

•；士,三关J，x=-0对称，.,.不+毛=-2收；

又logIW=logIZ则log,X3=-log,x4=log,—,X3X4=1,

22225*4

40

二9+_____46=x：-2x：=-x；,

演石玉+X2X3X.3（X[+々）

・:2<zV8,—644—xj<—4,

即/.2+血、的取值范围为［—64,7）.

X；X］芍+*2毛

故选：D.

【点睛】解决此题的关键是作出函数的图象，将问题转化为函数的零点转为方程的根进而转

化为函数与函数图

象交点的个数，再根据利用二次函数的对称性及对数的运算性质及不等式的性质即可求解.

二、多项选择题：本题共有4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四

个选项中有多选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有

选错的得0分。

9.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出一球

放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.A表示事件“从甲罐取出的球是红球“，&表示事件“从

甲罐取出的球是白球”,8表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是（）

A.A、4为对立事件B.尸（B|A）=2

C.P（B）=-D.P（B|A）+P（B|4）=1

【答案】AB

【分析】只需注意到事件B是在事件4或A2发生之后可解.

【详解】解：因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当A发生时，乙罐中有4个红球,

4

7个白球，此时8发生的概率为行，故B正确；当&发生时，乙罐中有3个红球，8个白

314137

球，此时8发生的概率为有，故D不正确；P（B）=-x-+-x-=—,故C不正确.

故选：AB

10.有一组样本数据：1,2,4,3,1,2,1,则（）

A.这组数据的众数为2B.这组数据的极差为3

C.这组效据的平均数为2D.这组数据的中位数为|

【答案】BC

【分析】根据众数，极差，平均数，中位数的概念依次计算即可.

【详解】解：对A,该组数据众数为1,故错误；对B,极差为4-1=3,故正确;

1+2+4+3+1+2+1

对C,平均数为=2,故正确;

7

对D,中位数为2,故错误

故选：BC

11.下列各式中，值为6的是（）

1+tan15°

A.2cos2--2sin2—

12121-tan15°

C.473sinl50sin750D.cos15°-73sin15°

【答案】ABC

【分析】

对于A、C,逆用二倍角公式化简判断；

对于B,逆用两角和的正切公式化简判断；

对于D,用配凑法及逆用两角差的正弦公式化简判断;

【详解】解：对于A,2cos2^-2sin2^=2cos1=^,故A正确;

1+tan15tan45°+tan15

对于B,=tan60=,故B正确;

1-tan151-tan45xtan15

对于C,4>/3sinl5cosl5=4>/3x—x2sinl5cosl5=4>/3x—sin30,故C正确;

22

对于D,cosl5->/3sin15=2—cos15--sin15=2sin150--------,故D不正确；

、22J2

故选：ABC.

12.已知圆C:x2+y2-4y+a=0及点B(l,2).若在圆C上有且仅有一个点P,使

得+=则实数。的值为()

A.0B.3C.0或3D.-5或3

【答案】D

【分析】先求出点P所在的圆E：x2+(y_l)2=4,再由题得两圆相切，即得解.

【详解】解：由题得圆C:x2+(y-2)2=4-a,

设尸(X»),山I尸川2+|尸8|2=12可得点P在圆E:/+(y-l)2=4上，

由题可知E与圆C：*2+(y-2)2=4-a相切，

故4-。=1或9,

即a=3或-5.

故选：D

【点睛】本题主要考查动点轨迹方程的求法和两圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

X2,X<]

13.设函数f(x)=6=,，则/(〃-2))=__________.

x+——6,x>1

【答案】

【解析】先求出A-2),再求出的值即可

【详解】解:因为解-2)=(-2)2=4,

所以/(/(-2))=/(4)=4+[_6=-；,

故答案为：

【点睛】此题考查分段函数求值，求值时要注意自变量的取值范围，属于基础题.

14.已知产是抛物线C：V=4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交V轴于点N.若M

为FN的中点，则|/W|=.

【答案】3；

【分析】由题意得：尸(1，。)，又因为M为月V的中点，且点N在y轴上，设点M0,%),所

以点M为g,华)，又因为点“在抛物线上，代入抛物线便可得出以，进而求得FN=3.

【详解】解：根据题意画出图象，如下图所示：

因为尸是抛物线C：/二人的焦点，所以点尸坐标为尸(1,0).

设点N为N(0,)R),因为M为EV的中点，所以点M为(；,£),

因为点M在抛物线上，则（争2=4x3.则％=8.

故：FN=y/OF2+ON2=78+1=3-

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题目.

15.函数），=五一工（*20）的最大值为.

【答案】：##0.25

4

【分析】对给定函数求导，利用导数探讨单调性即可计算作答.

【详解】解：当x>0时，求导得：==令y'=0,得尤=1,

2y[x2Vx4

当o<x<!时，y>o,当时，y<o,函数丫=«_尢在[0，!）上单调递增，在（1,+8）

4444

上单调递减，

则当x时，y取得最大值，即％

所以函数y=4-x（xzo）的最大值为:.

故答案为：~

4

16.将数列｛%｝中的项排成下表：

。2。3

①。6。74。9

。10。12。13。14。15。16

已知各行的第一个数q,出必：4o，……构成数歹U也｝也=3且｛々｝的前〃项和S,,满足

S,m+5,一=25,+2（〃€*）且"22,从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等

差数列，且公差为同一个常数.若《3。=31,则第10行的所有项的和为.

【答案】532

【分析】根据S“所满足的条件，可求得数列｛"｝的通项公式；观察数列｛七｝的规律，找到43。

在表中的位置，结合他J的通项公式，可求得表中每一行的公差，继而可求第10行所有项

的和.

【详解】解：因为S“M+S11T=2S,,+2（〃eV）,所以S“M-S,=S“-S,I+2,即％=包+2,

即%-以=2,

数列他J的通项公式为々=3+2（〃-2）=2/1-1,wN"且九.2）；

观察表中各行规律可知，第〃行的最后一项是数列｛《J的第

1+3+5+…+2"-l=i----------1_="2项；

2

VII2=121，12?=144；

・•・&O在表中第12行第9列；

因为九=《22=2x12-1=23,且422+8"=/0，，公差d=l：

..•表中第10行的首项九=3=19,共有19项;

S第I。行=19x19+^x19x18x1=532；

故答案为：532.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。

17.（本题满分10）已知数列｛《,｝满足%=2%+2"-1（〃wN,,且心2）,2=81.

⑴求数列的前三项4，%;

⑵数列｛与为等差数列，求实数P的值；

⑶求数列｛《,｝的前〃项和S”.

,l+l

【答案】(1)4=5,a2—13,《3=33；(2)。=—1；(3)Sn=n(2+1).

【分析】

(1)利用己知条件，直接求得。3的值，然后求出4，%的值；

(2)通过数列(号"｝为等差数列，按照等差数列的定义，公差是常数，可求得P的值；

(3)利用(2),求出通项公式，然后通过乘公比错位相减法，即可求解数列｛4｝的前〃项

和s„.

【详解】解：⑴由4=2。,i+2"-1(nwN+，且”22)得

4=2〃3+24—1=81,得.=33

同理，得。2=n,4=5

⑵对于”eN,且“22,

♦•%+Pa„-i+P_-2«„-i1+P

■.———1

2"2〃-12"2"2"

又数列｛与为等差数列，

宇-竽旦是与〃无关的常数，

/.1+〃=0,

解得P=-l.

⑶山(2)知，等差数列｛与算｝的公差为1,

.•.祟=甘+(〃一1)=〃+1,

得q=(〃+l)-2"+l.

•*-S“=4+%+…+a„

=2x2+3x22+4x23+---+(n+l)x2,,+n,

记7；,=2x2+3x22+4x2'+…+(“+1)x2",

pliJW27；,=+2x22+3x23+4x24+...+/2x2,,+(«+l)x2),+l,

两式相减，得-7；=2x2+(22+23+...+2")-(〃+l>2向

4-2,,+,，

=4+-----------(«+1)-2,,+|

1-217

=-"-2"*’

+,

:.Tn=n-2"

故5,,=〃、2川+n=〃(21+1).

【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”,

此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础,

准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与

解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及

基本计算能力等.

18.(本题满分12)某学校组织的“一带一路''知识竞赛，有A,B两类问题，规定每位参赛

选手共需回答3道问题.现有两种方案供参赛选手任意选择.方案一：只选A类问题:方案二：

第一次A类问题，以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选A类问题，回答错误

则下一次选8类问题.A类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分：B类问题中的

每个问题回答正确得30分，否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为不，能正确回答8类问题的概率为彳，且能正确回答

问题的概率与回答次序无关.

（1）求小明采用方案一答题，得分不低于100分的概率：

（2）试问：小明选择何种方案参加比赛更加合理？并说明理由.

7

【答案】（1）点：（2）小明选择方案二参加比赛更加合理，理由见解析.

【分析】

（1）由题知得分不低于100分的情况为至少答对两道试题，进而根据二项分布的概率公式

求解即可；

（2）分别求解两种方案得分的概率分布列，求得分的期望，期望高的更合理.

【详解】解：（1）小明采用方案一答题，得分不低于100分的情况为至少答对两道试题，

所以其概率为P=C；[Jx|+（；J=,

（2）小明选择方案二参加比赛更加合理.理山如下：

若采用方案则其得分X的可能为取值为0,50,100,150,

p（x=o）=[2]=A,尸（X=5O）=C；[2]X-=—=-,P（X=IOO）=C：R]x-=—=-,

v

'，（3）27'）3279，（3）3279

3

P（X=150）=（l）=±.

所以X的概率分布列为

X050100150

8421

P

2799

所以X的数学期望为E（X）=50xt+100x：+150x,=a^q丑土丝=50；

若采用方案二，则其得分丫的可能为取值为0,30,50,80,100,150,

2112/.222212124

所以P(y=o)=—X—X—=——P(Y=30)=-x-x-+-x-x-=—

33327,7333333279

P(y=50)=lx|xl=A(P(r=80)=lx|x|+|x|xl=A,P(y=1OO)=lxlx|=A

P(y=150)=-xlxl=—

'733327

所以y的概率分布列为

Y0305080100150

242821

P

27927272727

ionQ9i145()

所以V的数学期望为石(Y)=30x药+50x药+80乂方+100乂药+150乂药=1^453.7,

因为矶y)＞矶x),

所以小明选择方案二参加比赛更加合理.

19.(本题满分12)在△A3C中，内角A,B,。所对的边分别为m4c,已知加in(A+C)=〃sin

C,且a=2c.

(1)求sinB；

(2)若△ABC的面积为4",求△ABC的周长.

【答案】(1)—；(2)12+4及.

4

【分析】

(1)由正弦定理，化简得y=qc,结合a=2c,在由余弦定理，即可求得COSB的值，之后

应用同角三角函数关系式，求得结果.

(2)由(1)知sinB=立，利用三角形的面积公式，可得c=4,进而得到三角形的周长.

4

【详解】解：

(1)因为加in(A+C)=〃sinC,所以h2=ac.

因为〃=2c,所以cosB='+c"/=1+02-ac4C2+C2-2C2_3

laclac4c24

因为。＜8＜支，所以sin8=Jbcos^B=J1-斗=」.

V164

（2）因为△ABC的面积为:acsin8=®/=4近，所以c=4.

24

因为。=2c,所以a=8.

因为b2=ac=32,所以〃=4及.

故△ABC的周长为。+6+。=8+4+4&=12+472.

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地

解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键，着重考查了分析问题和

解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题.

20.（本题满分12）如图，在三棱锥岁施潦中，酬平面豳勒，痴=第后，

春=,逊：=西=彖

（1）求证：餐_L平面魂◎；

（2）求二面角那-,般-髭的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）

署

【详解】解：（1）通过已知条件，可得嘉浮一息Eu,蕤浮，进而得到磐_1平面翘然；（2）

在平面署窈内作瑕JLW「髓，过蜃作津JLJ®丁•反,连接耀，则五‘辎鬻即为二面

角,部-路缄-猫的平面角，计算即可.

试题解析：（1）因为第1»面痣鹦，理,

JF：c面•所以第上座,

魏1.统

因为/朦=鼠厩，函=&，所以施：=署雷，

又因为鬻*=,皴2=营，所以邓=松也毅声，

故患1J谡

因为典：K翻=鲜，所以凿11平面,辎斛

（2）因为解_L平面＞«?,所以面^鹭1,平面盘CT

在面承窗内作，覆J■，郑于缪，则，覆J-平面寿窗.

过翳作解工..蠲于勰，连接馥，

则疝辎鬻即为二面角第-蠲-饿的平面角

JP.锄l

在虚勰感翦中，,潟=.-=通，

,统

在盛球就初中，燃=遗，

故fcm£般魏='邈=/.

僻

■HT'

从而二面角号-,缄-C的大小为二

考点：直线与平面垂直的判定；二面角的求解.

■72

21.（本题满分12）已知椭圆£+卓=1匕>0）的焦点是耳F2,且田国=2,离心

率为g-

（1）求椭圆。的方程；

（2）若过椭圆右焦点鸟的直线交椭圆于14,廨两点，求146M用的取值范围.

【答案】（1）二+反=1；⑵件,3].

【解析】（I）利用闺玛|=2,离心率为建立方程组，求出a,b,即可求椭圆C的方

程；（H）分类讨论，设出方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，求|得卜「瑞霸|的取

值范围

22

【详解】解：（I）因为椭圆的标准方程为二+与=1（“>6>0）,

CTh~

a2=/72+c2,

由题意知｛£=g,解得〃=2,b=J§\

2c=2

所以椭圆的标准方程为二+£=1.

43

33

（II）因为8（1,0）,当直线^的斜率不存在时，

则|A研旧理=',不符合题意.

当直线里的斜率存在时，直线看的方程可设为y=Mx-1）.

y=%(x-l),

由｛/丁消y得(3+4产)/-8/犬+4公-12=0(*).

——+—=I,

43

设/敏苏,0磔，魏码，"涉。，则碗、•和（是方程（*）的两个根,

8k24--12

所以々+电=中

3+4k22-3+4公

所以|=4_1)2+短=Jl+12,_i|,

所以怩B|=J*2-1))+以2=川+公|々-1|

所以|A&怩4=(1+F)|即^a+H+ll

4^2-12Sk2

=(l+%2)

3+4*飞+止+1

0on

2

=(1+^)--y=(l+&2)，_^=%+----?).

3+4«23+42243+4公

当4=0时，|A段惘/取最大值为3,

所以|A周怩同的取值范围《,3.

又当人不存在，即AB_Lx轴时，卜印花⑷取值为力

所以|4周惧国的取值范围》,3.

考点：椭