金榜预测卷01（解析版）-2023年高考数学金榜预测卷(天津卷)

2023年高考金榜预测卷（一）

数学（天津卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自

己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分.每小题给出的四个选项

只有一个符合题目要求.

1.集合A={x|/>4},8=何一5cx<1},则（6A）C8=（）

A.料-5cxe-2}B.1x|-2<x<2jC.|x|-2<x<l|D.|x|-2<x<l}

【答案】D

【详解】犬>4,则x>2或x<—2,则4={1x<-2或x>2},={乂-24x42},

B={x|-5<x<l},l）li］（^A）nB={x|-2<x<l},

故选：D.

2.“f>4”是“x>2”成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】解：因为x2>4解得x<—2或x>2,

所以“犬>4”是“x>2”成立的必要不充分条件，

故选：B

3.著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好,

隔离分家万事休”，如函数〃对=视骋的图像大致是（）

A.B.

【详解】由[曰>0,八得xwO,即函数定义域是{xIxxO},排除AB,

e-e#0

x>l时，ln|x|>0,ex-e-x>0.f(x)>0,Ovxvl时，ln|xj<0,er-ex>0,/(x)<0,

因此排除C,

故选：D.

4.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)，以[160,180),[180,200),[200,220),

【答案】B

【详解】在频率分布直方图中，各小矩形面积和为1,

即20x(0.002+0.0095+0.011+0.0125+X+0.005+0.0025)=1,

解得，x=0.0075.

故选：B.

1

5.已知aulogzG，b=20A,c=(g)3,则。，b,c的大小关系是()

A.b<a<cB.a<c<hC.a<h<cD.b<c<a

【答案】C

【详解】由题知，0=log21<log2y/3<log2>/4=1,

即：031,又b=2°4>2°=l,所以&>。；

04l56

...^=(2)=2=64,

15

b〈c,

所以：a<b<c.

故选：C.

6.已知乃)，sintz=|,贝!jtan(a+等于()

A.-B.7C.--D.-7

77

【答案】D

【详解】因为,且sina=|,所以cosau-Jl-sin%=-1,

sina3

所以tana-----=—

cosa4

3乃3/八

atana+tan——---1-(-1)

,,/加、44r

故tan(a+—)=-------------=------------=—7

4■371/5、/<、

1-tana-tan——1-(——)x(-1)

44

故选：D.

7

7.椭圆的中心为点风TO),它的一个焦点为厂(-3,0),相应于焦点尸的准线方程为、=-1,

则这个椭圆的方程是()

A.2^+空=]B,+J

213213

C.D.

【答案】D

【详解】因为椭圆中心为点灯一1,0),且一个焦点为网一3,0),

所以该椭圆为中心在坐标原点焦点在x轴上的椭圆向左平移一个单位后的椭圆,

设椭圆方程为色江+.=1，由题，。=-1一(-3)=2,

a2b1

72s

又因为准线方程为X=-；,所以幺=2,解得/=5,h2=a2-c2=\,

2c2

椭圆方程为：(”+1)=2=1.

5

故选：D.

8.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它

体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个

面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为1,则经过该多面

体的各个顶点的球的表面积为()

A.8兀B.4兀C.3兀D.2兀

【答案】B

【详解】将该多面体补形为正方体，则由OR=1,AO=AR,AO±AR,

所以由勾股定理得：AO=AR力,所以正方体的边长为】&?2近，

22

所以经过该多面体的各个顶点的球为正方体ABCD-E尸GH的棱切球，

所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为0xa=2，

故过该多面体的各个顶点的球的半径为1,球的表面积为4兀xF=4兀.

故选：B

9.已知函数/(x)=sinx(sinx+cosx)-；,给出以下四个命题:

①的最小正周期为兀；

②/(x)在上的值域为；

③“X)的图象关于点传，。)中心对称：

11-jr

④“X)的图象关于直线x=¥对称.

O

其中正确命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】/(x)=sinx-(sinx+cosx)--^

=s.inx-cosx+si.n^2x——1

2

对于①：因为T=宁=兀，所以/(x)周期为兀，即①正确;

对于②：因为峥，［所以"卜卜翥!

所以sin(2x-；_1_.

5万

则/(X)的值域为,即②错误;

对于③：因为一w0,

所以的图象不关于点［w，oj中心对称，即③错误;

5K_x/|

对于④：因为了T-V为/(X)的最大值,

所以f(x)的图象关于直线》=答对称，即④正确；

O

所以正确命题为①④，共2个正确命题.

故选：B.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线

上.)

10.已知复数z满足z（2-i）=i,则|5z-i|=,

【答案】应

【详解】由z（2-i）=i,得

ii（2+i）_-l+2i

所以|5z-i|=5xZ1121T++i卜④,

故答案为：立.

11.在(1-幻5(2犬+1)的展开式中，/项的系数为.

【答案】10

【详解】依题意，(1-X)5=1-5X+10X2-10X3+5X4-X5,因此(l-x)"2x+l)展开式中4项为

10X2-2%-10X31=10X3.

所以项的系数为10.

故答案为：10

12.已知直线/：x—y+3=0被圆。：(》-“)2+(丫-2)2=4(°>0)截得的弦长为2夜，贝心的

值为.

【答案】1

【详解】依题意可得圆心c(a,2),半径r=2.

」|。一2+3||。+1|

则圆心到直线的距离d="+(_])2=，

由勾股定理可知，d2+=产，代入化简可得|。+1|=2,

且。>0,解得a=\.

故答案为：1.

x2-2x+l,x>0

13.已知函数〃(%)=、l+x,函数g(x)=〃(l-x)-尔+加-:恰有三个不同的零点,

--「，兀，°4

ll-4x

则用的取值范围是.

【答案】[0,2-9Uk8+2加｝

化简，y=m（尤-1）+；,故y=对一"+；的必过点（1,；）,

g（x）=〃（i-幻-g+m-。恰有三个不同的零点，即为〃（1-％）=咫-〃2+，有一个不同的实根，

44

作出y=〃。一幻和y=g-机+!的图像，

4

直线y=〃优一相+,与曲线y=x“x＜l）相切时，Wx2-mx+/n--=O,由△=（）,可得

44

"一4帆+1=0,解得机=2-6或加=2+百，乂由尤＜1,得/=加一］＜1,故加=2+石（舍

4

去），

12-x

当丁=如一加+：与曲线y=^---^（XN1）相切时'两图像恰有三个交点，令

44x-3

］2-x-

iwc-m+-=--一一此时，解得旭=-8+2行，

44x-3

结合图像可得，0＜加工2-6或机=一8+2后

故答案为：［O,2-G）U卜8+2岳｝

14.有编号分别为1,2,3的3个红球和3个黑球，从中取出2个，则取出的编号互不相同

的概率为;在取出球的编号互不相同的条件下，1号红球被取到的概率为.

41

【答案】-##0.8-

【详解】解：从编号分别为1,2,3的3个红球和3个黑球，随机取出2个的取法C：=15,

2个球编号相同的取法C；C；=3,则球的编号互不相同的取法15-3=12,

所以取出的球的编号互不相同的概率/?=£=，

因为球的编号互不相同的取法有15-3=12种,

其中1号红球取到的情况有C；=4种，

41

所以在取出球的编号互不相同的条件下，1号红球被取到的概率

故答案为：—!g

15.在“BC中，AB=4,AC=3,NB4C=90°,点。在线段BC上(点。不与端点B,C重

合)，延长AO到P,使得AP=9,PA=mPB+PC(m为常数)，

(i)^PA=APD<则九=;

(ii)线段CD的长度为.

如图，以A为坐标原点建系如图，则8(4,0),C(0,3),

所以南=(4,0),(0,3)

由刀="?而+■一近得刀=〃1(/4+.月)+1|一m)(刀+.右)，

整理得PA=-2mAB+(2m-3)AC=(-&*,())+(0,6m-9)=(-8m,6m-9),

27

由AP=9得64M+(6m-9)2=81解得/n=石或/n=0,

3__3

当机=0时，PA=-PC,此时RC重合，由⑸=24可得/=此时8=0,

因为点。不与端点8,C重合，

所以C3=0不满足题意，舍去，

当相=三时，丽=(-",一笑)，A4的直线方程为^=二*，

8c的宜线方程为A台1,

72

--

土+2=1x=25722

所

43以

联立解得，212-5-2-

7--

y=­x25

：24

—14442

所以昨（争.）

若丽=2而，则假一募解得4=5,

此时正假"可小

Q1Q

故答案为：!；y.

三、解答题：（本大题5个题，共75分）

16.在“WC中，角AB，C所对的边分别为〃也c.已知a=3且加，+芋。2,coSiA——.

sinn14

⑴求。的值；

（2）求sinB的值；

⑶求sin（2A-1）的值.

【答案】(l)c=7⑵38(3)-迪

1449

sinA+sinC

【详解】（1）由=2边化角可得半=2,

sinBb

又因为a=3,所以c=2/7-3,

13

又因为a?=。2+c?-2/?c'cosA得力2+c2——be=9,

13

将c=2人一3代入户+。2—亍8。=9,整理得5必=0,

8=5或人=0（舍），所以c=7.

（2）由（1）得得b=5,c=7,且〃*=/+/-2accos5,

a2+c2-b29+49-2511

则cosB=

2ac2x3x7b4

所以sin3=A/1-COS2B=

14

(3)由余弦定理c2=a2+b2-labcosC,

9+25-49

得cosC=

2ab302

因为Cc(0,乃)，所以C二k，

又因为cosA=,所以sin4=Vl-cos2A=主8,

1414

二厂八1cAc.4Ac3-\/31339\[3

助以sin2A—2sinA.cosA=2x---x——-----,

141498

cos2A=2cos2A-l=2x--1=—

19698

所以sin(2A-9=sin(2A-714」sin2A-^cos2A

2322

1390百7186

=—x----------------x——=---------

29829849

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD〃BC,ADLDC,BC=CD=LAD=2,

E为棱4Q的

2

中点，A4_L平面A3CD.

⑴证明：AB〃平面PCE

(2)求证：平面平面尸8。

⑶若二面角尸-CD-A的大小为45。，求直线AO与平面尸8£)所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

⑶立

2

【详解】⑴VBC//AE且BC=AE,.,.四边形BCEA为平行四边形，

/.AB//EC,又A8＜Z平面尸CE,ECu平面尸CE,

所以A8〃平面PCE.

(2)：PA_L平面ABC。，3Du平面ABCD,.•.以J_8£＞，

连接BE,•.•BCV/DE且BC=DE,...四边形3CDE为平行四边形，

VDEJ.CD,BC=CD=2,二平行四边形88E为正方形，；.BDLEC,

又ABHEC,：.BDJ.AB,

又PAnAB=A,尸448匚面9，,比＞人面印，

BDu面尸8。，,平面PAB±平面PBD.

(3)；PA，平面A3C£>,C£>u平面ABC。，APA1CD,

又C£>_LA£),PAr>AD=A,PAA。u平面尸AZ),，CD_L平面PAD,

因为PDu平面PAO,CD_LA。，

，NPD4为二面角P—CD—A的平面角，从而/PD4=45。，所以A4=AO=4,

作A〃_LP3于M,连接例£>,

;平面尸AB_L平面PB£),A"u平面抬8，平面抬8c平面P8£>=PB，

AW1面尸蛆，所以N4W为直线A£)与平面所成角，

PAAB4x2

在直角A/VIB中，AB=CE=2叵,PA=4,PB=2娓,AM^-=^

PB2#3

因为402面尸8。，DMu而PBD,所以AA7J_DM，

在直角AAW£>中，AD=4.AM=—,DM=-JAD2-AM2=—.

33

/.tanZADM=—,

2

则直线AO与平面汽股所成角的正切值为旦.

2

18.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且既=45,%+34=4().数列低｝的前〃项和为［,

满足37；+1=4”.

⑴求数列｛4｝、他｝的通项公式；

⑵若%='(网「2),求数列｛%｝的前〃项和R.

⑶设4,=%求证：之屈<8-等工

°nk=\2

【答案】⑴)”=2般+3,bn=4"-'

⑵(=[+4〃

2〃+5

(3)证明见解析

【详解】（1）因为数列｛4｝是等差数列，设公差为d,

5x4

54+——d=454+2d=94=5

由S=45,%+3%=40得，'2，即2q+5“=2。’解得

5cl=2

%+d+3q+9d=40

所以%=q+(〃-l)d=5+2(〃-1)=2〃+3,

由37；+1=4々得羽+1=他,得4=1,

当"22时，31I+1=4〃I，

所以3方+1-3%-1=45-4如,

所以3"=地一地…即b“=4%(〃22),

又2=1/0,所以3=4(“N2),

所以数列出」是首项为1，公比为4的等比数列，所以4=4"，

综上所述：数列｛4｝、｛2｝的通项公式分别是：。“=2〃+3,%=4"T.

(2)由(1)知，a“=2〃+3,b„=4"-'

犷以c=2(3q-2)=4"T(6〃+7)=(_4"]

，r

C"-an-a,^-(2"+3)(2〃+5)一(2〃+32n+5)'

(40444242434〃

所以R=C,++…+C”=-----------H--------------1---------------1-•••+-----------------------

(57799112”+32n+5

一L上」+上

(52n+5)52〃+5

(3)由⑴知，5“=5〃+当22=/+4〃,

,S„rv+4〃

所以4r

______,+4

所以加=产+4〃=而膜©2-二詈，

VnM4"-12"-12"一।2

n+2

所以+

+…+4^++…+2"一1

1+22+23+2〃+2

则一M=——+——+—「+・.・+----,

22,22232"

..1»111n+2

所rri以>1““一”“=o3+万+合+…+万p--—,

所以+”彳T)―华=3+1--,

2.1T2'i2"

\----

2

所以此=8母一景=8一界

所以力曰＜8-墨.

k=l乙

19.己知椭圆C:1+A=l(a＞6＞。)的离心率0=正，短轴长为2&，椭圆C的左焦点为

a2b22

F,右顶点为A,点B在椭圆位于x轴上方的部分，

(1)求椭圆C的方程；

⑵若直线A8的斜率为-2,求弦45的长度；

(3)若直线AB与轴交于点。，点E是丫轴上一点，且满足EFJLOF,直线AE与椭圆C交

于点G.是否存在直线A8,使得AABG的面积为2,若存在，求出直线A8的斜率，若不存

在，说明理由.

【答案】⑴《+其=1

42

⑵半

(3)存在直线A8,使得AABG的面积为2,此时直线48的斜率4=分也

C_5/2

~a~^2

【详解】（1）由题意可得助=2&

a~2=b,0~+c2

a=2

解得"=&,

c=V2

22

所以椭圆C的方程为三+汇=1；

42

(2)由(1)可知A(2,0),尸卜血,0),设6(4,乙)，直线A3的方程为了=々(工一2)化＜0),

^_.£=1

由,42得（1+2公卜2-8/x+8公一4=0,

y=k（x-2）

_8£-48k2

所以X*・XpX+X

-1+2公AB1+2/

i、2

弘28A:2-4

所以|AB|=J1+上-旬=Jl+公-4x

\+2k\l+2k2

（3）由（2）可知/.4=告?4k2-2

,即4=

1+2/

-4k4人2-2-4k

所以…［言即8

H=1+2公1+2下’1+2人2

直线A8的方程为、=%（万一2）（々＜0）,令x=0,解得y=-2k,即0（0,-2k）,

设E（0,%）,由题意有丽.丽=［夜,-%）•卜虚,2k）=2-2⑥£=0,

解得衣弓,即40,司,

Y

进而可得直线AE的方程为］+6=1,

\x2y2,

42

由，得（1+2公）/-40=（）,

N），=1

解得先=蒜4k’进而2-4％&2即G2-4公4k

1十乙K1+Z.K、1+2/'1+2户'

4A、2-4k"2-4〃44、

因为8，G

1+2于'l+2%）1+2r'1+2%2,

所以反G关于原点对称，故直线3G过原点,

所以心.=4°4|瓦-以=32*-4k4k

l+2k2\+2k2黑二/（9,

当巢,=y^y=2（A：＜0）时，即2内+4%+1=0代＜0）,

解得左=山叵=土逑=—,

442

所以存在直线A3,使得的面积为2,此时直线43的斜率&=多走