二章晶体衍射倒格子

第二晶体衍第二晶体衍射和倒格§2.1晶体衍§2.2§2.3布里渊§2.4§2.5原子散射因§2.6几何结构因晶体衍晶体的晶体衍晶体的特点是其内部原子的周期性排每组晶面族可以作为波的衍射光栅，因此，选择适当波长的波入射到晶体上就通过对不同方向衍射现象的分析，就可以了解晶体内部原子的排列情况，为晶体由量子力学可知，微观粒子具有波动性，然而，并非任何粒子束入射到晶体上都会产生衍射现象，例如，当波长为（500埃）的光子入射到晶体上只会产生通常的光的折射现象，而不会产生光的干涉现象（即衍射）晶体中的原子间距在0.1nm晶体中的原子间距在0.1nm图中给出了X-射线光子、电子和中子的波长与能量的关系，可以看到，这三种粒子束的波长都满足同晶格常数相当或小于晶格常数的判X-1895年伦琴发现X-1912年劳厄意识到其波长在量级，与晶体中的原子间距相当，因此，晶体必可成为X线的衍射光栅，随后布拉格用X射线证实NaCl等晶体具有X-射线是由被高电压V上而产生的一种电磁波，这样产生的X-射线X-1895年伦琴发现X-1912年劳厄意识到其波长在量级，与晶体中的原子间距相当，因此，晶体必可成为X线的衍射光栅，随后布拉格用X射线证实NaCl等晶体具有X-射线是由被高电压V上而产生的一种电磁波，这样产生的X-射线，最大的光子ch(V:V,V104V,:~V实验上多采用40千伏，所产生的最短波长为直到今天，X射线衍射（XRD）仍为确定晶体结构的重要工具，但由于X电电子衍射是以电子束直接打在晶体上而形成的，电子束的德布罗意波的波长=hp，利用2=V，电电子衍射是以电子束直接打在晶体上而形成的，电子束的德布罗意波的波长=hp，利用2=V，V是电子的加速电压，因此h(V:V,:V可见150V即可产生波长为0.1nm可方便地通过加速电压调整，因此，电子的波长可随意调节，增加了探测的自由度，在许多用X射线探测无能为力的方面恰恰是电子衍射的用武之地，最典型的例子是，准晶的发现就是借助电子衍射而获知的，同时，电子衍射，特中中子质量约为中中子质量约为电子质量的2000倍，如果能量和电子束一样，则中子波长约为电子波长的1/2000，因此，对中子束，只需中子没有电荷但有磁矩，与晶体中电子自旋的相互作用，使得中子衍射成为探测晶体磁有序结构的独特的手段图是根据中子衍射推断出MnO晶体的晶体结构及其Mn2+离子MnONaClMn2+可看成由(111)密排面叠成同一(111）面内各离子的磁矩是平行的，而相邻（111）面。§2.1.2度大得多，因此，将入射波和衍射波均可看成平面波，其传播方向分别用单位矢量和表示，取格点为原点，晶格中任一格点A Rl(SS0§2.1.2度大得多，因此，将入射波和衍射波均可看成平面波，其传播方向分别用单位矢量和表示，取格点为原点，晶格中任一格点A Rl(SS0从图中看出，光程差为GGGSGGk和，GG由上面分析可知，在k方向上，两个原G产生的散射波的相2光程差RGkk0l因此，k方向上散射波的幅度应当为来自两个原子散射波的G G由上面分析可知，在k方向上，两个原G产生的散射波的相2光程差RGkk0l因此，k方向上散射波的幅度应当为来自两个原子散射波的G GA(k)ei(kk00A其中i为第iG GN献，则k方向散射波的幅度A(k)ei(kk0jj由此可得GG2A(kAI(k) ei(kk0)(RjRj'R jlkj,j'倒格表明：一个倒格表明：一个期性，若ΓGGGa1、a2、GGGV(r)V(KiKmm倒格子的定K、、，1K312由这组基矢构成的格子称为对应于以aK 1为基矢的正格子的倒易格子(K倒格子、、倒格子倒格子的定K、、，1K312由这组基矢构成的格子称为对应于以aK 1为基矢的正格子的倒易格子(K倒格子、、倒格子基KK子矢量（又称倒格矢）Khh1b1h2b2倒格子与正格子间的关1、正、i,倒格子与正格子间的关1、正、i,j1,作为习题验2、倒格KK作为习题验3、正格的晶面和倒格正GGK其中Khh1b1h2b2倒格矢Kh是晶面ABC晶面是晶面证GGKGGJGCA3hbhbhKG1 3、正格的晶面和倒格正GGK其中Khh1b1h2b2倒格矢Kh是晶面ABC晶面是晶面证GGKGGJGCA3hbhbhKG1 hh21jGGiGGGGKhbhb)(CA(h)1 hhKhh13GGG12Gaa1hb3hbh h113KCBKhh12所以晶面与和倒格正K4Khh12证ABC晶面是晶面这族晶就等于原点到ABC面由前面证明可知，倒格面的法线方GGGKaK4Khh12证ABC晶面是晶面这族晶就等于原点到ABC面由前面证明可知，倒格面的法线方GGGKai(hbhbhbhhK 1 12hihK11∵Khh12aibj2G5、正格矢RlhGGGRKlRlKh (G5、正格矢RlhGGGRKlRlKh (KGGGKKGGGGGG证GlGGlGihblG 2(l1h1l2h2l3h3(推hl布里渊在倒格子中，以某一倒格点为原点，作所有倒格矢G平分面，这些平面把倒易空间分割成许多包围原点的多面体，其中离原点最近的多面体称为第一布里渊区，离原点次近的多面体与第一布里渊区的表面所围成的区域称为第二布里渊区，以此类推，可得到布里渊在倒格子中，以某一倒格点为原点，作所有倒格矢G平分面，这些平面把倒易空间分割成许多包围原点的多面体，其中离原点最近的多面体称为第一布里渊区，离原点次近的多面体与第一布里渊区的表面所围成的区域称为第二布里渊区，以此类推，可得到第三、第四等各布里渊区KK1）K2bi倒格子基a2）二正方KKKKKK22ijaaaGGGGGaKhh1b1(h1和h2为整数(h1ih2j2）二正方KKKKKK22ijaaaGGGGGaKhh1b1(h1和h2为整数(h1ih2jKKKb1,b1,b2,kxak区域就是所谓的简约(b1aKKKb1,b1,b2,kxak区域就是所谓的简约(b1aKK远的4KK(b1b2),(b1b2KKKKb2同第I布里渊区边界线围成的区域称为第II(2aKK远的4KK(b1b2),(b1b2KKKKb2同第I布里渊区边界线围成的区域称为第II(2a由4KKKb2b112同第Ｉ区的边界线和第二II区的边界线围成第(2aIII区由4KKKb2b112同第Ｉ区的边界线和第二II区的边界线围成第(2aIII区—当的平—当的平移之2）2）——每个布——每个布重 G GaGaa (ijk) (ijk)a1 (ijk)GGGGGGGba G GaGaa (ijk) (ijk)a1 (ijk)GGGGGGGba aab3(ijb2(ik(jk12(1,1,2(1,1,2(1,1,2(1,1,aaaa2(1,2(1,0,2(1,2(1,0,aaaa22(0,1,2(0,2(0,1,aaaa12垂直围成菱形十二面体，其体积正好是倒格子原胞H12垂直围成菱形十二面体，其体积正好是倒格子原胞H[100]方向记作a：[110]方向记作Σ：N 2 [111]方向记作Λ：P3 2-i+jkajk11a2 k+ia2-i+jkajk11a2 k+iai-j+k222a2ij-kaij332a22(1,1,2(1,2aaaa2(1,1,2(1,1,2(1,1,a(1,aaa8个最近垂面围成一个正八面体第一布里渊8个最近垂面围成一个正八面体第一布里渊[100]方向记作：a[110]方向记作Σ：K 2 [111]方向记作Λ：L3 布拉格反衍射方程倒格子空间中的表GRl(布拉格反衍射方程倒格子空间中的表GRl(kk0)2KKh2，则Kh必为倒G(kk0GG(kk0kk0（n为整数GGGRl(kk0)2GG这两个方程是等价的，后其意义是，当衍射波矢和入射波矢相差一个或几个倒格kk0其中n称为衍射级数，(hhh 1nh2nh3)称为是面指数，而衍射面指布拉格反GGGkk0衍射加强条件（倒格子空间布拉格反GGGkk0衍射加强条件（倒格子空间sin2dhh布拉格反12dhh 为面指数为（hhh）的晶面族的面间距，n为衍射级 12GkGkGk0hGGGkGkGk0hGG∵此，nKh的垂直平分线，即图中的该虚线既然垂直于nKh，就必然代表着晶面的因此，可认为k是k0经过晶面（h1h2h3）的反射而成的，衍极大的方向恰是晶面族的反射方向，故衍射加强得条件就可转化为晶面的反射条件GkGkG1 G4sin2dhhGGkGkG1 G4sin2dhhG12dhh12布拉格反sin2dhh12倒格子空GGkk0原子散射因原子散射因由于原子的线度和被散射的波的波长具有相同的量级，因此，原子内部各部分电子云对波的散射波之间有着位相差，在求原子的散射振幅时，应当考虑各部分电子云的散射波之间的相互干原子散射因子定义为：整个原子对入射波的散射振幅与如以原子核为原点，则位于原子中任意一点r处的位于原子中心的电子对波矢为k的散射波的位相差G(kk0)假设（r）d是电子在r处附近体积 GG Gf(k)假设（r）d是电子在r处附近体积 GG Gf(k)(r)ei(kk0)rsinkG如果电子的分布函数是f(k)0UGGk其中U(r)=4r2(r)为径向分布函数,U(r)dr表示电子在半径r和原子散射因子和散射的向有关，在特殊情况下即当近似沿入射方向GGGsinkf(0)U(r)drGk=Gk量子力学中由哈特里自洽场方法可以计算出电子的分布函数，代入上述公式可计算出原子散射因子f，同实验确定的f比较可几何结构因几何结构因从结构分析角度，对布拉菲格子，如果只要求反映周期性，则原胞中只包含一个原子，因此，确定了基矢，也就决定了原胞的几何结但对包含两个或两个以上原子的原胞，不仅要确定基矢，而且复式格子是由两个以上的布拉菲格子套构而成的，这些布拉菲格子具有相同的周期性，如果其中一个布拉菲格子在某方向上满足布拉格反射条件，即出现衍射极大，则其它布拉菲格子也不同布拉菲格子同一方向上的衍射极大，又将产生相互干涉，总的衍射强度取决于所考虑的晶面族中分属于各布拉菲格子的晶面间的相对位移，以及这些晶面反射线的相对强弱，因此，总的衍射强度取决于原胞中原子的相对位置和原子的散射因子，为此，引入几何结构因子的概原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子很明显，几何结构因子，不仅同原胞内原子的散射因子有关，而且依赖于原胞内原子的排列情况，同时其数值也与所考虑的方向有(j1,2...n)设原胞内含有n则位于位矢为RjG原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子很明显，几何结构因子，不仅同原胞内原子的散射因子有关，而且依赖于原胞内原子的排列情况，同时其数值也与所考虑的方向有(j1,2...n)设原胞内含有n则位于位矢为RjG(kjjGGGni(kkRF(kf0jj其中fj表示原胞中第j结晶学选取的原胞不仅要反映出周期性，还要反映出特殊的对对结晶学原胞，即使对布拉菲格子，一个原胞内也会包含两个以至更多的原子，在整个晶体中，各原胞中的相应原子都各自组成一个格子，这些格子具有相同的周期对于晶面族（hkl）sinGGkk0结晶学选取的原胞不仅要反映出周期性，还要反映出特殊的对对结晶学原胞，即使对布拉菲格子，一个原胞内也会包含两个以至更多的原子，在整个晶体中，各原胞中的相应原子都各自组成一个格子，这些格子具有相同的周期对于晶面族（hkl）sinGGkk0 ninKR f jGGGGGKGRjuja1vwja3aibj2Khh1b1h2b2利其中uj、vj和wj代表原胞中原子nj2ni(hukv)Ffjjjjnj2ni(hukvlwFfjjjj2衍射强度 正比于 的平方，IF2 nj2ni(hukvlwFfjjjj2衍射强度 正比于 的平方，IF2 FIFnfcos2n(hujlwjjnfsin2n(hujkvjlwjj因此，如果已知原子散射因子j，就可由实验确定的衍射强度推测出原胞中的原子排列反之，如果已知原胞中的原子排列，也可推测出衍射实实例分nnfjcos2n(hujkvjlwj实例分nnfjcos2n(hujkvjlwjfsin2n(hujkvjlwjjj1、体心(1,1,1 对于元素体心晶体，晶体由一种原子组成，fj皆相因此，晶面族（hkl）f21cosn(hkl)2f2sin2n(hkI042nnfjcos2n(hujkvjlwjfsin2nnfjcos2n(hujkvjlwjfsin2lwjjj2、面心(1,1, 11(0,1,1 , 22对于元素体心晶体，晶面族（hkl）的衍射强度f21cosn(hk)cosn(hl)cosn(kIf2[sinn(hk)sinn(hl)sinn(k042图分别是在KCl图分别是在KCl和KBr粉末样品中得到对KBr，可以看到，衍射峰对应的面指数全为偶或全为奇，而没有出现面指数中部分为偶或部分为奇