高一数学寒假讲义（新人教A专用）【预习】第11讲 复数的四则运算（教师卷）

第11讲复数的四则运算【学习目标】1、掌握复数集中的运算问题．【考点目录】考点一：复数的加减运算考点二：复数的乘除运算考点三：复数代数形式的四则运算考点四：复数方程考点五：复数的几何意义【基础知识】知识点一、复数的加减运算1、复数的加法、减法运算法则：设，（），我们规定：知识点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式．2、复数的加法运算律：交换律：z1+z2=z2+z1结合律：：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）知识点二、复数的加减运算的几何意义1、复数的表示形式：代数形式：（）几何表示：①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数．知识点诠释：复数复平面内的点平面向量2、复数加、减法的几何意义：如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量．设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=（a，b），=（c，d）以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，由于，所以和的和就是与复数（a+c）+（b+d）i对应的向量知识点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理知识点三、复数的乘除运算1、乘法运算法则：设，（），我们规定：知识点诠释：（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式．2、乘法运算律：（1）交换律：（2）结合律：（3）分配律：【考点剖析】考点一：复数的加减运算例1．（2023·黑龙江·大庆中学高三期中（理））设，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，则，所以，，解得，因此，.故选：C.例2．（2023·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）若复数，，，则___________.【答案】【解析】解：由题意得，则，故答案为：.考点二：复数的乘除运算例3．（2023·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨设复数，则有：则有：故有：解得：故选：B考点三：复数代数形式的四则运算例4．（2023·云南·高三期中（理））已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由，得，所以虚部为.故选：A．例5．（2023·新疆·一模（文））已知复数，则（）A． B． C． D．2【答案】C【解析】∵，∴.故选：C例6．（2023·福建龙岩·高三期中）已知复数满足，，则正数（）A．-2 B．-1 C．4 D．2【答案】C【解析】因为，所以，又因为，所以，解得正数．故选：C考点四：复数方程例7．（2023·江苏·扬州中学高二期中）已知是复数，和都是实数.（1）求复数；（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.【解析】（1）设，，所以，，，所以，，所以；（2）设，又，，所以，解得．所以．例8．（2023·福建·泉州五中高一期中）已知复数是方程的一个解.（1）求、的值；（2）若复数满足，求的最小值.【解析】（1）依题意得，，即，所以，解得，；（2）由（1）可得，设，则，，因为，所以，整理得.，故当时，取得最小值.考点五：复数的几何意义例9．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：（1）向量对应的复数；（2）向量对应的复数；（3）向量对应的复数．【解析】（1）因为，所以向量对应的复数为－3－2i；（2）因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；（3）因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i．例10．（2023·全国·高一课时练习）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数.【解析】因为,分别表示复数,,所以表示的复数为,即点表示的复数为,又,所以表示的复数为,即点表示的复数为【真题演练】1．（2023·北京·高考真题）若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【解析】由题意有，故．故选：B．2．（2023·全国·高考真题（理））若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故选：C3．（2023·全国·高考真题）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故选：D.4．（2023·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由题设有，故，故，故选：D5．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得：.故选：D.6．（2023·全国·高考真题（理））设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，则，所以，，解得，因此，.故选：C.7．（2023·全国·高考真题（文））已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，.故选：B.8．（2023·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，故，故故选：C.9．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．【答案】【解析】．故答案为：．10．（2023·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．【答案】【解析】.故答案为：.【过关检测】一、单选题1．（2023·上海市第三女子中学高一期末）下列命题中，真命题的个数是（

）（1）若复数、，且，则或（2）若复数、，且，则．（3）若复数，则．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】设、，且，，，均为实数.对于（1），，则有，则有或，所以、中至少有一个为，（1）正确；对于（2），若，，此时，但此时，故（2）错误；对于（3），若，则，而，此时，（3）错误.故选：B2．（2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一期末）方程有一个根为，求的值为（

）A．5 B．3 C．4 D．2【答案】A【解析】由可得，.故选：A3．（2023·上海市向明中学高一期末）设是虚数单位，则的值为（

）A． B． C． D．0【答案】B【解析】，的取值周期为4，连续4项的和为0，所以，故选:B.4．（2023·河南·高一期末）已知复数z满足，则（

）A． B． C．2 D．5【答案】B【解析】由题意，复数z满足，则故选:B．5．（2023·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】复数满足，，在复平面内所对应的点位于第四象限．故选：D．6．（2023·浙江·永嘉中学高一竞赛）已知复数（其中为虚数单位），的共轭复数为，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】复数，有，，所以A正确；，所以B正确；，所以C正确；，所以D错误.故选：D7．（2023·上海市香山中学高一期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】因为方程有两个虚根和，所以，则，又由求根公式知两虚根为，，所以，则，解得，满足要求，所以.故选：C.8．（2023·上海市七宝中学高一期末）非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（

）A．、、三点共线 B．是直角三角形C．是等边三角形 D．以上都不对【答案】B【解析】设，则，故，因为，所以，所以，所以或，故或，当时，，当时，，所以，所以是直角三角形，故、、三点不共线且不是等边三角形.故选：B.二、多选题9．（2023·黑龙江·哈师大青冈实验中学高一期末）已知复数，则（

）A．z的实部是 B．z的虚部是C．z的共轭复数为 D．【答案】ACD【解析】∵，则有：z的实部是，A正确；z的虚部是，B错误；z的共轭复数为，C正确；，D正确；故选：ACD.10．（2023·河南·商水县实验高级中学高一阶段练习）已知i为虚数单位，以下四种说法中正确的是（

）A．是纯虚数 B．若，则复平面内对应的点位于第四象限C．若，则 D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线【答案】CD【解析】是实数，故A错误；因为，所以，所以复平面内对应的点位于第三象限，故B错误，若，则，故，故C正确，令，则，所以，化简得，所以，所以z在复平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确，故选：CD11．（2023·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）设z为复数，则下列命题中正确的是（

）A．z2＝|z|2 B．C．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2 D．若，则z是纯虚数【答案】BC【解析】可设，对于A，由，，则，故A错误；对于B，由，则，故B正确；对于C，，则，，易知当时，取得最大值，故C正确；对于D，，但当时，，故D错误.故选：BC.12．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）已知复数，满足，，则（

）A． B．C． D．在复面内对应的点位于第一象限【答案】ACD【解析】由题意得，所以.对于A，，故A正确；对于B，，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D，，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.故选：ACD.三、填空题13．（2023·上海市朱家角中学高一期末）若复数满足（为虚数单位），则______．【答案】【解析】由，，则，故答案为：.14．（2023·上海市浦东中学高一期末）下列说法中正确的个数是__．（1）；（2）若一个复数是纯虚数，则其实部不存在；（3）虚轴上的点表示的数都是纯虚数；（4）设（为虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模长为2；（5）若，则对应的点在复平面内的第四象限．【答案】1【解析】当复数不是实数时，不能比较大小，与为虚数，不能比较大小，故(1)错误；若一个复数是纯虚数，则其实部为0，并非不存在，故(2)错误；虚轴上的点表示的数并非都是纯虚数，虚轴上原点表示的数是实数，故(3)错误；，复数，在复平面内对应的向量的模长为2，故（4）正确；若，则在复平面内对应的点为（1,1），在复平面内的第一象限．故（5）错误．正确的只有1个.故答案为：1．15．（2023·上海市第三女子中学高一期末）若复数和复数满足，则_____．【答案】【解析】设，且，则，又，所以，也即，则，因为，所以故答案为：.16．（2023·浙江·高一期中）已知，关于x的一元二次方程的一个根z是纯虚数，则________．【答案】【解析】设，则，因为，故，解得，故，故，故答案为：四、解答题17．（2023·上海市第三女子中学高一期末）关于的方程（）的两个根为，．(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．【解析】（1）由得方程有一对共轭复数根，所以，所以，所以.（2）①当，即时，方程有两实数根，所以，，则，解得；②当，即时，方程有两虚数根，即，不妨设，；则解得；综上：实数的值为或．18．（2023·上海市朱家角中学高一期末）已知关于的一元二次方程的两根为、．(1)若为虚数，求的取值范围；(2)若，求的值．【解析】（1）因为为虚数，所以，即.（2）因为，所以，，①当时，，则；②当时，，则；综上，的值为或．19．（2023·上海市金山中学高一期末）已知复数为虚数单位．(1)若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值；(2)若为实数，求的值．【解析】（1）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，所以，所以，所以或；（2）由题意得为实数，所以，所以．20．（2023·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高一期末）设、为实数，关于的方程有四个互不相同的根，它们在复平面上对应四个不同的点.(1)当时，求方程在复数集上的解集，并求对应四点围成图形的面积；(2)若对应的四个点构成正方形，求实数、的值.【解析】（1）当时，方程为，解得其在复平面对应的点的坐标分别为：，如图四点围成的图形为等腰梯形面积为（2）若对应的四个点构成正方形