华师一附中2024届高三《导数的应用-零点问题小题》补充作业8 答案

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页华师一高三数学补充作业8（零点问题小题）参考答案：1．A【分析】令整理可得，即函数与直线有两个交点，结合导数的几何意义运算求解．【详解】函数的定义域为，令，则即函数与直线有两个交点∵，令，则∴在上单调递增，在上单调递减设与的切点坐标为，切点斜率则有，消去得：显然在上单调递增，且当时，则若函数与直线有两个交点，则故选：A．【点睛】2．D【分析】令，则，令，说明这两个函数的图象都关于对称，做出函数图像，结合函数图象即可得出答案.【详解】解：，令，则，令，因为，，所以函数得图象关于对称，因为，所以函数在上递增，令，则，所以函数在上递增，所以函数在上增长得速度越来越快，，，如图，作出函数的图象，由图可知，函数的图象有三个交点，设这三个交点依次为，则，所以函数有三个交点，且，即函数的所有零点之和为3.故选：D.3．D【分析】由已知方程有三个不同的根，即方程或有三个不同根，利用导数分析函数与的性质，由此确定实数a的范围.【详解】由，得，即．令，则，令可得，当时，，当时，，∴

在单调递增，在单调递减，所以，即仅有唯一的解．依题意，方程有两个不同的解，即与有两个不同的交点，令，则，易得在单调递增，在单调速减，，画出的草图观察图象可得，故选：D．4．D【分析】根据题意可得：有三解，令，由的图像可得故最多只有两个解，所以有两解，，有一解为，有两解为，代入即可得解.【详解】由，即有三解，令，设，，当，为增函数，当，为减函数，图像如图所示：故最多只有两个解，若要有三解，则有两解，，，故有一解为，有两解为，，故选：D5．C【分析】利用导数判断出函数在上递增，转化为存在，使得有两个相异实根，作出函数的图象，结合图象有，设，再利用导数可得答案.【详解】由于，故函数在上递增，又有两个相异实根，所以存在，使得有两个相异实根，作出函数的图象，如图所示：由图以及题意可知，，由，解得，，即有，设，，可得，所以在上单调递增，．故选：C.6．A【分析】由图象与轴有3个不同的交点，转化为与有三个交点，画出二者函数图象，求出与恰由两个交点的临界直线的斜率,即可求的取值范围.【详解】图象与轴有3个不同的交点，与有三个交点,作出二者函数图象如下图，易知直线恒过定点,斜率为，当直线与相切时是一种临界状态,设此时切点的坐标为，则,解得，所以，当直线过点时,，综上所述:.故选:A.【点睛】方法点睛：本题考查了分段函数图像的画法，考查了函数的零点，一般地，对于函数零点问题，若解析式可化为的形式，则的零点个数和函数与的交点个数相同，找到满足条件的临界状态是这种题型的难点.7．A【分析】设切点为，再根据导数的几何意义结合两点间的斜率公式可得有3个解，构造函数，求导分析单调性与极值可得的取值范围.【详解】，设经过点且与曲线相切的切点为，则.又切线经过，故由题意有3个解.化简有，即有3个解.设，则，令有或，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减.又，，且，，故要有3个解，则.故选：A【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解8．C【分析】转化函数恰有两个零点为f(x)＝x有两个解，即eax＝x恰有两个解，即a恰有两个解，研究函数g(x)的单调性和取值范围，分析即得解【详解】因为函数，因此F(x)＝0，即eaf(x)＝eax，即af(x)＝ax，又a＞0，所以函数F(x)恰有两个零点，即f(x)＝x有两个解，即eax＝x恰有两个解，即a恰有两个解，记函数g(x)，则，令＞0，解得0＜x＜e，令＜0，解得x＞e，，时，，时，所以g(x)在上单调递增，值域为，在上单调递减，值域为，所以a恰有两个解，故选：C9．C【分析】分离参数为，设，由导数求得其最小值，再利用导数确定，从而可得结论．【详解】方程化为，设，，设，在时恒成立，所以在上是增函数，，，所以在上存在唯一零点且，时，，即，递减，时，，即，递增，所以，又时，，时，，所以时，原方程有唯一解．，，，，，所以，设，，易知时，，递减，时，，递增，所以，所以时，，所以，即，综上，，即．故选：C．【点睛】本题考查由方程解的个数求参数范围，解题方法是分离参数转化为利用导数求函数的极值，单调性，确定函数的变化趋势，从而得出参数取新函数最小值时，满足题意，然后再引入新函数，利用导数确定最小值的范围，从而得出结论，本题考查了学生的逻辑思维能力，运算求解能力，属于较难题．10．A【分析】首先判断不是方程的根，再方程两边同除以，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的图象，令，设方程的两根分别为、，对分类讨论，结合函数图象即可得解；【详解】解：当时等式显然不成立，故不是方程的根，当时，将的两边同除以，可得，令，则且，所以，所以当和时，当时，即在和上单调递减，在上单调递增，且，函数的图象如下所示：令，设方程的两根分别为、，，①当时，方程无解，舍去；②当时，，若，则，由图可得有且仅有一个解，故舍去，若，则，由图可得有且仅有一个解，故舍去，③当时，或，若，由，，所以，由图可得与各有一个解，符合题意，若，由，，可设，，，由图可得无解，有两个解，符合题意，综上可得的取值范围为；故选：A11．C【分析】利用可得，再利用同构可判断的大小关系，从而可得正确的选项.【详解】设，则（不恒为零），故在上为增函数，故，所以，故在上恒成立，所以，但为上为增函数，故即，所以C成立，D错误.取，考虑的解，若，则，矛盾，故即，此时，故B错误.取，考虑，若，则，矛盾，故，此时，此时，故A错误，故选：C.【点睛】思路点睛：多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注意利用同构来构建新函数.12．C【分析】把方程有四个不同的实根，转化为函数和的图象有四个交点，作出两个函数的图象，结合图象，即可求解.【详解】当时，，当时，，当时，，所以当时，在上单调递减，在上单调递增.又当时，，所以根据周期为1可得时的图象，故的图象如图所示：将方程，转化为方程有四个不同的实根，令，其图象恒过，因为与的图象有四个不同的交点，所以或，又由，，，，，故，，，，所以或，即或，故选：C.【点睛】方法点拨：把方程有四个不同的实根，转化为函数和的图象有四个交点，结合图象，列出相应的不等关系式是解答的关键.13．B【分析】A选项：根据“三个等价”，将方程根的问题转化成构造出的函数零点的问题，利用零点存在性定理确定出的取值情况；B，C，D选项：对方程变形，参变分离构造函数，从函数的角度以及利用极值点偏移可以得出相应结论，详细过程见解析.【详解】对于A，令，因为，所以在上单调递增，与x轴有唯一交点，由零点存在性定理，得，，则，故A错误.对于B，C，D，当时，两边同时取对数，并分离参数得到，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；如图所示，当时，与的图象有两个交点，，解得，故B正确；，由A选项知，，故C错误；由极值点偏移知识，此时函数的极值点左移，则有，故D错误.故选：B.14．D【分析】由题意，可知为方程的解的个数，判断的单调性，作出与的函数图象，根据图象交点个数即可求解．【详解】解：设，则方程有个根，即有个根，，所以在上单调递增，在，上单调递减，且，当时，，设，令得，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，且，作出与的大致函数图象，如图所示：由图象可知的交点个数可能为1，2，3，4，又，所以的值为2，3，4．故选：D．15．D【分析】转化为方程有两解，由导数求解【详解】，得，由题意得该方程在上有两解，令，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，而，，，则实数的取值范围是故选：D16．B【分析】由题意可知，得；令，可知单调递增区间为，单调递减为，作出的草图，由图可知，∴，，而，∴，即，，可得，由此即可求出结果．【详解】∵，，∴①或②．由①得，由②得．令，则，∴．当时，，单调递增，时，，单调递减．事实上，当时，，当时，，作出g(x)如图：由图可知g(x)与y＝－a图像有两个交点时，左边交点在，右边交点在，故f(x)的三个零点情况如下：一个在之间，一个是，一个在，∵，∴，则[]＝0，又∵[]＝1，且，故，[]＝2，.∴，即，解得．故选：B．【点睛】本题主要考查了导函数在函数零点中的应用，关键是因式分解求出已知的零点，然后参变分离构造新函数，将零点问题转化为函数图像交点问题求解.17．C【分析】把条件转化成上存在两点，是本题的一个亮点，构造新函数在导数中可以简化运算，是一个常见方法.【详解】，，则，即在上单调递增.令，则上存在两点，,则，关于直线对称.因为函数与直线在上均单调递增，所以对称点P，Q重合且落在直线上，即与在有交点，故在有解.令，，故在上单调递增，，则，的值域为所以实数b的取值范围是.故选：C18．B【分析】求出函数导数，根据题意可判断在上单调递增，在，上单调递减，则可根据函数值大小得出答案.【详解】依题意得，，，，而，由，时有成立，则需在上单调递增，在，上单调递减，，，，当时，只需，此时，解得；当时，只需，此时，解得，的取值范围为.故选：B.19．D【分析】函数有零点转化为方程恒有解，换元后化为方程恒有解，令，利用导数求出函数的最大值，即可求解.【详解】令得：，令，则，，即，，令，则，由恒成立知，当时，，单调递增，当时，，单调递减，时，，时方程恒有根，即，故选：D20．C【分析】利用导数判断函数的单调性，结合函数的图像进而可判断函数的零点、极值.【详解】由，得，由，得，或，或，当或时，，当或时，，所以在上递增，在上递减，而，所以由零点存在性定理可知，只有两个零点，分别为和0，函数图像如图所示所以①③正确，②错误，方程可转化为或，，由图像可知有两个根，也有两个根，所以方程有四个根，所以④正确，正确结论的个数是3，故选：C.21．A【分析】转化为，即可转化为与有两个不同的交点，求导分析单调性、极值、边界，即得解【详解】方程有两个不同的实数根，即为有两个不同的实数根，即有两个不同的实数根．令，则，即．又因为，，所以．记，则．记，则，又，所以当时，，当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当趋近于时，趋近于，所以，所以．因为，所以，所以，即，即实数的取值范围故选：A22．BCD【分析】令转化为为（*）在上有两不等实根从而得出参数的范围，设函数在处的切线，记切线与的交点的横坐标分别为，又由可得，从而可判断选项C;由对数均值不等式可判断选项D.【详解】由，则可得时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.所以令，则，当时，；当时，则在上单调递增，在上单调递减.所以由题意即方程有三个实数根,

即有三个实数根所以有两个实数根，即转化为（*）必有一个实根判别式，有或，两根情况讨论如下：①当时，从而将代入（*）式，得，又，有不符合题意，故舍去②当，时，令i)

当时，有，得，此时（*）式为，不符合题意ii)

当时，则有，解得综上知的取值范围为，故A错误，B正确.由上知考虑函数在处的切线，易证：记切线与的交点的横坐标分别为，则，又，则同理，故，故选项C正确对于选项D，，则有，即，故选项D正确故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数零点问题，考查复合方程的根的问题.解得本题的关键是先令，先研究出其性质大致图像，然后将问题转化为（*）在和上各有一个实根，从而使得问题得以解决，属于难题.23．ABD【分析】根据的图像将方程转化为两个函数的交点问题，通过函数图像判断A，C，D的正误，利用导数的几何意义可求出的值，进而判断B的正误.【详解】根据题意，令，可得，或，作出的图像，如图一所示，由方程可得，，所以，当时，，则有，即，当时，，则有，即，当时，，则有，即，设，所以，作出和图像如图二所示，因为直线绕坐标系原点旋转，当直线与相切时，直线与有三个交点，如果直线继续逆时针旋转，会有四个交点，当直线过时，，即，此时也过点，所以直线与有两个个交点，综上，当且仅当直线与相切时，直线与有三个交点，所以，，，故A正确，C错误，因为，设切点坐标为，所以，解得，故B正确，因为，，，所以，，所以，故D正确，故选：ABD.24．BD【分析】对于A、B：利用二次求导判断出以，得到在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，得到，即可判断A、B；对于C、D：由得到，利用对数平均不等式得到，，即可证明出，得到，即可判断C，D.【详解】由题意得，且定义域为，令，则，因为两个极值点，即在有两根，由此可知，且在单调递增，在单调递减，，因为在有两根，所以，即，解得，因为在有两根为，所以，又，所以，从的正负可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以，因为，所以，所以A错误，B正确；因为，所以，即，根据对数平均不等式得，，，根据同向同正可乘性得，因为，所以，因为恒成立，所以，即，所以C错误，D正确；故选：BD．【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.25．ABC【分析】在可导时，探讨的零点、极值点满足的关系，再分析推理、计算判断选项A，B，D；在的两侧探讨值的符号判断C作答.【详解】依题意，，如果可导，则，令是的一个零点，也是的极值点，则有，对于A，在上可导，，由得：，解得，，，，令，，当时，，即在上单调递增，而，于是得时，，当时，，则是的极值点，且，A满足；对于B，（锐角由确定）在上可导，，由得：，，取，则，，求导得，当，即时，，当，即时，，因此，是的极值点，且，B满足；对于C，在处不可导，由得：，当时，，求导得：，当时，，求导得：，因此，是的极值点，且，C满足；对于D，在上可导，，由得：，解得，，，，求导得：，当时，，当时，，因此，，而不是的极值点，D不满足.故选：ABC【点睛】结论点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在x0左侧与右侧的符号不同．26．ACD【分析】数形结合，将问题转化为判断直线与曲线交点个数【详解】令，则所以设，则当时，，单调递增；当时，，单调递减在处取得极大值当趋向于时，趋向于；当趋向于时，趋向于又，且当时，；当时，所以，是函数的拐点，所以在处的切线方程为，即如图所示，ACD正确，B错误故选：ACD27．ACD【分析】将函数零点问题转变为方程的根的问题，构造函数，利用导数作出其大致图象，问题转换为存在两根，的问题，结合图象可判断A;利用图象结合方程可得，由此判断B；根据图象结合方程可直接判断C;利用，，可得，进而判断D.【详解】由题意知有四个不同的根，显然，即，令，即，即．另外，，，令得，故在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，，如图所示．根据题意知存在两根，，不妨设，则满足，．即有，，则由图象可知，故A正确；由于，，故，由图象可知，，，故，即，B错误；结合以上分析可知，故C正确；由，，得，两边取自然对数得，D正确，故选：ACD．【点睛】本题考查了零点问题，解答时涉及到方程的根与图象的交点问题，要用导数判断函数的单调性，进而作出函数大致图象，数形结合，综合性较强.28．.【分析】将点的对称问题转化成关于轴对称的图象与的图象有交点，再转化成有解，再转化成与轴有交点，最后利用导数分析单调性求解即可.【详解】由题意知存在关于轴对称，即关于轴对称的图象与的图象有交点，即方程在上有解，设，即与轴有交点，则，当时，，单调递增，时，，单调递减，因为，，所以，所以，即.故答案为：.29．①③④【分析】根据可求得在上单调递增，在上单调递减，则可画出的图像；利用同构可知等价于，结合图像则可判断①②③；当时，可得，，构造函数可判断④．【详解】解：①，令得，在上递增，且值域；令得，在上递减，且值域；作图如下：当时，由知：若，使得，则，当时，若，使得，则，由得：，令得，在上递增，且值域；令得，在上递减，且值域；作出图象如下：当时，由知：若使得，则，当时，若使得，则，∴当时，．故①正确．②当时，由得：，即，∴可看成的两零点，作出的图象如下：由图象易知：或均可趋向于，故②错误；③当时，由①的讨论知：，，．故③正确；④当时，此时，由②知：，，则，∴要求的最小值即求的最小值即可，令，则，令，解得：，易知为极小值点，故的最小值为．故④正确．故答案为：①③④．【点睛】关键点点睛：同构找到，通过与的图象及性质判断求解，在处理④时，要注意消元思想的运用．30．【分析】把不等式恒成立，转化为函数在定义域内对任意的恒成立，结合函数的单调性和零点，得出是函数的零点，即可求解.【详解】由题意，不等式恒成立，即函数在定义域内对任意的恒成立，由，则，所以为减函数，又由当，可得为减函数，所以与同为单调减函数，且是函数的零点，故是函数的零点，故，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.31．【分析】函数存在唯一的零点等价于函数与函数的图像只有一个交点．∵，，∴函数与函数的图像的唯一交点为．对求导，可得的单调性及斜率范围，又是最小正周期为2．最大值为的正弦型函数，画出草图，比较与在x=1处斜率即可.【详解】函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数的图像只有一个交点．∵，，∴函数与函数的图像的唯一交点为．又∵，且，，∴在上恒小于零，即在上为单调递减函数．又∵，当且仅当，即时等号成立，且是最小正周期为2．最大值为的正弦型函数，∴可得函数与函数的大致图像如图所示．∴要使函数与函数的图像只有唯一一个交点，则．∵，，∴，解得．对∵，∴实数的取值范围为．故答案为：.【点睛】本题由函数的零点入手，转化成求两个已知函数交点的问题，并利用导函数判断函数的单调性，结合题意，画出与的图像，并根据斜率的大小，进行求解，考查整理化简，计算求值，分析作图的能力，属难题.32．【分析】可知不满足方程，将方程变形为，令，，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，由题意得出方程的两根分别满足，，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】显然不满足方程；当且时，由得，令，，对函数求导得，令得，列表如下：单调递增单调递增极大值单调递减所以，函数在处取得极大值，即，如下图所示：

由于关于的方程有且只有三个不相等的实根，则关于的方程要有两个根、，且，，如下图所示：

所以，.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，将问题转化复合函数的零点个数问题是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.33．【分析】根据函数有四个不同的零点，转化为直线与的图象有两个交点，直线与的图象有两个交点，结合导数求得的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，令，可得当时，，当时，．设，则，所以函数在上递增，在上递减，的最大值为，且当时，，时，．设，则，所以函数在上递减，在上递增，则的最小值为（2），因为函数有四个不同的零点，所以直线与函数的图象有两个交点，直线与函数的图象有两个交点，即有且，解得故答案为：．【点评】本题主要考查利用导数解决函数零点问题，涉及到函数的零点与两函数图象的交点之间的转化，属于较难题．34．【解析】将问题转化为有零点，利用的最值，和的最值根据等号成立的条件求解参数的取值.【详解】构造函数：，存在实数使成立，即有解，考虑函数，，所以在递减，在递增，所以，，当且仅当时，取得等号，所以要使有零点，必须零点为，且，即.故答案为：.【点睛】此题考查根据方程有根转化为函数有零点求解参数的取值范围，关键在于准确构造函数，利用函数单调性和基本不等式求解最值.35．.【分析】对函数求导，并求出极值点，列表分析函数的单调性与极值情况，由题意得出，由此可解出实数的取值范围.【详解】，.令，得或，当变化时，、的变化情况如下表：极大值极小值由于函数只有一个零点，且该零点为正数，所以，，，化简得，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查三次函数的零点问题，解题时要利用导数分析函数单调性与极值，结合题意转化为极值的符号等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.36．【分析】根据导数分析函数的性质作其大致图象，由题可得函数的零点即方程和的根，讨论和时可求得结果.【详解】函数的定义域为，导函数，时，，函数在上单调递减，时，，函数在上单调递增，当时，取极小值，极小值为.当时，，当时，，当时，，当趋向负无穷时，趋向0，当趋向0时，趋向正无穷，根据以上信息可得，函数的大致图象如下；

令，可得，设，则，所以，，解得方程两根为和，函数的零点即方程和的根.函数有3个不同的零点