华师一附中2024届高三《限时练（圆锥曲线）》答案

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页华师一高三数学限时练参考答案：1．C【分析】根据题意作图，利用正弦定理以及余弦定理，建立方程，结合双曲线的性质以及其离心率的计算公式，可得答案.【详解】由题意可知，，设，，在中，根据正弦定理可得，则，在中，根据正弦定理可得，则，由，则，由，则，解得，由双曲线定义可知，解得，，在中，根据余弦定理可得，在中，根据余弦定理可得，由，则，可得，整理可得，由双曲线离心率可知，则可得，由，解得.故选：C.2．D【分析】结合圆与圆的位置关系利用双曲线的定义即可求解.【详解】设动圆C的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为2，由题意可得，或，所以或，又因为，所以，由知不合题意，所以，根据双曲线的定义知，可得点C的轨迹为以为焦点的靠近的一支.故选：D.3．B【分析】延长与双曲线交于点P＇，易得，设，结合双曲线定义得，进而在中应用勾股定理得到齐次方程，即可得离心率.【详解】延长与双曲线交于点P＇，因为，根据对称性知，

设，则，，可得，即，所以，则，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故选：B【点睛】关键点点睛：延长与双曲线交于点P＇，利用双曲线对称性及定义求出，最后在中应用勾股定理得到齐次方程为关键.4．C【分析】斜率条件求得的关系式，结合得到关于的关系式即可.【详解】由题意，得，因为，所以，即，又因为，所以，得，则，所以的渐近线方程为，即，故选：C5．ACD【分析】由双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系逐项分析即可.【详解】对于A，通径，实轴故有四条，对于B，假设存在直线l，使弦AB的中点为，设直线的方程为，与联立得：恒成立.所以，，所以，所以直线方程为，但是由于不在直线上，故不存在这样的直线l，故B错误.对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：，代入点可得，所以该双曲线的标准方程为，故C正确；对于D，设直线l方程为：.联立得：，恒成立.所以，，则，.若A、B都在该双曲线的右支上，则，即，所以，解得，故D正确；故选：ACD.6．AC【分析】讨论符号研究不同象限对应曲线，结合椭圆、双曲线性质，数形结合判断各项的正误即可.【详解】当，则曲线，双曲线的一部分；当，则曲线：；当，则曲线不存在；当，则曲线：；当，则曲线，双曲线的一部分；当，则曲线，椭圆的一部分；又过点，且曲线在第一、三象限对应双曲线的一条渐近线为，所以，曲线如下图示：

所以A、C对，B错；由恒过，结合C项分析，如下图示，

显然时与曲线也有三个交点，D错.故选：AC7．或【分析】直接利用双曲线的定义求解即可.【详解】由已知得，，解得，当点是双曲线左支上一点时，，则，当点是双曲线右支上一点时，，则，或故答案为：或.8．【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可.【详解】由题意可知，代入双曲线方程有，又的面积为，即，所以双曲线方程为：，设，则，同理，因为，则，故答案为：.9．(1)；(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的渐近线与过一点列方程组即可得的值，从而得双曲线方程；（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆得交点坐标关系，再根据斜率与坐标运算从而得的关系来确定直线定点即可.【详解】（1）∵，，依题意，解得：，，所以双曲线C的方程为（2）依题意可知斜率存在，设方程为，，，则，即①，所以设直线AP，AQ的斜率分别为，，由题意知：，故有：，整理得当，，过舍去，当，，过点，此时，将代入①得，得，满足题意.∴直线PQ过定点10．(1)(2)或.【分析】（1）设双曲线方程为，代入运算求解即可；（2）根据题意可知直线的斜率存在，设直线，，，联立方程，利用弦长公式结合韦达定理运算求解.【详解】（1）设双曲线方程为，代入可得，解得，所以双曲线的方程为.（2）若直线的斜率不存在时，则，，不符合，所以直线的斜率存在，设直线，，，联立方程，消去y得，则且，可得，则，又因为，可知，则，由题意可知：，即，整理得，解得或，且或均符合且，所以直线的斜率或.11．(1)(2)垂心在定曲线上【分析】（1）运用点到直线距离公式和双曲线中之间的关系求解；（2）根据M，N点是否与重合以及是否与x轴对称，分类讨论即可.【详解】（1）由题意，双曲线的渐近线方程为，所以点到渐近线的距离为，从而解得，即的标准方程为；（2）情形一：，中没有一点为，且直线的斜率存在，

设直线：，，，则AM和AN的斜率分别为：，易得边的高线的斜率为，方程为：，即，边AN的高线的斜率为：，方程为：，联立，，消去，可得，联立，，，所以，，又，所以，从而，又H点也在MN边的高线上，MN边高线的方程为：，消去可得，化简得，即点在定曲线上；若MN斜率不存在，则M，N关于x轴对称，即，如图：

设，则是等腰三角形，所以在x轴上，即，，，联立：，解得：，，在定曲线上；情形二：，中有一点即，设，不妨，设，过N点作AM的垂线，则H点在该垂线上，如图：

则，解得，所以点在曲线上；综上，曲线C的方程为：，H点总在曲线上.【点睛】本题的难点在于情形1的计算量上，计算量较大，有下标的字母计算时需要反复核对，根据三角形AMN的图形设计分类讨论的方法，因为有个斜率不存在的问题.12．(1)(2)存在，【分析】（1）由题意，结合离心率与双曲线基本量关系即可求得结论.（2）首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴，由的面积恒为8，则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理，即可得到直线有且只有一个公共点.【详解】（1）因为双曲线E的渐近线分别为和，所以，故，解得，从而双曲线E的离心率.（2）由（1）知，双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C，当轴时，若直线与双曲线E有且只有一个公共点，则，又因为的面积为8，所以，此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为，依题意，得或，则，记.由，得，同理得.由得，即.由得，.因为，所以，又因为，所以，即与双曲线E有且只有一个公共点.因此，存在总与有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为.

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