第四章 第二节 矩阵三角分解法

第二节矩阵三角分解

法一、分解法二、平方根法

1、

平方根法

2、分解法

三、追赶法设矩阵A存在LU分解，即有比较两端的第一行，有

一、分解法比较两端的第一列，有

再比较两端第二行的其余元素得

再比较两端第二列的其余元素得

从上面的计算过程，不难归纳出一般的计算公式

再对计算

同时，由，按上边顺序依次求得：这个分解过程叫做分解，用这种方法求解方程组所需要的计算量和用

消元法计算需要的计算量基本相同，但这种方法把

对系数矩阵的计算和对右端项的计算分开了，这就使我们在计算系数矩阵相同而右端项不同的一系列方程组时变得特别方便。

与此类似，如果A存在LU分解，则有

其中，是以为对角元素的对角矩阵，是单位上三角矩阵，是下三角矩阵，和分解一样,我们可以依次得矩阵和的元素和，从而将矩阵A分解为这样的分解称为分解。例2

用分解求解方程组和解容易验证系数矩阵A的顺序主子式全不为零，故A存在唯一的分解，由得再由可计算出

对第一个方程组，由和可求得

再由和，求得解对第二个方程组，由和得

由和得

二、平方根法

求解对称正定方程组，在许多工程实际计算问题中经常遇到，由于其本身的特点，使用前述的解法是不利的，应该采用适合其特点的解法。这里介绍的分解法，其运算量和存储量较LU分解法均节省一半左右，是目前在计算机上解这类问题最有效的方法之一。设A为对称正定矩阵，则A的各阶主子式均大于零，于是有如下三角分解其中为下三角矩阵，为单位上三角矩阵。

式中为单位下三角矩阵，为非奇异的对角矩阵，记为于是成为因为，于是有由于的对角元素皆为非零元素，则也有分解式

这里，和同为下三角矩阵，和同为单位上三角矩阵，于是据分解式的唯一性，有，故若用表示对角矩阵，则有从而式又可以表为

其中已不是单位下三角矩阵了。

我们称和为对称正定矩阵A的分解，下面据这两种分解式来讨论方程组的计算方法，从分解式出发而得到的计算方法称为平方根法；从分解式出发而得到的计算方法称为分解法（改进的平方根法），这两种方法统称为分解法

。其中

和分解一样，比较式两端对应元素，可以依次算出，今设从第1列到第k-1列的元素均已算出，现在来计算L的第k列元素由关系式，有

1、

平方根法

设对称正定阵A具有形如的分解：于是当时有

当时，有

对，重复n次的计算后，便求得矩阵L。这样，求解对称正定方程组可化为解三角形方程组及，它们的求解公式为：由式可以看出这说明L的元素其绝对值不会变得很大，所以分解过程中各元素是完全可以控制的，舍入误差的增长也就是可控的。因而上述平方根法的计算过程是稳定的。但在使用这一方法时，要完成n次开方运算，这样将增加不少运算量，为了避免开方运算，可直接使用分解式进行计算。其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵且对角元素为正数，比较式两端的元素，有于是及L的第一列元素已算出，又于是又可算出和L的第二列元素：2、分解法

设对称正定阵A具有形如的分解：设及L的第列元素已算出，由关系式便可得到计算矩阵D和L的计算公式其中是D的对角元素，在计算时求和号中每个元素都由三个数相乘得到，这就增加了计算量，为此引进辅助量，并将改写为求得矩阵L和D以后，解方程组可分三步完成：1）解，得；2）解，得，即；

3）解，得。例3用分解求方程组的解。解容易验证系数矩阵A的顺序主子式都大于零，故A为对称正定矩阵，现在按计算D和L：这样就得到依次解方程组：解得解得解得三、追赶法求三次样条插值函数及用差分法求解二阶常微分方程的边值问题等，都需要求解所谓对角占优的三对角方程组，即

(4.1)其中由于在实际问题中遇到的这种方程组的阶数都较高，所以零元占优势，为节省存贮和计算量，不直接用前述的（或）分解公式，而是根据矩阵的特殊形状，推导出更为简捷的三角分解计算和求解公式。由矩阵的特殊形状可假设的分解具有如下形式：

(4.2)

比较两端对应元素，得到如下计算公式：

容易验证，分解过程（4.3）是数值稳定的。

这样，解方程组（4.1）可分为两步求解和，计算公式是求解公式（4.4）和（4.5）直接用及表示，