河南省汝州市2022年九年级中招第一次调研数学试卷（含答案与解析）

汝州市2022年中招第一次调研测试试卷

数学

注意事项：

1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分

钟.

2.试题卷上不要答题，请用25铅笔涂卡，黑色水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上

的答案无效.

3.答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上.

一、选择题（每小题3分，共30分）

下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母用25铅笔涂在对

应的答题卡上.

1.在有理数0,—g,2,-1中，最小的数是（）

2

A0B.------C.2D.-1

2

2.2021年我国脱贫攻坚再次取得了可喜的成绩，让世界见证了“中国力量”.其中960多万贫困民众乔迁

新居，有效解决了“十三五”期间近五分之一贫困人口的脱贫问题.数据960万用科学记数法表示为（）

A.9.6xlO5B.9.6xlO6C.96xl05D.0.96xlO7

3.如图是一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后的示意图，该立体图的俯视图可能是（）

4.下列计算正确的是（）

5

A.（-/）?=aB.y[4b—\Jb=\fb

C—aD.=a2-ab+b2

5.如图，在口ABC。中，CE平分/BCD交AD于点、E，若AE=2,0ABC。的周长等于24,则线段A3

的长为（）

C.7D.8

6.关于x的一元二次方程无2-（2+㈤x+m=O根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

%+1>-1

7.不等式组口］的解集在数轴上表示正确的是（）

5-4-3-2-10123455-4-3-2-1012345

D.，，，1，，।<>：，，

5-4-3-2-10I2345-5-4-3-2-1012345

8.某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生

的答卷，将测试成绩按“差”、"中"、"良"、"优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图.若该

校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为（）

9.如图，在AABC中，A8=AC=6，44C=120。，分别以点A,3为圆心，以AB的长为半径作

弧，两弧相交于M,N两点，连接交5c1于点。，连接A。，AN,则△AON的周长为（）

M

A

B4-D\T--------

与

A.3+0B.3—0c.2-y/3D.2+G

10.如图，点P是矩形ABCD边上一动点，它从点A出发，沿-。一＞。路径匀速运动到点。.已

知点七是边CD的中点，AB=2,AD=3.设APBE的面积为点P的路程为％,则丫与龙之间函数

关系的图象大致为（）

二、填空题（每小题3分，共计15分）

11.计算：V-8=-

k

12.已知反比例函数y=--的图象位于第二、四象限，则女的取值范围是.

x

13.如图，菱形。43。的顶点A,B,C都在。。上，己知弦AC=4,则。O的半径长为

14.如图，在矩形ABC。中，AB=6,AD=2.把矩形ABC。绕点。逆时针方向旋转，当点A的对应

点A'恰好落在边上时，点5经过的路径是88'，则图中阴影部分的面积为.

15.如图，在R/AABC中，NACB=90°,NB=30°,点P是斜边AB上一动点，连接CP，将△ACP沿

CP折叠，点A的对应点是A'，当点A'落在边BC的垂直平分线上时，NACP的度数为一.

三、解答题（本大题共8小题，满分75分）

16先化简，再求值：［J-1）+2x-1,'其中％

Vx-1JX2-2X+1

17.为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其长度，在一天的抽检结

束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格：

编号123456789101112131415

长度8

8.728.928.938.948.968.978.98a9.039.049.069.079.08b

(cm)

88

按照生产标准，产品等次规定如表:

长度(单位：cm)产品等次

8.97<x<9.03特等品

8.95<x<9.05优等品

8.90<x<9.10合格品

xv8.90或x>9.10非合格品

注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品(含特等品)计算在内.

(1)已知此次抽检产品的合格率为80%,则非合格品有个.

(2)已知此次抽检出的优等品长度的中位数为9cm.

①求。的值：

②将这些优等品分成两组，一组长度大于9cm,另一组长度不大于9cm,从这两组中各随机抽取1件进行

复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率.

18.某城市湿地公园内“天鹅湖”如图所示，湖中有两个小岛，其中菱形小岛中心为N,圆形小岛的中

心为湖岸A,8两点间的部分恰好是以点N为圆心的一段弧.已知A,N,〃三点共线，且A8的

404

长为——米，测得NZWS=6()。，ZNBM=45。，求两岛中心的距离MN.(结果精确到1米，参考数据：

3

sin75°«0.97,cos75°«0.26,tan75°«3.73.5/2«1.41>6仪1.73)

19.已知AABC是。。的内接三角形，AB为。。的直径.点。是。。外一点，连接AD和。。，0。与AC

相交于点E，且QDLAC.

(1)如图1,若AO是。。的切线，tanNBAC=；,证明：AD^AB-.

(2)如图2,延长交。。于点尸，连接CD,CF,AF.当四边形ADCE为菱形，且NE4C=30°,

3c=1时，求。尸的长.

DD

20.小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆.已知2盆盆景与1盆花卉的利润共330元，

1盆盆景与3盆花卉的利润共240元.

（1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？

（2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元：每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加

2元；花卉的平均每盆利润始终不变.

小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利

润分别为叱，电（单位：元）.

①含X的代数式分别表示叱，吗；

②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？

21.如图，已知顶点为。（0,-3）的抛物线丁=加+。（。。0）与工轴交于4,B两点，直线y=过顶点

C和点艮

（1）求直线和抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点M,使得NMC5=15。，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

22.有这样一个问题：探究函数y一的图象与性质，通过列表、描点、连线，画出函数的部分图象如

1-X

图所示，探究过程如下：

（1）函数y=—।—的自变量x的取值范围是____.

1-X

（2）对于函数y,y与x的几组对应值如表:

X•・・-100.51.522.53…

0.5

y…0.5m12-2-1n-0.5・・・

在同一直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x,y）,并补全函数的图象（画出方格内部分

函数图象即可）.其中，m+n=；

（3）观察图象，写出函数的一条性质：.

（4）结合图象填空：当关于x的方程。有两不相等的实数根时，实数a的取值范围是；当关

1-X

于X的方程-l-=a（x-l）无实数根时，实数。的取值范围是—.

1—x

23.（1）操作发现：如图1,AO是等边三角形ABC的角平分线，AE1AB，CE//AB.则EC与CO

的数量关系是，ZEAC=—.

（2）问题探究：将图1中的“七。绕点A逆时针旋转到AAEE，点C落在点F的位置，如图2所示，请

你探究EC与FD的数量关系.

（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若等边AABC的边长为2,当E4_LAC时，直接写出。口2值.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母用25铅笔涂在对

应的答题卡上.

1.在有理数0,一g，2,-1中，最小的数是（）

2

A.0B.--C.2D.-1

2

【1题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据有理数大小比较规则，求解即可，正数大于零，两个负数比较，绝对值大的反而小.

【详解】解：根据有理数大小比较规则，可得：一1〈一，<0<2

2

最小的数为T

故选：D

【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较规则是解题关键.

2.2021年我国脱贫攻坚再次取得了可喜的成绩，让世界见证了“中国力量”.其中960多万贫困民众乔迁

新居，有效解决了“十三五”期间近五分之一贫困人口的脱贫问题.数据960万用科学记数法表示为（）

A.9.6x10sB.9.6xlO6C.96xl05D.0.96xlO7

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由960万=9600000,根据科学记数法的法则表示还原的数即可

详解】：960万=9600000,

A9600000=9.6xlO6-

故选艮

【点睛】本题考查了混合单位的大数的科学记数法，将混有单位的大数还原成纯数是解题的关键.

3.如图是一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后的示意图，该立体图的俯视图可能是（）

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据图形的摆放位置，判断俯视角度，进而可以判断出俯视图.

【详解】A项为主视图；

8项为不是俯视图；

C项为俯视图；

。项不是俯视图；

故选：C.

【点睛】本题考查了立体图形的三视图内容，培养学生的立体空间想象能力是解决问题的关键.

4.下列计算正确的是()

A.(―。3)2=a5B.国_&=加

C.J‘J=aD.(a—b)--ci~—ab+b~

【4题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及二次根式的加减运算法则、完全平方公式分别化简得出答案.

【详解】解：A、(-.3)2=a，故此选项错误；

B、国-加=2屈-血=&,故此选项正确；

C、病=时，故此选项错误；

222

D、(a-Z?)=a-2ah+h9故此选项错误；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及二次根式的加减运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则

是解题关键.

5.如图，在QABC。中，CE平分NBCD交AD于点、E，若AE=2,QABC。的周长等于24,则线段AB

的长为（）

A.5B,6C.7D.8

【5题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出进而得出OE=OC=AB求出即可.

【详解】解：在口A8CZ）中，CE平分NBC。交AO于点E,

/.ZDEC=ZECB,ZDCE=ZBCE,AB=DC,AD=BC,

：.ZDEC=ZDCE,

：.DE=DC=AB,

•:ABCD周长等于24,AE=2,

：.AB+AD=\2,

：.AB+AE+DE^\2,

：.AB=5.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出OE=DC=AB是解题关键.

6.关于％的一元二次方程£一（2+加）%+加=0根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

【6题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次函数根的判别式△=拄-4ac=[—（2+m）了一4m,利用配方法判断△与0的大小关系

即可以得出答案.

【详解】由题意可知一元二次函数根的判别式

△=/>2-4ac

=[-(2+m)]--4m

=?n2+4>0,

所以方程有两个不相等的实数根；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了完全平方公式及一元二次方程根的判别式的综合运用.

%+1>-1

7.不等式组1%.的解集在数轴上表示正确的是()

【7题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】先分别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可.

x+l>-l®

【详解】解：《

/<1②

,2

由①得,x>—2,

由②得，x<2,

故原不等式组的解集为：-2<x<2.

在数轴上表示为:

故答案为：D.

【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，在数轴上表示解集时“2”，“W”

要用实心圆点表示：“<”，要用空心圆点表示.熟练掌握不等式组的解法是解题的关键.

8.某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生

良"、"优''划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图.若该

可’和“优”的总人数估计为（）

C.900D.110

【8题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】先求出“良”和“优”的人数所占的百分比，然后乘以2000即可.

83+25

【详解】解：“良”和“优”的人数所占的百分比：-----------------X100%=55%,

18+72+85+25

.•.在2000人中成绩为“良”和“优”的总人数估计为2000X55%=1100（人）,

故选：A.

【点睛】本题考查了用样本估计总体，求出“良”和“优”的人数所占的百分比是解题关键.

9.如图，在AABC中，AB=AC=6ZBAC=120°,分别以点A,5为圆心，以的长为半径作

弧，两弧相交于〃，N两点，连接MN交3c于点连接AO，AN,则△ADN的周长为（）

M

C.2-73D.2+V3

【9题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】由作法可得AABN为等边三角形，AN=BN=AB=E，由N84C=120°,AB=AC=6可得

ZABC=ZACB=30°,可证NN4C=60°=N84N，可得4ELBC,可证D4=£>N/E=NE,由点。

在MW上，DA=DB,ZABD=ABAD=30°,AD=A£^cos30°=1,AD=ND=1即可.

【详解】解：连结BN,AN交BC于E,

•••分别以点A,3为圆心，以A3的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点，

:.AN=BN=AB=B

NABN=NBAN=NANB=64°,

ABAC=120°,AB=AC=6

：.NABC=ZACB=g(180。-ABAC)=30°,

ZM4C=/BAC—/BAN=120。-60°=60°=ABAN,

：.AE1BC,

:.BEIAN,AB=AN,

：.DA=DNAE=NE,

•.•点。在NM上，

：.DA=DB,

：.ZABDABAD=3Q°,

：.ZDAE=60°-Z«AD=30°,

在Rt^ADE中AE=!•AN=立，

22

A£>=AE+cos30°=l,

：.AD=ND=\,

：.AADN的周长=AO+ND+AN=1+1+抬=2+6.

故选择：D.

1c

N

【点睛】本题考查等边三角形作图，等腰三角形性质，锐角三角函数，线段垂直平分线性质，掌握等边三

角形作图，等腰三角形性质，锐角三角函数，线段垂直平分线性质是解题关键.

10.如图，点P是矩形A8CD边上一动点，它从点A出发，沿A—3fC路径匀速运动到点。.己

知点£是边CD的中点，AB=2,AD=3.设"BE的面积为V，点尸的路程为工，则丁与x之间函数

关系的图象大致为（）

【10题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】分段列出函数解析式，根据解析式的特征，画出函数图像，结合图像一一排查即可.

【详解】解：♦••△/方石的面积为V,点P的路程为无，AB=2,AD=3.

133

当点P在AB上时，即0<xW2,底为PB=2-x,高为3c长，y=--PBx3=-（2-x）=3一一x,

22''2

当点尸在BC上时，即2<xW5,底为BP=x-2,高为EC=1,y=g-P8xEC=g(x—2)=；x—1,

D

Ii3

当点尸在CE上时，即5<x46,底为PE=6・x,高为3C=3,y=-PExJBC=-(6-x)x3=9-1x,

13

当点尸在OE上时，底PE=x-6,高为BC=3,即6<xW7,y=--PExBC=-(x-6)x3=-x-9,

3

|

2

)

A1|xA

LAXIr

G

-3

KA

IX|二AxIA

O

函数解析式为y=，

1

'OxAXIA

2G©

3

—x-9(6<x<7)

列表

X0123567

y31.500.51.501.5

在平面直角坐标系中描点,

3——2）

—x-l（2<x<5）

2的图像

连线绘制函数图像

9-1x（5<x<6）

|x-9（6<x<7）

•.•每段函数都是一次函数，图像为直线形可排除2、D,

根据取值范围和图像可排除C,

正确的函数图像为A.

故选择：A.

【点睛】本题考查动点图形的图像问题，矩形的性质，用描点法画分段函数图像，掌握根据动点运动的路

径，列出三角形面积函数解析式，并会求自变量取值范围，函数性质是解题关键.

二、填空题（每小题3分，共计15分）

11.计算：o=_

[11题答案】

【答案】-2

【解析】

【分析】根据立方根的定义，求数。的立方根，也就是求一个数x,使得R=a,则x就是。的立方根

【详解】；（-2）3=-8

O=-2

故答案为：-2

12.已知反比例函数丁=——的图象位于第二、四象限，则左的取值范围是.

x

【12题答案】

【答案】k<3

【解析】

【分析】根据反比例函数的性质得k-3<0,然后解不等式即可.

【详解】解：根据题意得k-3<0,

解得k<3.

故答案是：k<3.

【点睛】考查了反比例函数的性质，反比例函数的性质：反比例函数y=&(k/0)的图象是双曲线；当k

x

>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0,双曲线的两支

分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.

13.如图，菱形QWC的顶点A,B,C都在。。上，已知弦AC=4,则。。的半径长为—.

【13题答案】

【答案】生叵

3

【解析】

【分析】连接OB交AC于D,利用菱形的性质和垂径定理得到：/AQO=90。,AQ=gOC=2,OD=gOB.设

。。的半径长为七则OD=；R,所以在直角△AOO中，利用勾股定理列出方程并解答即可.

【详解】解：如图，连接OB交AC于。，

•••四边形OA8c是菱形，弦AC=4,

AZADO=90°,AD=—OC=2,OA=AB,

2

/.0D=—OB.

2

设。。的半径长为七则OA=R,0D=-R,

2

在直角AAO。中，由勾股定理得到：AL^+OD^OA2,即22+!R2=R2.

4

解得R=生叵，

3

即。o的半径长为延.

3

故答案是：巫.

3

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题时，利用勾股定理列出方程，

通过解方程求得相关线段的长度.

14.如图，在矩形ABCD中，AB=6AD=2.把矩形ABC。绕点。逆时针方向旋转，当点A的对应

点A'恰好落在8C边上时，点5经过的路径是88'，则图中阴影部分的面积为.

【14题答案】

【答案】女―之叵

62

【解析】

【分析】首先结合矩形的边长和旋转的性质确定出旋转角，然后利用扇形084的面积减去△。&V和

△ZM'B'的面积之和即可.

【详解】由题意，BD7AB2+BD。=■，

在RrZXA'OC中，DC=AB=6DA=DA=2,

.••cosNA7)C=^=正，A'C=l,

A'C2

AZA'DC=30°,84'=2-1=1，

则ZADA'=90°-ZADC=60°,

即：旋转过程的旋转角为60。，

NBDB'=60。,

_60兀、曲_7兀,

扇形BDB「―丽一

S&BDK=~BA'.DC=gX1X百=#'

S"=；OA.A9=；XgX2=3

7»6日_7乃

**S阴影=S扇形8。用-S-----------------75=---------------

6262

743百

故答案为:

-6T

【点睛】本题考查旋转图形的阴影面积计算问题，准确求出旋转角，理解旋转的定义与性质是解题关键.

15.如图，在中，NACB=90°,N3=30°,点P是斜边AB上一动点，连接C尸，将△ACP沿

CP折叠，点A的对应点是A，当点A'落在边BC的垂直平分线上时，NACP的度数为

【15题答案】

【答案】30。或60°

【解析】

【分析】分两种情况①当4落在线段8c的上方时，②当A，落在线段BC的上方时，再利用垂直平分线的性

质分析可得答案.

【详解】解：如图：

(1)当A'落在线段8C的上方时，如图①：

HAABC中，ZACB^90°，ZB=30°,

ZA=90o-ZB=90°-30o=60°,

取A8的中点。，连接CC,

则CD=BD=AD,点。在8c的垂直平分线/上，

.•.△AC。是等边三角形，

J.CA^CD,

•.•将△ACP沿CP折叠，点A的对应点是A',当点A'落在边5c的垂直平分线上，

.•.点。与A重合，

/4CB=/B=30。，

•/ZACB^90°

：.NAC4=90°-30°=60°,

/.ZACP=—ZACA'=30°.

2

(2)当“落在线段8C的下方时，如图②：

•/是8C的垂直平分线，

：.PC=PB,

/PCB=/B=30。，

/.NACP=90°-30°=60。.

综上，/ACP的度数是30。或60。.

故答案为：30。或60。.

【点睛】本题考查了折叠的性质，根据折叠得到角相等和利用垂直平分线的性质是解题关键关键,

三、解答题(本大题共8小题，满分75分)

16.先化简，再求值：［11+c1'其中％=

(x-1)x--2x+\

【16题答案】

【答案】—）县

x+13

【解析】

【分析】先把分式通分，因式分解后，把除变乘，约分化简，赚值，代入计算，再把二次根式分母有理化

即可.

2

【详解】解：二一一1X-1

X2-2x4-1

(__：(1)(X+1)

(x-1X-lJ(x-l)~

二1(I)),

x-l(x+l)(x-l)

1

x+1'

把》=百-1代入原式得.

原式_____1一且

田、—y——r~一,

V3-1+1V33

【点睛】本题考查分式化简求值，掌握分式化简求值的方法与步骤，会进行二次根式分母有理化是解题关

键.

17.为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其长度，在一天的抽检结

束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格：

编号123456789101112131415

长度

8.728.888.928.938.948.968.978.98a9.039.049.069.079.08b

(cm)

按照生产标准，产品等次规定如表:

长度（单位：cm）产品等次

8.97<x<9.03特等品

8.95<x<9.05优等品

8.90<x<9.10合格品

x<8.90或x>9.10非合格品

注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内.

（1）已知此次抽检产品的合格率为80%,则非合格品有个.

（2）已知此次抽检出的优等品长度的中位数为9cm.

①求。的值：

②将这些优等品分成两组，一组长度大于9cm,另一组长度不大于9cm,从这两组中各随机抽取1件进行

复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率.

【17题答案】

4

【答案】（1）3；（2）①a=9.02,②,

【解析】

【分析】（1）先计算合格产品数，样本容量与合格数的差就是所求；

ano10

（2）①根据中位数的定义少一=9,求。的值即可；②画出树状图，结合产品等级的标准计算即可.

2

【详解】（1）•••合格数量为：15x80%=12,.•.不合格数量为：15-12=3,

故答案为：3；

（2）①根据题意，得优等品有⑥〜⑪，中位数在⑧8.98,⑨。之间，

根据中位数的定义，得=9,

2

解得a=9.02；

②解：大于9cm的有⑨⑩⑪，小于9cvw的有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩

画树状图为：

共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种.

4

二抽到两种产品都是特等品的概率尸=工.

9

【点睛】本题考查了产品的合格率，中位数，画树状图求概率，熟练掌握中位数的定义，准确画树状图是

解题的关键.

18.某城市湿地公园内“天鹅湖”如图所示，湖中有两个小岛，其中菱形小岛的中心为N,圆形小岛的中

心为湖岸A,3两点间的部分恰好是以点N为圆心的一段弧.已知A,N,M三点共线，且AB的

40不

长为——米，测得N/W8=60。，NNBM=45。，求两岛中心的距离MN.（结果精确到1米，参考数据：

3

sin75°®0.97,cos75°«0.26,tan75°«3.73.72«1.41»y/3®1.73）

【18题答案】

【答案】约为108米

【解析】

【分析】利用弧长公式计算3N的长度，过点N作垂足为C,分别解直角三角形BNC和MNC

即可得解.

—」ga/u2兀♦NB40]

【详解】解：由题悬得：-------=----»

63

解得：NB=40.

过点AH、NC_LMB,垂足为C,在&ZWBC中,

•；ZNBC=45。,

：.NBNC=45°,

由sinNN8C=-^,得

NB

NC=NBsinNNBC=40xsin45°=2072.

又A、N、M三点共线，

ZMNC=180°-ABNC-ZANB=75°,

在RtNWNC中,

NC

•/cosZMNC=—,

MN

...KJNC2072,nc,来、

cosZ.MNCcos75°

答：湖中两岛的中心距离约为108米.

【点睛】本题考查了弧长公式，构造辅助线，解直角三角形，熟练掌握弧长公式，准确进行解直角三角形

的运算是解题的关键.

19.已知AABC是。。的内接三角形，为。O的直径.点。是。。外一点，连接AO和0。，。。与AC

相交于点E，且ODJ_AC.

(1)如图1,若AO是。。的切线，tanZBAC=1证明：AD=AB;

(2)如图2,延长。。交。。于点尸，连接C£＞，CF,A尸.当四边形ADC9为菱形，且NB4C=30°,

BC=1时，求。尸的长.

【19题答案】

【答案】(1)证明见解析；(2)3

【解析】

【分析】(1)根据垂径定理可得AE=EC=4AC,/。£4=90°,根据A8为。。的直径和切线的性质，可以

证明丝△ABC,进而可得结论；

(2)根据菱形的性质和含30度角的直角三角形，可以证明是等边三角形，然后根据菱形对，角线互相

垂直平分即可求出结果.

【详解】（1）证明：:AC为。。的弦，0D1AC,

：.AE=EC=-AC,

2

：A3是的。。直径，

ZACB=90°,即ZCAB+ZABC=90°,

•.•在HAABC中，tanABAC=-,

2

/.BC=-AC,

2

/.AE=BC,

：AB为直径，AO是。。的切线，

/.ZDAB=90°,即ZDAE+ZCAB=90°，

ZDAE=ZABC,

在Rt^ADE和RfABAC中，

VZDAE=ZABC,AE=BC,ZAED=ZBCA,

：.RtMDE冬RfABAC,

；•AD^AB；

(2)在放AA8C中，

VABAC=30°,则^4BC=ZAFC=60°,AC=BC-tan60°=

D

又四边形AOCE为菱形，则AF=FC,

/.AAFC为等边三角形，

即AC=FC=&，ZDFC=-ZAFC=30°,EC=-FC=—，

222

在RrACE/7中，EF=^FC2-EC2=-,所以。产=2M=3.

2

【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判

定与性质，圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识.

20.小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆.已知2盆盆景与1盆花卉的利润共330元，

1盆盆景与3盆花卉的利润共240元.

（1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？

（2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加

2元；花卉的平均每盆利润始终不变.

小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加尤盆，第二期盆景与花卉售完后的利

润分别为阴,%（单位：元）•

①含x的代数式分别表示叱，也；

②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？

【20题答案】

【答案】（I）一盆盆景和一盆花卉的利润分别为150元，30元；（2）①叱=一2/+50%+7500,

吗=-30x+1500,②当x=5时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是

9050元

【解析】

【分析】（1）设一盆盆景的利润为阳元，一盆花卉的利润为〃元，根据“2盆盆景与1盆花卉的利润共330

元，1盆盆景与3盆花卉的利润共240元”列出二元一次方程组求解即可；

（2）①由（1）知1盆盆景的利润为150元，（150-2%）为盆景增加x盆后每盆的利润，第二期有盆景（50+x）

盆，两者相乘即为死,由（1）知1盆花卉的利润为30元，第二期花卉有（50-x）盆，两者相乘即为W2；

②由*明+牝得出关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质求解即可.

【详解】解：（1）设一盆盆景的利润为阳元，一盆花卉的利润为〃元，依题意得：

2机+〃=330

m+3n=240

m-150

解得《”

〃=30

答：一盆盆景和一盆花卉的利润分别为150元，30元.

⑵①由题意可知：第二期盆景有（50+力盆，花卉有［100-（50+x）］=（50—x）盆，

所以叫=（50+x）（150—2x）=-2x2+50x+7500,

W2=30（50—x）=—30x+1500；

②根据题意，得：

卬=叱+%

=-2x2+50x+7500-30x+1500

=-2X2+20X+9000

=-2（X-5）2+9050

V-2<0,且x为正整数，

...当x=5时，W取得最大值，最大值为9050.

答：当x=5时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9050元.

【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和二元一次方程组在销售问题中的应用，理清题中的关系式、熟

练掌握二次函数的性质是解题的关键.

21.如图，已知顶点为。（0,-3）的抛物线丁=奴2+/7（。。0）与了轴交于4,B两点，直线了=》+机过顶点

C和点B

（1）求直线8C和抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点M,使得NMC5=15。，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

[21-22题答案】

【答案】（1）y=x-3；丁=；》2一3

（2）（3百6）或（3-2）；理由见解析

【解析】

【分析】1）把。（0,-3）代入直线中解答即可求出直线8C的解析式；把y=O代入直线解析式得

出点3的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；

（2）分〃在3c上方和下方两种情况进行解答即可.

【小问1详解】

解：将。（0,-3）代入y=

可得：m=-3,

二直线5c的解析式为y=x-3,

将y=O代入y=x-3得：x=3,

所以点3的坐标为（3,0）,

将（0,-3）,（3,0）代入丁=—+5中，

b=-3

可得：＜，

[9a+b=0

解得：[3,

b=-3

所以二次函数的解析式为：y=3；

【小问2详解】

解：存在，分以下两种情况:

①若M在5上方，设MC交x轴于点。，贝|1/06。=45°—15°=30°,

:.OD=OCtan300=y/3，

设。。为＞="一3,代入卜百,0）,可得：k=6，

y=y/3x-3

联立两个方程可得：\1,,

J=-X2-3

I3

%=0x,=3-\/3

解得：°，，

1）1=-3[%=6

所以Mi（3g,6）；

②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则NOCE=45°+15°=60°,

OE=OC-tan60°=3A/3，

设EC为尸质一3,代入（360）可得：k=与,

y=——x-3

联立两个方程可得：〈.3

y=—%2-3

I3

玉=0x2—5/3

解得：,

>2=-2

所以以便，-2卜

综上所述〃的坐标为06,6）或2了

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式,

直角三角形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

1

22.有这样一个问题：探究函数y的图象与性质，通过列表、描点、连线，画出函数的部分图象如

1-x

图所示，探究过程如下:

（1）函数>=」一的自变量X的取值范围是

l-x

（2）对于函数y,y与％的几组对应值如表:

X・・・-100.51.522.53•・・

0.5

y・・・0.5m12-2-1n-0.5•・・

在同一直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x,y）,并补全函数的图象（画出方格内部分

函数图象即可）.其中，加+〃=；

（3）观察图象，写出函数的一条性质：.

（4）结合图象填空：当关于X的方程」一=。有两不相等的实数根时，实数4的取值范围是；当关

1-X

【22题答案】

【答案】（1）（2）m+n=O,见解析