空间向量与立体几何小题（浙江省2021届高考模拟试题汇编（二模））（解析）

（浙江省2021届高考模拟试题汇编（二模））

空间向量与立体几何小题

一、单选题

1.已知空间中不过同一点的两条直线加，〃及平面a,贝心用，〃与平面a所成的角相

同”是“租//〃”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

根据线面关系及其性质，直接判断即可得解.

【详解】

当"?，"与平面a所成的角相同，Nl=/2,

而此时小〃不共平行，故机〃〃不成立，

反之m〃”，则m,〃与平面a所成的角相同成立,

故选：B.

2.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

B..

A.V2

72

C.

2

【答案】D

【分析】

判断出几何体的结构，从而计算出几何体的体积.

【详解】

由三视图可知，几何体是如下图所示三棱锥,

3.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体中长度为3cm的棱有（）.

A.0条B.1条C.2条D.3条

【答案】C

【分析】

由三视图求得直观图，在边长为2的正方体中画出该图形，分别求出各边长，即可得解.

【详解】

如图，在边长为2的正方体中画出其直观图为•:棱锥尸-ABC,

其中P为所在棱中点，

其中CP=4P="丁西F=3,

而3C=2近，BP=5

故选：C.

4.某四棱锥的三视图（图中每个小方格的边长为1）如图所示，则该四棱锥的体积为（）

A.4B-I

【答案】C

【分析】

根据三视图画出直观图即可求解.

【详解】

如图所示:

该四棱锥的一条侧棱垂直于底面且底面为正方形，其中高为2,底面正方形对角线的长

度为2.直观图如图所示,

I4

PA=2,AC=2,正方形AB8的面积为2,所以该四棱锥的体积V=±x2x2=2.

33

故选：C.

5.我国古代科学家祖冲之之子祖眼在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幕势既同,

则积不容异"（“哥”是截面积，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，如在等

高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图

所表示的几何体满足“幕势既同”，则该不规则几何体的体积为（）.

2

正视图侧视图

,俯视图

A.8-兀B.8—2兀C.12-2兀D.12-71

【答案】C

【分析】

根据三视图转换为直观图可得该几何体由长为3,宽为2,高为2的长方体两头挖去两

个半圆柱组成，即可求出体积.

【详解】

根据几何体的三视图转换为直观图如图所示，该几何体由长为3,宽为2,高为2的长

方体两头挖去两个半圆柱组成.

则可得该几何体的体积为2x3*2-7x12x2=12—2%,

根据“基势既同，则积不容异”规则可得该不规则几何体的体枳为12-2九

故选：C.

6.正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图

所示，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（）

A.2石B.2#C.2币D.i

【答案】D

【分析】

根据侧视图得侧棱长与底面的高，结合垂直关系即可求解正视图的腰长.

【详解】

将正三棱锥置于-长方体中如图所示：

则正视图为AMEF，由侧视图可得MG=2HAD=3g

由于0为底面中心，所以即=；AD=6,乂MD=MG=2币

所以正视图的腰长EM=y/MD-ED?=J28-3=5

故选：D

7.已知点A、3在平面a的两侧，且点A、3到a的距离分别为3和5,则AB的中点

到a的距离为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】

由线面垂直性质得到线线平行，将空间点面距离转化为平面线段长度，再由平面中点坐

标公式求解即可.

【详解】

如图，设A8的中点为C,过A、8分别作平面a的垂线，垂足为A'B'.

则A47/88',四点共面.过C作CC_LA'&,垂足为C',则CC7/A4',

又A4'J_a，则CC」a.即C'C即为所求点到平面a的距离.

在平面A4'38'中，A'A=5,BB'=3,C为A8中点，则C'C=一-3+二5=1.

2

故选：D.

【点睛】

立体几何中点面距离求解的常用方法有：一是“找——证——求''三步法；二是等体积法;

三是法向量法.

8.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：。1^）是（）

D.14

【答案】C

【分析】

首先还原儿何体，再根据体积公式计算结果.

【详解】

该几何体是如图所示的三棱台，上底面的面积s=gx2x1=1,下底面的面积

/=1X4X2=4,贝lJ几何体的体积V=gx(l+4+^/i^)x2=T.

故选：C

9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()

俯视图

A2后fz「8白n

A.---BR.20、/3C.---D.----

333

【答案】D

【分析】

由三视图可得该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥后所得几何体，结合题中数据,

由体积公式，即可求出结果.

【详解】

由三视图可得，该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥D-A4G后所得

几何体（如图），

B

则其体积为丫=匕8c…G-b.G=gx2x百x4qx；x2xgx2=#>/5.

故选：D.

10.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm'）是（）

【答案】A

【分析】

利用三视图画出直观图可得几何体的体积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是下面为棱长等于2cM的正方体，

上面是与正方体同底有一侧棱与底面垂直旦高2c机的四棱锥的组合体,

132

如下图，所以几何体的体积为：23+-x2x2x2=—CTO3.

33

故选：A.

11.已知直线/,加和平面a()

A.若〃/m,相ua,则〃/aB.若〃/a,mcza,则〃/机

C.若/_La,mua,贝!D.若/±a>则〃2_l_a

【答案】C

【分析】

根据线面关系的判定定理和性质分别判断即可;

【详解】

对A,若〃/m，，〃ua,则〃/a或/ua,故A错误；

对B,若IHa,mua,则〃/机或/，盟异面，故B错误；

对C,若/_La,则由线面垂直的性质可得，_L能，故C正确;

对D,若/_L〃z,/±a,则，”//a或mua,故D错误.

故选：C.

12.如图，在等腰梯形A8CO中，AB=2AD=2BC=2CD=4.现将△■Q4C沿对角线AC

所在的直线翻折成△“<?,记二面角。AC—B大小为a(O<a<7t),贝！］().

A.存在a,使得。4,平面DBCB.存在a,使得。8c

C.不存在使得平面ZyAC，平面ABCD.存在a,使得平面平面45C

【答案】B

【分析】

利用反证法可判断A；对B,寻找特殊值a=90。，证明此时O'ALBC可判断；对C,举

反例，当*=90。时，平面O'ACJ■平面ABC;对D,利用反证法可证明.

【详解】

取A8中点E,连接OE,交AC于F,因为A6=2AZ)=23C=28=4,

所以AAERABECAEBC都是等边三角形，所以ACLEO,/ZMC=NBAC=30,，

ZACB=90.

在翻折过程中，AC1D'F,AC1FE,所以—=

对于A,假设存在a,使得£M_L平面。2C,因为£>'Cu平面。BC,

所以DALO'C,与和。‘。成60,角矛盾，故A错误；

对B,当a=90时，平面O'AC_L平面4BC,因为BCLAC,所以平面。'AC,

又因为ZX4u平面O'AC,所以所以存在a,使得D'ALBC,故B正确；

对C,当a=90时，平面OACJ•平面A8C,故C错误；

对D,假设存在a,使得平面。平面ABC,过W作于M，

因为平面ZMSc平面ABC=AB,所以DMJL平面48C,

因为ACu平面ABC,所以AC，。"，

又因为AC_LZXF,iyFr>D'M=iy,所以ACJ_平面。必，

又因为依u平面。叱，所以ACJ.F70,

又因为AC_LFE,所以BW与尸E重合，

即M与E重合，此时ZD'EF=90，

与ND'EF为等腰AEE。的一个底角矛盾，故D错误.

故选：B.

D'

【点睛】

关键点睛：本题考查二面角的概念问题，解题的关键是正确找到二面角。'-AC-8.

13.在三棱锥P-A8C中，4MC=60。，4PAB=NPAC=9,二面角8-m一C的大小

为a,则凡a可能是()

A.。=3()°,a=6()°B.0=45°,«=60°

C.0=45°,a=90°D.6=60°,a=90°

【答案】C

【分析】

作出符合题意的图形，对于选项A、B：

山。=60。时，进行推理，得到OC=4C,矛盾，故a#60。，A、B错误：

对于选项C、D：

当a=90。时，BP?BDCa=90?.计算出N^4B=N^4C=45。，同理可求NPAC=45。.即

可判断

【详解】

如图示：

44C=60。，NPAB=NPAC=e,过。作P。垂直a于。，过。作。8垂直A8于8,

过。作OC垂直AC于C,由图形的对称性知：AB=4C,所以“ABC为等边三角形.

过8作BO垂直AP于。，连结CD,SJliJCD!PA,则N8DC=a

对于选项A、B：

a=60。时，△皿)C为等边三角形，所以BC=BD=C£>.

由AABC为等边三角形，得到8C=AB=AC,

所以。C=AC；而CO,办，所以OCHAC,矛盾，故a*60°,A、B错误;

对于选项C、D：

当c=90。时，即？BOCc=90?.不妨设8c=2,则AB=AC=2.

在J5DC中，BD=CD,NBDC=90。,由勾股定理得：BD=CD=&.

在△48。中，BDLAB,AB=2,BD=6，所以八0二中，"=>4-2=0,所以

NPAB=8=45°,同理可求NA4c=45。.故C正确，D错误.

故选：C

14.已知直线/,，〃，平面a,6,则（)

A.若lua,m〃I,贝|J〃z||aB,若/〃则

C.若/〃a,aA.p,则/_L〃D.若mua,lu0,1〃tn,则a〃/

【答案】B

【分析】

对ABCD,在长方体中一一验证：对ACD取返利否定，对B利用面面垂直的判定定理

证明.

【详解】

在长方体ABCD-EFGH中，如图示：

对于A：若lua,m〃i,则〃?||a,取平面ABC。为a,即直线48为/,CD为

则〃/，但是"2=。，所以相||«不成立，故A不正确；

对于B：因为/||a,作平面7,使得/U7,且aDy=m,由线面平行的性质可得：l\\m.

因为/，/7,所以机_L/?,又加所以故B正确：

对于C：若/〃a,aVp,KiJ/1/?,取平面ABC。为a,平面ADHE为£,直线EH

为/,此时满足“/〃a,a，万”，但是夕，所以不满足，故C不正确；

对于D：若〃zua,/<=£,/〃,“，则a〃夕，取平面48C£）为a,平面ADHE为夕,直线

BC为I,直线E”为布，此时满足“，〃ua,/u/7,/〃加，”但是a、尸相交，不满足a〃夕.

故D错误.

故选：B

【点睛】

要判断一个命题错误，举一个反例就可以了；要证明一个结论正确，需要严格的证明.

15.如图，PC_L平面斜线P。在平面a内的射影CO,A3是平面。内过点。的直

线，若/PO4是钝角，贝!J()

/c^^//

A.ZPOB<ZPOCB.ZPOA<ZAOC

C.ZPOC>ZBOCD.ZPOC>ZPBC

【答案】B

【分析】

过点C在平面ABC内作CH_LA3,垂足为点H,连接PH，比较各选项中两个角的同

名三角函数值的大小，由此可判断各选项的正误.

【详解】

过点C在平面A8C内作SLAB,垂足为点”，连接P”，

•.•PC_L平面ABC,ABu平面ABC,s.PCYAB,同理可知PC_LOC,

-,-CH1AB,尸Cnc〃=C,.•.A8_L平面PC”,

•.•P//u平面PC"，.•.AB，P〃，所以，cosNPO8=器，cosNPOC=合

■.■CH1AB,在RAOCH中,OH<OC,则cosNPOBvcosNPOC,

因为余弦函数，=8SX在（o,万）上单调递减，所以，ZPOB>ZPOC,A选项错误;

CHOH

易知ZBOC、NPQB均为锐角，>cosZPOB=—,cosZBOC=—

在HAPOC中，OCvOP,所以，cosNBOC>cosNPOB,

因为余弦函数y=cosx在（0,不）上单调递减，

所以，ZBOC<2POB,从而可得NPO4<NAOC,B选项正确；

orOH

因为cos/.POC=,cosZ.BOC=,

OPOC

由于器与器的大小关系不确定，无法比较NPOC与4OC的大小关系,C选项错误;

pcPC

因为tan/P8C=——，tanZPOC=——，

BCOC

由于OC、BC的大小关系不确定，无法比较ZPBC与NPOC的大小关系，D选项错误.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题考查角的大小的比较，解题的关键在于确定各选项中同名三角函数值

的大小关系，结合三角函数的单调性来比较各角的大小.

16.如图，长方形ABCZ）中，AB=—,4£）=1,点E在线段A8（端点除外）上，

2

现将AADE沿OE折起为AWDE.设ZA£）E=a,二面角H-DE-C的大小为户，若

JT

a+/3=~,则四棱锥A-BCOE体积的最大值为（）

A.-BCD.与l

4-112

【答案】A

【分析】

将棱锥A-BCDE的底面边长BE及高用含有«的三角函数来表示,根据体积公式写出

棱锥体积，整理化简后利用三角函数求最值.

【详解】

设过A与。E垂直的线段长为

则AE=tana,0<tana<,DE-—,〃=sina,

2cosa

则四棱锥A-BCDE的高刀=a•sin夕=sina•sinbsinacosa,

KO^A'-BCDE=§Xj

一tana+xlxsinacosa

：(V15-tana)xsinacosa

=sinacosa-sin2a)

sin2a+cos2a\-----

)12

I^sin2«+lcos2a1

34412

=；sin（2a+*）-\

四棱锥A-BCDE体积的最大值为g.

故选：A.

【点睛】

求解立体几何体枳的最值时.，一般需要将体积写为函数关系式或者是三角函数关系式,

进而利用函数求最值或三角函数求最值的方法求解其最值.

17.如图，矩形ABCO中，已知AB=2,8c=4,E为AD的中点.将AABE沿着BE

向上翻折至AA'BE，记锐二面角A，-BE-C的平面角为a,AB与平面8CDE■所成的角

为夕，则下列结论不可能成立的是（）

A.sina=>/2sinfiB.V2cosa=cos/J

C.a<2/D.a.-p>—

4

【答案】D

【分析】

先取BC中点为尸，判断四边形AB巫是正方形，再作A7/_LOFTH,证明a=NA'OF,

0=ZA'BH,分别再直角三角形中计算sina和sin/，比较即判断A正确；将选项A的

结论平方，结合二倍角公式和余弦函数的单调性，即判断C正确；计算cosa,cos#即判

断B可能成立；判断结合。＜2/，即得a—判断D错误.

44

【详解】

记8c中点为F,连接EF,连接AF与BE交于点。，依题意知四边形ABFE是正方形.

A'O±BE,OF_LBE,故锐二面角A'-BE-C的平面角为a=ZA'OF,

BE1平面AOF，过A作尸于”，则BEIA'H，

而BE,OF相交于平面BCDE内,

故A'4"L平面3CDE,故连接3/，则与平面3cDE所成的角为夕=44'8".

A!Hh

记A'”=〃，因为R/"TO”中,sina=

Rt^A!BH111»sin/?=q"=4，所以sina=J^sin/①，选项A成立;

AB2

将①平方得：sin，a=2sii?4，所以1-cos2a=20-cos/),cos2a=2cos2/7-1=cos2/?,

易见a,4都是锐角，则cos^avcosa，.,.cos2/7<cosa,而0<2£,a<r,

根据余弦函数的单调性可知，a<2/7,选项C成立；

OHBH

因为cosa=7^,cosp--^―,若使夜cosa=cos夕，则需2OH=BH,

即当NOB"=F，可以成立，即B可能成立；

6

另外，由a,夕都是锐角，且J^sin£=sina<l知，sinp<,知/<不.

7T

由选项C知。<24，；.a-/<2尸-尸=尸〈一，选项D错误.

4

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：

本题的解题关键在于熟知二面角和线面角的定义，并准确找出a,1},才能结合三角函

数及恒等变换等知识来突破难点.

18.如图，点M、N分别是正四面体A8CD棱AB、CO上的点，设直线"N与

直线8c所成的角为。，则（）

A.当ND=2CN时,。随着x的增大而增大

B.当ND=2CN时,。随着x的增大而减小

C.当CN=2ND时,。随着x的增大而减小

D.当CN=2ND时,。随着x的增大而增大

【答案】D

【分析】

分N£）=2CN和aV=2N£＞两种情况，分别过N作BC的平行线，可得直线MN与所作

的平行线成的角即为角。可得答案.

【详解】

当％。=2。％时一，如下图作N/7/BC交3。于尸点，所以直线MN呵直线8C所成的角即

为直线MN与直线NF所成的角，即NMNF=，,

设正四面体的棱长为3,则CN=BF=1,FN=2,

可求得MF=Ji-x+l,MN=VX2-3X+7，

5-x1I18-7x

所以在A/WM中，有cos6=1+--(xe[0,3]),

24-3。+72x~-3x+7

18-7x7X2-36X+5

令/(X)=则ra)=

X2-3X+7，-3X+7)2

7r2_qsrIc

3°'刃时,广(止后e有正有负,函数有增有减，

所以故A与B错误;

当CN=2ND时,如下图作NE〃BC交即于瓦点，所以直线MN与直线8C所成的角即

为直线MN与直线NE所成的角，即ZMNE=6.

同样设正四面体的棱长为3,则CN=B尸=2,FN=2,

可求得ME=々-2X+4-

AN=BN=不、

―/…，9+7-73

在AABN中,有cosZ.ABN=------广

2x3xj7而'

3

2

所以MN?=x+7-2xxxV7x'产=。2-3口+7即MV=&—3x+7,

2V7

4-x

所以在AMNE中，有cos6=1+若*23),

24-3x+72

9一5三5X2-18X-8

令/")=则ra)=<0,

x~—3x+7(/-3X+7)2

所以/(x)在定义域内单调递减，即x增大，/(*)减小，即cos。减小，从而。增大，故D

正确，C错误.

M

故选：D.

19.如图，在正方体ABCD-EFG〃中，尸在棱BC上，BP=x,平行于80的直线/在

正方形EFGH内,点E到直线/的距离记为d,记二面角为A-/-P为。，已知初始状

态下x=0,d=0,贝！|()

A.当x增大时，。先增大后减小B.当N增大时，。先减小后增大

C.当“增大时，。先增大后减小D.当d增大时，。先减小后增大

【答案】C

【分析】

由题设，以户为原点，户2,/?&/^为苍)，*轴建立空间直角坐标系，求出面4WN的法

/1r八r+乎-2."2.

C0SW(/=

向量而与面刖的法向量为3的夹角\7lzr.2对于

-x+旧-2+2

AB,令d=0,则cosO=分析函数单调性，结合余弦函数性质判断；对

于CD,令x=0时，化简整理得到,利用导数判断

函数丫=(/+4)[(4-夜)2+4的单调性，进而判断余弦函数的单调性，进而得解.

【详解】

由题设，以尸为原点，EB,FG,FE为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

设正方体的棱长为2,则P(2,x,0),A(2,0,2),

设直线I与EH,EF交于M,N,则M(0,0,2-0"),N(O,0d,2)

UUU_UUU1LUUULr~UUU_

则AM=(—2,0,—V2d)，AV=(—2,侬,0)，MN=Q,>l2d,yl2d)，PM=(-2,-x,2-yf2d)

设平面AMN的法向量为"?=(a,b,c),

-2a-42dc=0

th-AM=0令a=d,则2=(",也,-&)

m-AN=0-2a+6db=0

设平面产MV的法向量为3=(e,fg)，又

n~PM=0.-2e-xf+(2->/2d')g=0令f=l，则N(r+a2,f

n-MN=0'"[^2df+y[2dg=02

利用空间向量夹角公式得8S(〃?，j

<-X+-2>2

^+2

显然函数，=在x>0时为减函数,即cos。减小，则。增大，故AB错误;

2d+2后

对于CD,当x=0时，贝产s"cos(”)2

F竽［+2

(d-@d+4(d-何/+8i(d-&)+i6

J7+4.d—>/2)+4一可建+4阳可+/+16

Q"2-@+4>0,令y，=0,得公孝

故当o<“<立时，y<o,函数单减，即cose单减，。增大；当〃>也时，y>o,

22

函数单增，即COS。单增，。减小；故当d增大时，。先增大后减小

故选：C

【点睛】

方法点睛：本题考查面面角的求法，利用导数判断函数的单调性，即余弦函数的性质,

利用空间向量求立体几何常考查的夹角:

设直线/,根的方向向量分别为£出，平面的法向量分别为则

II

a-b

①两宜线/,，〃所成的角为。(0<"-),COS6=H

2ab

rr

a-u

②直线/与平面所成的角为。

a(0404]),sine=M’

u-v

③二面角的大小为研，乃川

a-/-6044cosO|¥,

二、填空题

20.如图，在棱长为4的正方体中，M是棱AA上的动点，N是枝BC

的中点.当平面D、MN与底面A5CO所成的锐二面角最小时，,

【答案】|

【分析】

建立空间直角坐标系，分别得到平面RMN、平面A8CD的法向量，然后按照公式出算

进行判断即可.

【详解】

如图

设M(4,0,a)(0Va44),N(2,4,0),Q(0,0,4)

丽=(_2,4,n),丽=(2,4,Y)

设平面RMN的一个法向量为5=(x,y,z)

,—[二("a"

n-MN=0J-2x+4y-az=0"4

.元.麻=0=12x+4y-4z=0=]_(a+4)z

'―_8-

令z=8,x=8-2a,y=a+4,则〃=(8—24,4+4,8)

平面4?CD的法向量的一个法向量为)=(0,0,1)

设平面D\MN与底面ABCD所成的锐二面角为6

所以cos0=pipi=/,------------=/,=1

|〃||%|J(8-2a)"+(a+4),5〃--24a+144

24122

当。=记=(时，cos。有最大，则夕有最小，所以AM=g

Q

故答案为：—

三、双空题

21.某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的表面积是co?,体

积是cmJ.

侧视图

俯视图

【答案】20+4石8

【分析】

画出原儿何体图形后将其转化为直三棱柱求解即可.

【详解】

由三视图作出原图形如图所示，

原几何体为底面是边长为2cm、4cm的直角三角形，高为2cm的直三棱柱;

其表面积为S=2x(1*2x4)+4x2+2x2+2x7^TF=20+4&m2；

体积为丫=1]2*4卜2=853.

故答案为：20+4括;8.

4

22.已知圆台的体积为电互cn?,母线长为3cm,高为20cm,则圆台的侧面展开

图(扇环)的圆心角的大小为,它的侧面积为cm2.

2兀

【答案】y9兀

【分析】

设圆台的上下底面半径为r,R(R>「)，利用圆台的体积公式得到7?2+/+母=7,再根

据勾股定理得到R-r=l，联立可得，=1,R=2,则可得圆台的侧面积，在侧面展开图中

可求出圆心角.

【详解】

设圆台的上下底面半径为r,R(R>r),

则［乃x2&(R?+r2+Rr)=此后，化筒得R2+r2+Rr=l,