贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（理）试题

毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分

钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填写在答题卡相应位置上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束，监考员将答题卡收回.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

（1）已知复数z=/+a+（a+i）i为纯虚数，则实数。的值为（）

A.OB.0或一1C.lD.-1

（2）设集合A={—2,—1,0,1,2},B={X|2X2-5X<0）,则（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-2,-1,0}D.{-2,-1}

（3）已知数列{%}的通项公式为=2",则％-。2+%-。4++。9一。10的值为（）

c,cio八co八2（1+210）2（1-2'°）

A.2（2'°-1）B.2（2'°+1）C.--------D.—-------

33

（4）某营救小组有48人，需要乘船过河去执行营救任务，现从甲、乙两种型号的船中选择一种.甲型号的船

比乙型号的船少5艘.若只选择甲型号的，每艘船载4人，则船不够；每艘船载5人，则有船没有载满.若只选

择乙型号的，每艘船载3人，则船不够；每艘船载4人，则有多余的船.甲型号的船有（）

A.9艘B.10艘C.11艘D.12艘

（5）己知向量4=。2-3,幻，6=（2,1），则“x=3”是“。与人同向”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（6）图（1）是由正方形A8C。和正三角形小。组合而成的平面图形，将三角形布。沿AO折起，使得平面

孙平面ABCD,如图（2）.则异面直线P8与OC所成角的大小为（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

(7)如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼.太极图展现了一种相互转化，相对统一

的和谐美.若函数/(无)的图象能将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称/(%)为这个圆的一个“太极函

数”.已知函数/5)=/+法2+3%是圆(x—l)2+(y_l)2=1的一个太极函数，若函数

g(x)=/(x)7nx+12有两个极值点，则实数机的取值范围为()

A.(0,+oo)B.[0,+oo)C.(-oo,0)D.(-oo,0]

(8)给出下列命题：

①函数/(x)=2，-Y恰有两个零点；

②若函数/(%)=X—@+0在(1,+8)上单调递增，则实数。的取值范围是[-1,+8)；

x4

③若函数/(X)满足/(x)+/(D=4,则/瑞)+/用++/图=18；

④若关于x的方程2国-利=0有解，则实数m的取值范围是(()/].

其中正确的是()

A.①③B.②④C.③④D.②③

(9)己知点P在直线/:3尤+4)，-33=0上，过点P作圆C:(x—1)2+V=4的两条切线，切点分别为4,8,

则圆心C到直线AB的距离的最大值为()

124

A.-B.-C.1D.一

333

(10)正方体ABC。-44GA的棱长为加，点M为44的中点，一只蚂蚁从M点出发，沿正方体表面

爬行，每个面只经过一次，最后回到M点.若在爬行过程中任意时刻停下来的点与M点的连线都与AC,垂直,

则爬行的总路程为()

A.672B.6C.3A/3D.3

(11)已知。=3k)g83,h-——log116,c=log45,则a,b,c的大小关系为()

25

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a

(12)已知居为双曲线C的两个焦点，以坐标原点。为圆心，半径长为11的圆记为。，过耳作£)

3

的切线与C交于M,N两点，且cos/6N居=g,则C的离心率为()

8石+44岔+88昌496+3

--n-1-13-,-n---13-

第ii卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第

22、23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

(13)(0x-y)5展开式中的系数为(用数字作答)

(14)勒洛三角形是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作圆弧，三段圆弧围

X2y2

成的曲边三角形(如图)，己知椭圆上+q=1((0<8<2)的焦点和顶点能作出一个勒洛三角形，则该勒洛

4b

三角形的周长为

TT

(15)已知函数y=sins(勿〉0)在区间0,—上恰有两个零点，则”的取值范围为.

a,+2,〃为奇数1

(16)已知数列｛%｝满足％=1则数列《>的前n项和为.

4+1,”为偶数.(“2"+2)

三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本题满分12分）2022年11月21日到12日18日，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某机构

将关注这件赛事中40场比赛以上的人称为“足球爱好者”，否则称为“非足球爱好者”，该机构通过调查，

并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）：

足球爱好者非足球爱好者合计

女2050

男15

合计100

（D将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为足球爱好与性别有关？

（II）现从抽取的女性人群中，按“足球爱好者”和“非足球爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然

后再从这5人中随机选出3人，记其中“足球爱好者”的人数为X,求X的分布列和数学期望.

,,,n(ad-bc]

附：K-----------77----\7-----7，其中"=Q+8+C+4.

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

0.100.050.0250.0100.0050.001

P（片法）

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

ko

（18）（本题满分12分）已知△ABC的内角A8,C的对边分别为a,b,c.若"cos-----=csinB.

2

（I）求角C；

（ID若c=JL求8c边上的高的取值范围.

（19）（本题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，出，底面ABC。，AB=6夜，4）=6,

M,N分别为C£>,的中点，K为布上一点，PK=、PA.

3

（I）证明：B,M,N,K四点共面;

（II）若PC与平面ABCQ所成的角为工，求平面BMNK与平面必。所成的锐二面角的余弦值.

6

(20)(本题满分12分)已知函数/(x)=(a-x)lnx.

(I)求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(II)证明：当。>0时，函数/(%)存在唯一的极大值点.

(21)(本题满分12分)设抛物线。：丁2=2内(〃>0)的焦点为凡点。(2p,0),过F的直线交C于M,N

两点，当直线MO垂直于x轴时，|=5.

(I)求C的方程；

(II)在x轴上是否存在一定点Q,使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

从①点N关于x轴的对称点N'与M,。三点共线：②x轴平分NMQV这两个条件中选一个，补充在题目中

处并作答.

注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡

上把所选题目对应题号的方框涂黑.

fx=t

(22)(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xO)，中，曲线a的参数方程为：\,_?

2

[y=yl4-t

(t为参数)，以坐标原点O为极点，尤轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

TT

psin(8+1)=4.

(I)求曲线G的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

TTTC

(II)在极坐标系中，射线e=—(p20)与曲线G交于点A,射线。=一(夕20)与曲线C,交于点B,求LAOB

36

的面积.

(23)(本题满分10分)选修4-5；不等式选讲

已知函数.f(x)=|a-x|+|x+2|.

(I)当a=l过，求不等式/(%)44的解集；

(II)若/(x)>—2a恒成立，求实数。的取值范围.

毕节市2023届高三年级诊断性考试(一)

理科数学参考答案及评分建议

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

题号123456789101112

答案ADDBCCADBBAC

二、填空题

13.-2014.2%15.[2,4)16.--------

6〃+4

三、解答题

17.解：⑴

足球爱好者非足球爱好者合计

女203050

男351550

合计5545100

/\2

个_100x（20x15-30x35）__100〜91

八55x45x50x50一五〜,

9.1>7.879

,能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为足球爱好与性别有关.

（II）依题意，抽取的5名女性人群中，是“足球爱好者”的有2人，是“非足球爱好者”的有3人,

则选出的3人中“足球爱好者”人数X的取值为0,1,2,

P（x=o）=^^」，P（X=l）=^-^-=~,P（x=2）=^^=—

3

Cl10Cl5C510

X的分布列为:

X012

P

133

10510

.♦•X的数学期望为：£(X)=0x—+1X-+2X—=-

105105

18.解：(I)由正弦定理，及A+3=%-C

所以sinBcos———=sinCsinB,

2

ccc

sin8sin—=2sin—cos—sinB,

222

(JTT

因为ABC(O,幻，y£(0,y),

所以sinbHO,sin—AO,

2

C1

那么cos—=一，

22

C_7t

=,

23

3

(ID过4点作8c的垂线，垂线与BC延长线交于点。,

在△ABZ)中，AD=ABsinB,即〃=csin5,

7T

因为8e(0,1),

所以5泊6€(0,事)，

/z=V3sinBe(O,|)

19.(I)证明，连接AC交8M于E,连接KE

VR边形ABCD是矩形，M为CD的中点

」.CM〃AB且CM=-AB

2

•_C_E___C__M___1

"AE~AB~2

PK=-PA

3

PK=-KA

2

PKCE

"~KA~~AE

KE//PC

,：M,N分别是CD,PO的中点

MN//PC

:.KE//MN

：.K,£,M,N四点共面

BeEM

(II)AB=672,AD=6,PC与平面48CZ)所成的角为工

6

...AP=6

以AB为x轴，4。为)，轴，4P为z轴建立空间直角坐标系

A(0,0,0),8(60,0,0),M(30,6,0),K((),0,4)

BM=(一30,6,0),BK=(-672,0,4)

二平面BMNK的一个法向量为&=(0,1,3)

平面PAD的一个法向量为%=(1,0,0)

设平面BMNK与平面玄。所成的锐二面角的大小为0

cose

时•同6

二平面B/WNK与平面玄。所成的锐二面角的余弦值为逅

6

20.解:⑴根据题意,

函数/(X)的定义域为(0,+8)

/⑴=0，

f\x)=-\nx^--~~-

x

・,・八1)=。-1

・・・曲线/(x)在点(1,/(I))处的切线方程为y=(6/-l)(x-l)

/、“、1a-x-xlnx-x+Q

(II)/(x)=-lnx+----=------------

xx

令g(x)=-xlnx-x+。

g\x)=-\nx-2

令g'(x)=。nx=二

e

g\x)>0=>0<x<^-

e

g'(x)<Onx>-4

e

.•.g(%)在(0,2)为增函数，在」7，+oo］上为减函数，

e-Le-)

当时，g(x)=—x(lnx+1)+。>0恒成立，

当X£(―^,+oo)时，6Z+1>1>—^

g(a+l)=-(4+l)ln(a+l)+a-(〃+l)<0

.♦.存在唯一的玉)6(5，。+1),使得g(』)=0,即/'(③)=()

且当xed，/)时，g(x)〉O,即,(x)〉0

e~

当X£(Xo，+8)时，g(X)<0,即f*(X)<0

即/(%)存在唯一的极大值点％.

21.解：（I）解：（1）设点M到抛物线的准线距离为M4

根据定义，当直线垂直于x轴时

\MF\=\MH\=^+2p=5

p=2

抛物线方程为：y2=4x.

（II）若选①，若直线轴，则该直线与曲线C只有一个交点，不合乎题意,

VF（1,0）,设直线的方程为：x=my+\

设”（内，凹）,'（々，必），

[x=my+\

联立《9

y=4x

得/一4机y—4=0,△=16加2+16>0恒成立

得X+%=4，〃，=-4

则N'（马,—%）•

士心……人八―必4m4m

，y+7244y2.1

直线MN的斜率kMN,==-------=-----=----=-7-，

西一々斗一々加（>/％）K+4

1X

直线MV的方程为y-X=-4^-（X-％,

-y+4

由尤甘

化简得y=¥—（x+1）

'K+4

...直线脑V'过定点（—1,0）,

存在。（一1,0）

若选②，若直线MN_Ly轴，则该直线与曲线C只有一个交点，不合乎题意，

,F（l,0）,设直线MN的方程为：x=my+\

设N(x2,y2),设。(r,0)

得/一4/2—4=0,△=16根2+16>0恒成立

得X+%=4，〃，乂以二-4

轴平分/MON

.k+k一XI.一XI%

MQNOxt-tx2-tmy}+1-Zmy.,+1-z

：弘(阳2+1—»)+%(，盯+1-7)_2/盯%+(l—f)(X+)'2)

(my+\—t^my2+1—/)(my+l-/)(/ny2+1-/)

一8根+4加(1一。

=----------------------二(),

?

(m>j+