第3章-地基土的应力

第三章地基土的应力1第一节概述土体在建筑物或构筑物等外荷载作用下将产生应力和变形，如果土体的变形过大，则会影响工程的正常使用，甚至会使土体发生整体破坏而丧失稳定性。因此，在工程实践中，必须弄清楚土体中各点应力的大小及分布规律，计算出地基土的沉降变形量，使地基土的实际沉降变形量控制在上部结构安全和正常使用的允许范围之内。

2土体中的应力可以分为两部分，一部分为自重应力，另一部分为附加应力。*自重应力——指建筑物或构筑物在建造之前，由土体自重引起的应力。一般来说，对于天然沉积的土层，经过漫长的地质年代，土体已沉降稳定，所以自重应力不会引起土体的变形，但对尚未沉降稳定的新近沉积粘性土、人工填土等欠固结土，自重应力会引起土体的沉降变形。*附加应力——指由于建筑物或构筑物等外荷载的作用，在土体中引起的应力。

附加应力是超出自重应力的那部分应力，附加应力使地基土体产生沉降变形。3土体是由固体颗粒、孔隙水、孔隙气三部分组成的三相体，所以，土体具有其他材料所没有的特殊性。对无粘性土，土体为弹塑性体；而对粘性土，土体一般为粘弹塑性体，由于其性状不同，所以其应力、应变关系也比较复杂，土体的应力、应变关系一般为非线性的，如图3－1示。本章在研究土体的应力、应变关系时，通常把土体假设为均匀的、连续的、各向同性的线弹性体，用J．Bossinessq解来求地基中的应力，这与工程实际有出入，但当荷载较小时，根据弹性理论计算的应力值与现场用压力盒观测到的应力值比较接近，由此产生的误差满足工程设计所允许的范围。

45自重应力是指建筑物或构筑物在建造之前由土体本身的自重引起的应力，自重应力是土粒间传递的应力，也称有效自重应力，简称自重应力。在计算土体的自重应力时，假定地基土体为半无限体（半空间），即土体在水平及竖直方向均无限延伸，由弹性力学的知识知道，土体中任一水平面及竖直面上只有正应力而无剪应力。

第二节土的自重应力6对于天然重度为γ的均质地基土体，在天然地面以下z深度处，任取一土柱体，假设土柱体的横截面积为A，则土柱体的重量为由于土体的水平面及竖直面上无剪应力存在，所以，由于土柱体的自重在Z深度处的水平面上引起的自重应力为

78对均质土，γ为常数，所以自重应力的分布为一直线，其分布图形为一直角三角形。在天然地面以下z深度处，由土体的自重而产生的水平向正应力，称为土的侧压力，土的侧压力按下式计算式中k0x——x向土体的侧压力系数；

k0y——y向土体的侧压力系数。且σcx=σcy

9对多层土组成的地基，在天然地面以下任意深度处的自重应力可以按下式计算式中γi——第i层土的天然重度，地下水位以下取浮重度；

hi——第i层土的厚度。10多层土组成的地基土体，其自重应力的分布为一折直线，若在计算深度范围内，如果有不透水层（致密岩石层或很厚的坚硬粘土层）存在，则土的自重应力还应加上由水产生的压力，即

式中γw——水的重度；

hi——地下水位面至不透水层面的距离。11建筑物或构筑物及其基础的自重等外荷载通过基础的底面传给地基，基础底面对地基土体的压力称为基底压力p；相反，地基土体对基础底面的支撑力称为基底反力q，二者是一对作用力与反作用力。

第三节基底压力（接触应力）的计算12 实际上，地基与基础及上部结构是共同工作的，基底压力不仅受到地基土刚度的影响，而且也直接与基础本身的刚度有关。理论上，基础按其刚度大小可分为柔性基础、刚性基础和半刚性基础。

柔性基础——指在外荷载作用下基础的变形与地基土表面的变形相一致，即基础随地基一起变形。当中心受荷时，基底压力均匀分布，如路堤、土坝及油罐薄板等。刚性基础——指基础本身的刚度远远超过地基土的刚度，在外荷载作用下基础本身不发生变形，在中心荷载作用下，基础底面的沉降均匀。砖、石、混凝土和钢筋混凝土等大块式整体基础均可看作刚性基础。半刚性基础——指刚度介于柔性和刚性之间的一种基础，在外荷载作用下，基础本身也发生弯曲变形，钢筋混凝土薄板基础可看作是半刚性基础。1314大量的实测资料表明，对刚性基础，当基础所受的外荷载较小时，基底压力为两端大、中间小的马鞍型分布，随着外荷载的增大，基底两端点及中部的压力不断增大，形成抛物线分布；当荷载进一步增大时，基底中部的压力也进一步增大，基底压力的分布变为钟型分布。决定基底压力的大小及分布的因素不仅与荷载的大小有关，还与地基土的种类、基础的埋深及基础底面尺寸有关，如果把这些因素都考虑进去，则基底压力的大小及分布的确定将不是一件容易的事。在地基基础设计中，一般采用基底压力的简化计算方法，即假设刚性基础本身不变形，基础底面保持一平面，则基底压力的分布为一直线，大量的工程实践表明，这样简化的结果是可行的。15

一．中心受荷作用 如图，有一基础，受中心荷载作用，设基础的底面积为A、埋深为d、室内设计地面到基础底面的距离为h，由简化计算方法知：基底压力的分布为一水平直线，则基底压力的大小可用下式表示

P=(F+G)/A式中P——基底压力；

F——上部结构荷载传至基础顶面的设计值；

G——基础及上部覆土的自重，G=γGAd

γG——基础材料及其上部覆土的平均重度，一般取

γG=20kN／m3；

d——基础的埋深。d=（D十h）／2；16二、偏心受荷作用如图，有一基础，受偏心荷载作用，此时，基础一般设计成矩形基础底面，设基础底面的长度为l，宽度为b，基础自重为G，由材料力学的偏心受压原理知，基底压力的大小可用下式表示式中P(X、Y)——（X、Y）点的基底压力；

∑Mx、∑My——分别为偏心荷载对x轴、y轴的合力矩；

Ix、Iy——分别为基底面积对x轴、y轴的惯性矩。17

一般常见的偏心荷载主要作用于矩形基础底面的长边方向上，则基底压力可按下式计算：

作用于基础底面两端点基底压力的最大（最小）值为式中W——矩形截面抵抗矩，W=bl2／6；

e——荷载合力的偏心矩，∑M=（∑F＋G）×e。将W、∑M代入上式

1819下面分析基底压力分布的三种形式： 当1-6e／l＞0，即e＜l／6时，Pmin＞0，则基底压力的分布图形为梯形； 当1-6e／l＝0，即e＝l／6时，Pmin＝0，则基底压力的分布图形为三角形； 当1-6e／l＜0，即e＞l／6时，Pmin<0，则基底压力的分布图形也为三角形。 从理论上讲，Pmin＜0说明基础底面一侧出现了拉应力，而基础底面与地基土体之间不可能存在拉应力，实际上此时基础底面受拉一侧已与地基脱开，则拉应力消失，因此基底压力要重新分布，基底压力重新分布后的图形仍为三角形分布，重新分布后的最大基底压力计算如下：20三、基底附加压力一般建筑物及构筑物的基础要有一定的埋深，其原因是一方面为保护基础，另一方面为保证上部结构的稳定性。在未开挖基坑土石方前，基础底面已存在自重应力，因此，在计算地基土体的沉降时，不应该直接用基底压力来计算，而应该用扣除基础底面自重应力后的压力，即基底附加压力来计算地基土体的沉降，基底附加压力P0

按下式计算：

式中P0——基础底面的附加压力；

P——基底压力；

γ0——基础底面以上各土层的加权平均重度，地下水位以下用浮重度。2122

地基中的附加应力计算是指地基土体内任一深度处任一点的附加应力，为了求得地基中附加应力的大小及分布，假设地基土是均匀、连续、各向同性的弹性半空间，即地基土中各点的变形模量E及泊松比μ相同。采用弹性理论来计算地基土中的附加应力。下面先介绍集中荷载作用下地基中附加应力的求法，然后介绍线荷载及面荷载下地基中的附加应力。第四节地基中的附加应力计算23一、集中荷载作用下地基中的附加应力

此课题首先由法国学者布辛捏斯克（J．Bossinessq）于1885年提出。设有一竖向集中力F作用在均匀、连续、各向同性的弹性半空间表面上。则由于集中力F在地基中任意点M（x、y、Z）产生的应力和变形分别为242526在工程实践中，用途最广泛的是J．Bossinessq的竖向附加应力公式σz，从而利用来σz求地基土的竖向变形，下面讨论点的大小及分布规律：式中K——集中荷载作用下的竖向附加应力系数。K值取决于r／z，为计算方便起见，见表2-1。27

由公式σz=KF／z2可知，当深度z一定，在r=0处的附加应力σz最大，随着z的逐渐增大，附加应力σz逐渐减小，见图；当距离r一定，随着深度z的增加，附加应力σz逐渐减小，见下图，土中应力分布的等值线见图，这就是土中应力的扩散现象。 但当r=0，z=0时，即集中荷载F的作用点处，附加应力σz为无穷大，这说明用弹性理论推导出的应力公式不适合于集中力附近点的附加应力计算，实际上，该点土体已出现了塑性，因此，用弹性理论将得出不合理的结论。

2829 当有几个集中力同时作用于地基土表面时，可采用应力叠加原理，把每个荷载在M点产生的附加应力叠加起来，则

式中K1、K2、…、Ki——分别为各集中荷载作用下的竖向附加应力系数；

n——集中荷载的个数。30二、矩形荷载作用下地基中的附加应力建筑物或构筑物的荷载都是通过一定尺寸的基础传给地基土体的，实际工程中，绝大多数是面积荷载，而集中荷载是少见的。又基础的底面形状大多是矩形的。前面已讲过，矩形基础基底压力的分布为均匀分布，矩形基础受单向偏心荷载时基底压力的分布图形为梯形，为了便于理解，把梯形荷载分解成两部分，一部分为均市的矩形荷载，另一部分为三角形分布的矩形荷载。我们分别计算出均布的矩形荷载和三角形分布的矩形荷载在地基中产生的附加应力，然后叠加起来，即为梯形分布的矩形荷载在该点产生的附加应力。31

1．均布的矩形荷载角点下的附加应力 如图，有一矩形基础底面，长为l，宽度为b，基底附加压力为P，在矩形基础底面上，任取一微面积dA=dxdy，其上作用的均布荷载可用集中荷载dF代替，dF=P0dxdy，由微集中荷载dF在M（0、0、Z）点产生的微附加应力为：

3233整个矩形面积荷载在M（0、0、Z）点产生的附加应力可用积分法求得式中Kc——均布的矩形荷载作用角点下的竖向附加应力系数，按m及n值查表2－2；

l——基础底面尺寸的长边；

b——基础底面尺寸的短边；

P。——基底附加压力。34

2．均布的矩形荷载任意点下的附加应力知道了矩形基础角点下的附加应力以后，就可以用角点法求矩形基础底面以内及以外任意点下任意深度处的附加应力，具体计算方法如下：若求某点下任意深度处的附加应力，首先利用作辅助线的方法，划分为若干个小矩形面积，把该点变为各小矩形面积的角点，利用角点法分别求出各小矩形角点下的附加应力，然后叠加起来。用角点法求任意点下的附加应力，可分成如下四种情况：3536

（1）基础底面边线上任意点下的附加应力。如图（a），作一辅助线将基础底面划分为I、II两个矩形，I矩形的尺寸为l1×b，II矩形的尺寸为l2×b，则M点既是I矩形的角点又是II矩形的角点，I、II两个矩形在M点产生的附加应力分别为

式中Kc1

、Kc2——分别为I、II两矩形角点下的附加应力系数，分别由l1/b、z/b和l2/b、z/b查表2-2求得。值得注意的是：l1＞b，即l1为长边，b为短边；若l1＜b，则应由b/l1；、z/l1

查表2-2求得，即l始终是长边，b始终是短边。以下如遇此种情况，按此种方法处理。则整个矩形荷载在M点下产生的附加应力应为I、II两个矩形在M点产生的附加应力之和，即

37（2）基础底面内任意点下的附加应力。如图（b），作两条辅助线，将基础底面划分为I、II、III、IV四个矩形，这四个矩形的尺寸分别为：l1×b1、l2×b2、l3×b3；、l4×b4；则M点分别是这四个矩形的角点，它们在M点产生的附加应力可由角点法分别求出

式中Kc1、Kc2、Kc3、Kc4——分别为I、II、III、IV四个矩形角点下的附加应力系数，分别由各自的长短边之比、深宽比从查表2－2求得。由叠加法知：整个矩形荷载在M点下产生的附加应力应为I、II、III、IV四个矩形在M点产生的附加应力之和，即

38(3)基础底面边线外任意点下的附加应力。如图（C），作四条辅助线，则出现四个矩形：AMCDA、AMKBA、EMCFE、EMKHE，M点分别为这四个矩形的角点，先算出矩形AMCDA在M点下产生的附加应力σz1=Kc1P0，再算出矩形EMCFE在M点下产生的附加应力σz2=Kc2P0，则两者之差σz1-σz2；即为矩形AEFDA在M点下产生的附加应力。同理：算出矩形AMKBA在M点下产生的附加应力σz3=Kc3P0，再算出矩形EMKHE在M点下产生的附加应力σz4=Kc4P0，两者之差σz3-σz4。即为矩形AEHBA在M点下产生的附加应力，整个矩形BHFDB在M点下产生的附加应力为

式中Kc1、Kc2、Kc3、Kc4——分别为AMCDA、EMCFE、AMKBA、EMKHE四个矩形角点下的竖向附加应力系数。39（4）基础底面角点外任意点下的附加应力。如图（d），作图示的辅助线，规定：矩形AMDFA为I矩形，AMCGA为I矩形，BMDEB为II矩形，BMCHB为IV矩形，则矩形GHEFG在M点下产生的附加应力为式中Kc1、Kc2、Kc3、Kc4——分别为I、II、III、IV四个矩形角点下的竖向附加应力系数。40

3．三角形分布的矩形荷载任意点下的附加应力如图，有一三角形分布的矩形荷载，三角形分布荷载边的边长为b，另一边的边长为l，荷载最大值为P0(1)零值边角点下的竖向附加应力:零值边角点下任意点M（0，0，z）处的附加应力的求法是：先求微面积dA在M点下产生的附加应力，然后再积分，即为整个矩形面积在M点产生的附加应力。4142在矩形基础底面上取一微面积dA=dxdy，其上的荷载可用集中荷载dF代替，则

dF在M点产生的附加应力dσz为

对整个矩形面积积分，则整个矩形面积在M点产生的附加应力为

通过积分得

式中Kc1——零值边角点下的竖向附加应力系数，据m=l／b，n=z／b查表2－3求得。

43（2）最大值边角点下的竖向附加应力:同理：最大值边角点下的竖向附加应力为

式中Kc2——最大值边角点下的竖向附加应力系数，据m=l／b，，n=z／b查表2－3求得。（3）任意点下的附加应力:三角形分布的矩形荷载在任意点下引起的附加应力的求法与均布的矩形荷载下附加应力的求法类似，也是利用角点法，先作辅助线，将其划分为若干矩形，求出各矩形在此点产生的附加应力，然后利用叠加法，求出三角形分布的荷载在此点下产生的附加应力。下面举例说明：

44如图,求M点下的附加应力，先划分为l、II两个矩形。对I矩形：属于三角形分布的矩形荷载，M点位于最大值边，则I矩形在M点产生的附加应力为

式中P01=l1P0/l。对II矩形，属于梯形分布的矩形荷载，将其分解为荷载为P01的矩形荷载和最大值为P0-P01的三角形分布荷载，对均布的矩形荷载，在M点产生的附加应力为：σz2=Kc2P01，对三角形分布的矩形荷载，在M点产生的附加应力为σz3=Kl1(P0-P01)。整个矩形面积在M点产生的附加应力为这三部分之和，即：45三、均布圆形荷载下地基的附加应力对烟囱、油罐、水塔、粮库等圆柱形的构筑物，一般采用圆形基础，圆形荷载作用下地基中附加应力的求法同矩形荷载的求法，也是利用Boussinessq解的公式对圆形面积进行积分。如图在圆形面积上任取一微面积dA，dA=P0rdθdr；微面积上的荷载可用集中力dF代替，dF=P0dA；微面积荷载dF在圆形面积中心点下任一点产生的附加应力为

4647对整个圆面积进行积分式中P0——圆形面积上的均布荷载；

Kr——圆形面积中心点的附加应力系数，查表2－4求得；

R0——圆形荷载面积的半径。

48四、均布条形荷载下的附加应力土坝、路基及挡土墙下的基础是长条形的，即为条形基础，它的长边要比短边大很多倍，一般认为：矩形基础的长边比短边大10倍以上，即认为是条形基础。对条形基础，我们可以认为长度为无限长，这样就可以把空间问题转化为平面问题，这样假设的结果与长条形面积荷载所产生的应力很接近，一般为工程实践所容许。49

1．均布线形荷载下的附加