湖北省恩施市2021年中考数学试卷试题真题(含答案解析)

湖北省恩施市2021年中考数学试卷

一、单选题（共12题；共24分）

1.-6的相反数是（）

A.-6B.6C.±6D.-

6

【答案】B

【考点】相反数及有理数的相反数

【解析】【解答】-6的相反数是6.

故答案为：B.

【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可.

2.全国第七次人口普查湖北省常住人口约为5780万，将数5780万用科学记数法表示为（）

A.5.780x108B.57.80x106C.5.780x107D.5.780x106

【答案】C

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】5780万=57800000=5.780xIO,

故答案为：C.

【分析】科学记数法的表示形式为axicr的形式，其中n为整数.确定n的值时，要看把原数

变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；

当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此判断即可.

3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】B

【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；

B、既是中心对称图形也是轴对称图形，故符合题意；

C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；

D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；

故答案为：B.

【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180。后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴

对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断即可.

4.图中几何体的俯视图是（）

【答案】A

【考点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：由题意得:

该几何体的俯视图为

故答案为：A.

【分析】俯视图：从物体上面所看的平面图形；注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此判断

即可.

5.下列运算正确的是()

A.7a3—3a2=4aB.(a2)3=a5C.a6-i-a3=a2D.—a(—a+1)=a2—a

【答案】D

【考点】同底数基的除法，单项式乘多项式，合并同类项法则及应用，基的乘方

【解析】【解答】解：A、7a3与3a2不是同类项，所以不能运算，错误，故不符合题意；

B、(a2)3=a6,错误，故不符合题意；

C、a6a3=a3,错误，故不符合题意；

D、-a(-a+1)=a2-a,正确，故符合题意；

故答案为：D.

【分析】根据合并同类项、幕的乘方、同底数幕的除法、单项式乘以多项式分别计算，然后判断即可.

6.工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为

)

A-lD.l

【答案】C

【考点】列表法与树状图法

【解析】【解答】解：设三名男工人编号为1、2、3,两名女工人编号为4、5,则有树状图如图所示:

开始

2”CO

5I

・•.这两名工人恰好都是男工人的概率为2=合=总

故答案为：c.

【分析】利用树状图列举出共有20种等可能情况，其中两名工人恰好都是男工人的有6种，然后利用概

率公式计算即可.

7.从V2,-6，-V2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（）个.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【考点】实数大小的比较，二次根式的乘除法

【解析】【解答】解：由题意得：

—\/3XV2=-V6,—V2xV2=-2,—y/3X（-V2）=V6>

所有积中小于2的有一代,-2两个；

故答案为：C.

【分析】先将任意两个数相乘，分别求出结果，再与2相比较即可.

8.分式方程^+1=3；的解是（）

X—lX—1

3

A.%=1B.%=-2C.x=-D.x=2

4

【答案】D

【考点】解分式方程

【解析】【解答】解：二；+1=三

x-1x-1

x+%-1=3,

x=2,

经检验：x=2是原方程的解；

故答案为：D.

【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可.

9.某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为S,力对物体所做的功必与S的对应关系如图

所示，则下列结论正确的是（）

A.WB.W=20SC.W=8SD.S=—

8W

【答案】c

【考点】一次函数的实际应用

【解析】【解答】解：由题意及图象可设该函数解析式为W=kS,则把（20,160）代入得:

20k=160,解得：k=8,

.•・该函数解析式为W=8S；

故答案为：C.

【分析】利用待定系数法求解即可.

10.如图，在eABCD中，48=13,AD=5,AC1BC,则加BCD的面积为（）

A.30B.60C.65D.—

2

【答案】B

【考点】勾股定理，平行四边形的性质

【解析】【解答】解：v四边形ABCD是平行四边形，AD=5,

•••BC=AD=5,

ACA.BC,AB=13,

•••AC=7AB2-BC2=12，

则cABCD的面积为BC-AC=5x12=60,

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形的性质得出BC=4D=5,利用勾股定理求出AC=12,根据胡BCO的面积为

BOAC进行计算即可.

11.如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,E为BD与正方形网格线的交点，

CE-BDLABCCBD

A.2B.SA

C.AC=CDD.ZABC=/CBD

【答案】D

【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定

【解析】【解答】解：1.每个小正方形的边长都为1,

AB=4,AC=2,BC=2底CD=\[5,BD=5,

・•・BC2^-CD2=25=BD2,AC^CD,故C错误；

・•.△BCD是直角三角形，

・•・/BCD=ZBAC=90°,

..AB_AC_2VS

•BC~CD~5’

^ABCCBD,故B错误；

•••/ABC=NCBD，故D正确；

E为BD与正方形网格线的交点，

CEIIAB,

•••/ABC=/BCE=NCBD，

•••NDBC+ZBDC=/BCE+/ECD=90°,

•­.ZBDC=/ECD,

BE=CE=ED"BD，故A错误；

故答案为：D.

【分析】根据图形可得AB=4,AC=2,利用勾股定理求出BC=2西,。。=*,80=5，据此判断C；

利用勾股定理的逆定理求出△BCD是直角三角形，由于竺="=壁,可证△ABC-&CBD,可得

BCCD5

/ABC=/CBD,据此判断B、D；根据网格特点可得CEIIAB,可得点E边B的的中点，利用直角三

角形的性质判断A即可.

12.如图，己知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（-3,0）,顶点是，则以下结

论：①abc>0；（2）4a+2b+c>0；③若yZc,贝UxW—2或xZO；④b+c=.其

中正确的有（）个.

【答案】B

【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax八2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：.••抛物线开口向上，

.a>0,

.•对称轴为直线x=-^=-l，

2a

.b=2a>0,

.•抛物线与y轴的交点在负半轴，

.c<0,

abc<0,故①错误；

,・・抛物线与x轴交于(一3,0),对称轴为%=-1,

・•・抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),

当x=2时，y=4Q+2b+c位于x轴上方,

・•・4a+26+c>0,故②正确；

若,当y=c时，x=-2或0,

根据二次函数对称性，

则工工一2或工工0,故③正确；

当x=-1时，Q—b+c=m①,

当％=1时，Q+Z?+C=0②，

①+②得：a4-c=,

•・・对称轴为直线%=-^=-1,

2a

b=2a,

i.

..a=-b,

2

+c=|m,故④错误；

综上：②③正确，

故答案为：B.

【分析】①由于抛物线开口向上，可得aVO,由顶点坐标可得对称轴为直线x=-之=-1,求出b=

2a>0,由于抛物线与y轴的交点在负半轴，可得c<0,据此判断即可；②根据抛物线的对称性

可得出抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),可得当x=2时，y=4a+2b+c位于x轴上方，据此判

断即可；③当y=c时，x=-2或0,根据二次函数对称性，可得xW-2或xNO,据此判断即可；④当

x=-l时，a-b+c=m①，当％=1时，a+b+c=O②，由①+②得a+c=gm,由于

b=2a,可求出b与c的关系式，据此判断即可.

二、填空题(共4题；共4分)

13.分解因式：a—ax2=.

【答案】a(1+x)(1-x)

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【解答】解：a-a/=a(l-*2)=矶1+x)(l-x)；

故答案为a(1+x)(1-x).

【分析】先提取公因式a,再利用平方差公式分解即可.

14.如图，已知AE〃BC,ZBAC=100°,ZDAE=50°，则4=.

D

B乙-------------

【答案】30。

【考点】平行线的性质，三角形内角和定理

【解析】【解答】解：：AE“BC,ZDAE=50°,

•••/B=ZDAE=50°,

ZBAC=100°,

•••ZC=180°-/B-ZBAC=30°;

故答案为30。.

【分析】根据平行线的性质得出/B=4»AE=50°,利用三角形的内角和可得4=180°-

/B-/BAC,据此计算即可.

15.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首"，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯

之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用

锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？(1尺=10寸)

答：圆形木材的直径寸；

【答案】26

【考点】勾股定理，垂径定理

【解析】【解答】解：延长DC,交。。于点E,连接OA,如图所示,

由题意得CDJ_AB,点C为AB的中点，CD=1寸，4B=10寸,

DE为0。的直径，

AC=5寸，

设。A=x寸，贝ljOC=(%-1)寸，

.,.在AOC中，AC2+OC2=OA2,即52+(x-I)2=%2,

解得：x=13,

「•圆形木材的直径为26寸；

故答案为26.

【分析】延长DC,交。。于点E,连接0A,根据垂径定理可得AC=BC=5,设OA=x寸，则0C=（x-1）

寸，在R3A0C中，由AC?+。。2=。/建立方程，求解即可.

16.古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个

数即五边形数；

■

■•■•♦・

■•••••••••••

图形••••••••••••・

・•••••••••••

••••••••••••

五边形数1512223551

将五边形数1,5,12,22,35,51,排成如下数表;

1第一行

512第二行

223551第三行

观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为.

【答案】1335

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：由图形规律可知，第n个图形是一个由n个点为边长的等边三角形和一个长为n个

点，宽为（n-1）个点的矩形组成，则第n个图形一共有写史+凡•（兀-1）个点，化简得呼，即第

n个图形的五边形数为巴士.

2

分析排成数表，结合图形可知：

第一行从左至右第1个数，是第1个图形的五边形数；

第二行从左至右第1个数，是第2个图形的五边形数；

第三行从左至右第1个数，是第4个图形的五边形数；

第四行从左至右第1个数，是第7个图形的五边形数；

・•・第n行从左至右第1个数，是第1+若3个图形的五边形数.

二第八行从左至右第2个数，是第30个图形的五边形数.

第30个图形的五边形数为：型＞忙犯=1335.

2—2

故答案为：1335.

【分析】由图形规律可知，第n个图形是一个由n个点为边长的等边三角形和一个长为n个点，宽为（n-l）

个点的矩形组成，则第n个图形一共有色普+n-（n-l）个点，化简得第，即第n个图形的五边

形数为—，据此计算即可.

2

三、解答题(共8题；共75分)

"冼化简，再求值：1-照+春，其中”a-2.

【答案】解：原式=1-震X湍冷

a+4

=1一壬

2

Q+2

把a=\/2—2代入得：原式=-yfz-2+2=

【考点】利用分式运算化简求值

【解析】【分析】先将除法运算化为乘法运算进行分式约分，再进行分式的减法运算即可化简，然后将a

值代入计算即可.

18.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点。,且DE//AC,AE//BD,连接0E.求证：

OELAD.

【答案】证明：•••DE//AC.AE//BD,

•••四边形AODE是平行四边形，

•••四边形ABCD是矩形，

0A=OD=-AC=-BD,

22

•••平行四边形AODE是菱形，

•••OE1.AD.

【考点】菱形的判定与性质

【解析】【分析】利用两组对边分别平行可证四边形AODE是平行四边形，由矩形的性质得出OA=OD,从

而可证平行四边形AODE是菱形，利用菱形的性质即得结论.

19.九(1)班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别

对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试.现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中

的信息解答下列问题：

平均数中位数众数方差

甲175ab93.75

乙175175180,175,170C

(1)求a、b的值；

(2)若九(1)班选一位血息瘟比的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；

(3)根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，住出的小宿度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁

优.

【答案】(1)解：根据折线统计表，甲的成绩如下：

160,165,165,175,180,185,185,185,

185出现了3次，最多，故数据的众数是185即b=185；

根据题意，得甲的中位数是经詈=177.5,故a=177.5

(2)解：根据题意，得

方差乙2222甲2

S=i[(175-175)+(180-175)+-+(175-175)]=37.5,S=93.75,

・•・S甲2>s乙2,

选择乙参见

(3)解:从中位数的角度看：・・•甲的中位数是177.5>乙的中位数是175,

甲的成绩略好些；

从方差的角度看：S甲z>5乙2,

乙的成绩更稳定些.

【考点】折线统计图，分析数据的集中趋势

【解析】【分析】(1)根据中位数、众数的定义求解即可；

(2)分别求出甲、乙成绩的方差，然后比较即可；

(3)分别从中位数、方差的交点进行分析即可.

20.乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在

甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°,观测乙居民楼楼顶C处的仰角为

,已知甲居民楼的高为，求乙居民楼的高.(参考数据：戊，百=,结果

15°10m=1.4141.732

精确到0.1m)

【答案】解：如图：分别过C、D作CF，BD,DEJ_BC,垂足分别为E、F、

fflF田

BA

■：在RtABDE中，ZBDE=30°,AD=10

BD=20,BA=10V3

---在RtACFD中，ZCDF=ZCDE+ZBDE=45",

CF=DF

...在RtACFB中，ZCBF=60°,

tanZCBF=—=tan60°=J3,BF="CF=—DF

BF33

BD=BF+DF=^-DF+DF=20,即DF=CF=10(3-V3)

在RtACFB中，ZCBF=60°,CF=10(3-V3)

sinzCBF=—=^3Pi°°S)=叵,解得BC=20V3-20=14.6m

BC2BC2

乙居民楼的高14.6m.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】分别过C、D作CFJ_BD,DEJLBC,垂足分别为E、F、在RSBDE中,可求出

BD=20,BA=10V3-在RtACFD中可求出CF=DF,在RtACFB中，由tan/CBF=竺求出

BF

QV=^CF=—DF,根据BD=BF+DF=20可求出DF的长，在RtACFB中，由sinzCBF=^=史即可

33BC2

求出BC的长.

21.如图，在平面直角坐标系中，RtAABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点,

直线AC与双曲线在第四象限交于点D.求△的面积.

(2)y=-X-ABO

（2）解：由（1）可得：4（1,再），C（2,0）,

设直线AC的解析式为y=kx+b,则把点A、C代入得：6+b=百，

2k+b=0

解得：产=一噂，

b=2V3

直线AC的解析式为y=-V3x+2V3，

联立y=-V3x+2V3与反比例函数y=-^-可得：-娼x+2W=-也,

解得：刀1=3,无2=-1（不符合题意，舍去），

・••点Z）（3,-V3），

S^ABD=SMBC+S^BCD=3X4X（V3+V3）=4V3

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，含30。角的直角三角形，勾股定理，反比例函数图象上点的

坐标特征

【解析】【分析】（1）过点A作AELX轴于点E,利用直角三角形的性质求出4C=：BC=2,NACB=

60°,从而求出CE=1,AE=V3,继而得出点A坐标，将其代入y=§中，即可求出k值；

（2）先求出直线AC解析式，联立反比例函数解析式，求解即得点D坐标，利用割补法可得ShABD=

SMBC+SABCD，利用三角形的面积公式计算即可•

22.“互联网+"让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的

农产品远销全国各地.甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销.已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价

低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同.

（1）求每千克花生、茶叶的售价；

（2）己知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克.甲计划两种产品共助销60千克，总成本不

高于1260元，旦花生的数量不高于茶叶数量的2倍.则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大

利润是多少？

【答案】（1）解：设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为x元，由题意得：

50（%-40）=10x,

解得：%=50,

・•・花生每千克的售价为50-40=10元；

答：每千克花生的售价为10元，每千克的茶叶售价为50元

(2)解：设茶叶销售了m千克，则花生销售了(60-m)千克，所获得利润为w元，由题意得:

(6(60—in)+36m<1260

60—m<2m'

解得：20WmW30,

・•・w=(10-6)(60-m)+(50-36)m=10m+240,

•/10>0,

，W随m的增大而增大，

当m=30时，w有最大值，最大值为w=10x30+240=540；

答：当花生销售30千克，茶叶也销售30千克时可获得最大利润，最大利润为540元.

【考点】一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用-和差倍分问题

【解析】【分析】（1）设每千克花生的售价为（X-40）元，每千克的茶叶售价为X元，根据“销售50千

克花生与销售10千克茶叶的总售价相同.”列出方程，求解即可；

（2）设茶叶销售了m千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为w元，先根据"甲计划两种

产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍"求出m的范围，再

根据利润=花生的利润+茶叶的利润，列出函数关系式，利用一次函数的性质求解即可.

23.如图，在Rt4AOB中，ZAOB=90°,。。与4B相交于点C,与4。相交于点E,连接

CE，已知NAOC=2ZACE.

（1）求证：AB为的切线：

（2）若4。=20,B。=15,求CE的长.

【答案】（1）证明：rOC=OE,

•••NVCE=ZOEC，

vNVEC=4+ZACE,

•••NOCE=ZA+^ACE，

■■■ZAOC+^OCE+ZACE+=180°，ZAOC=2ZACE,

•••2ZACE+ZOCE+ZOCE=180°,即ZACE+ZOCE=90°

ZACO=90°，即OC1AB，

又•••oc是。。的半径，

AB为o。的切线

（2）解：如图，过点E作EDLAB于点D

VZAOB=90"tAO=20,BO=15,

・•・AB=y/AO2+BO2=25

BO3AA。4

・•・sirii4—=-,cos/[=—=-

AB5AB5

在*R~tAA4O八C八r中+t，smA.=—OC=—OC=-3cosA4=—AC=—4c4

AO2054。205

解得OC=12,AC=16,

・•・AE=AO-OE=AO-OC=20-12=8,

•・•ED14B,OC_LAB,

:.ED〃O。，

••・△AEDAOC，

DE_ADAEunDE_AD_8

OC-ACA。''1216~~20

解得DE=^,AD=^-,

•.CD=AC-AD=16,

55

在Rt△CCE中，CE=>JDE2+CD2=J(y)2+(y)2=yV5

【考点】勾股定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义

【解析】【分析】(1)根据同圆半径相等可求出/OCE=Z0EC,根据三角形外角的性质及三角形内

角和可求出/4CE+N0CE=90°,即得NACO=90。，根据切线的判定即证结论；

(2)过点E作ED1AB于点。,先求出AE、OC、AC、AE,再证明△AEC〜AAOC,利用相似三

角形的对应边成比例，可求出DE、AD,利用CD=AC-AD求出CD的长，在R3CDE中，利用勾股定理求出

CE的长即可.

24.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A,B在x轴上，抛物线y=/+

bx+c经过点B,。(一4,5)两点，且与直线DC交于另一点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F,E,B为

顶点的四边形是以BE为边的菱形.若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M,连接ME,BP.探究EM+

MP+PB是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：1,四边形ABCD为正方形，。(一4,5),

AD=AB=5,71(-4,0),

AO=4,

：.OB=1,

•1•B(l,0),

把点B、D坐标代入得：｛I?；2]*。：，，

1+D+C=0

解得：d=2,

c=-3

抛物线的解析式为y=x2+2x-3

(2)解：由(1)可得8(1,0),抛物线解析式为y=x2+2x