河南省许昌市示范中学2022年高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.设耳，工是双曲线。：之一方=1（4>0/>0）的左，右焦点，。是坐标原点，过点尸2作C的一条渐近线的垂

线，垂足为P.若归耳|=#］。尸|,则C的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.3

2020

2.著名的斐波那契数列{。“}：1,1>2,3,5,8,…，满足%=%=1，。"+2=〃eN>若。2”-1>

n=l

贝II左=（）

A.2020B.4038C.4039D.4040

3.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”,

亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵

爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角

形.设。尸=2Ab=2,若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）

4.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远

古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人.已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不

在远古村寨；③“丙在远古村寨''是"甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨.若以上语句都

正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

5.已知在平面直角坐标系中，圆q：（X—mm—6『=2与圆。2：（x+l『+（y—2）2=1交于A，B两

点，若|Q4|=\OB\,则实数〃1的值为（）

A.1B.2C.-1D.-2

6.若点（2,k）到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是（）

-5-17

A.1B.-3C.1或一D.-3或一

33

7.已知条件条件4：直线x-a>+l=O与直线x+/y-l=O平行，则P是4的（）

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知定义在R上的函数/（x）在区间［0,+8）上单调递增,且y=/（》一1）的图象关于x=l对称，若实数“满足

flog,a</（-2）,则a的取值范围是（）

、2>

A—,+ooC.D.（4,-K»）

4）

,a

1-tan

37r2

9.已知sina-2cosa=1,ae（^,一），则（）

,a

21+tan—

2

1

A.C.一D.2

~22

10.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点，则AE,所成的角的余弦值为（）

1B及「732

L•-----D.-

33

11.要得到函数/（x）=sin（3x+（）的导函数/'（X）的图像，只需将/（x）的图像（）

A.向右平移g个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍

B.向右平移1个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的§倍

C.向左平移W个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的1倍

JJ

TT

D.向左平移?个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍

6

x-y<0,

12.若x,丁满足约束条件，x+y42,,则z=4x+y的取值范围为（）

x+l>0,

A.[-5,-1]B.[-5,5]C.[-1,5]D.[-7,3]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，

且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有_______种.（用数字作答）

17

14.已知点尸是抛物线y=2/的焦点，M,N是该抛物线上的两点，若|MF|+|N/q=一,则线段MN中点的纵

4

坐标为.

15.已知集合A=｛x|x<1,XGZ｝,8=｛x|04x<2｝，则=.

16.在数列｛q｝中，已知4=1,凡•a“M=2"（〃€N*）,则数列｛4｝的的前2〃+1项和为52,用=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，

直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单

位：元），求X的分布列.

X=1COS69,

18.（12分）在直角坐标系宜万中，直线4的参数方程为."a为参数），直线/,的参数方程为

y=Zsin（p.

x-Zcos

,（/为参数）.以坐标原点为极点，％轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为

y-rsinl--^7

psin2^=cos^.

（i）求小4的极坐标方程和。的直角坐标方程;

（II）设4，4分别交。于A,B两点（与原点。不重合），求|。4卜|。目的最小值.

19.（12分）如图1,四边形ABC。是边长为2的菱形，44Q=60。，E为CZ）的中点，以8E为折痕将ABCE折起

到APBE的位置，使得平面平面ABCO,如图2.

ECP

(i)证明：平面RLBJ_平面PBK；

(2)求点。到平面Q46的距离.

20.(12分)已知在二二二二中，角二二二的对边分别为二二二且学+学=言.

(1)求二的值；

(2)若cos二+y'JsinZ=二,求二+二的取值范围.

兀

21.(12分)已知函数了(工)=sin?x+sinxcos(x——).

6

(1)求函数/")的最小正周期；

71

(2)求f(X)在0,y上的最大值和最小值.

22.(10分)max{〃?,〃}表示机，〃中的最大值，如max，,JT5}=,己知函数f(x)=max{x2-i,21nx},

g(x)=max<x+lnx,-^2+卜一；卜+2"+4。}.

(1)设/心)=/5)一3口一；卜万-1)2,求函数/z(x)在(0,1]上的零点个数；

3

(2)试探讨是否存在实数。4-2,+8),使得g(x)<]x+4。对xe(a+2,w)恒成立？若存在，求。的取值范围;

若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

设过点月(。,0)作)，=—工的垂线，其方程为y=——C),联立方程，求得x=£,丫=竺，即2—,由

abccycc)

户用=指|OP|,列出相应方程，求出离心率.

【详解】

解：不妨设过点E(GO)作y=^x的垂线，其方程为y=-f(x—c),

ab

b

>=-X2,/2i\

+Ja初殂aabanDab

由j解得尤=-9y=一，即尸——,—，

Cl(\cc{CC)

y=_/(x-c)、7

,।I_亦、(6,2YA«4a2b2、

由I尸DI用?=J6|OP],所I以I*有2F-------1-C-6—Z-d------2一，

c-(c)\cc)

化简得3/=。2,所以离心率e=£=6.

a

故选：B.

【点睛】

本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题.

2.D

【解析】

计算«,+%=%，代入等式，根据4+2=%+1+4化简得到答案.

【详解】

4=1,4=2,%=3,故4+%=4，

2020

Z〃2〃-1=+%+…+“4039=。4+〃5+%+…+%039=%+%+…+“4039=…=。404()，

n=}

故％=4040.

故选：D.

【点睛】

本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.

3.A

【解析】

根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.

【详解】

在AABD中，A£>=3，BD=1,ZADB=120°,由余弦定理，得AB='AD?+BD?_2AZ>BQcos120°=岳，

DF2

所以布=而.

所以所求概率为浊空4

SMBC13

故选A.

【点睛】

本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题.

4.D

【解析】

根据演绎推理进行判断.

【详解】

由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千

丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁.

故选：D.

【点睛】

本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础.

5.D

【解析】

由|。4|=|0却可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求.

【详解】

因为=所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，0（0,0）,G（私〃计6）,。2（-1,2）三点

"2+6

共线，所以"二=-2,得加=-2,故选D.

m

【点睛】

本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.

6.D

【解析】

|2x5-⑵+6|

由题得=4,解方程即得k的值.

游+(-12)2

【详解】

|2x5-⑵+6|

由题得4,解方程即得1<=-3或§.

荷+（72）2

故答案为：D

【点睛】

(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点P(%,%)到直线

/:Ax+By+C=0的距离d=邑号士生

VA2+B2

7.C

【解析】

先根据直线X-ay+1=0与直线x+/y-1=o平行确定a的值，进而即可确定结果.

【详解】

因为直线x-ay+l=0与直线x+a2y-1=0平行，

所以片+4=0,解得a=0或。=一1；即4：。=0或。=一1；

所以由夕能推出q；q不能推出P；

即。是q的充分不必要条件.

故选c

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.

8.C

【解析】

根据题意，由函数的图象变换分析可得函数y=/(x)为偶函数，又由函数y=/(x)在区间［0,+8)上单调递增，分

/\

析可得了log/</(-2)=>/(|log2«|)<,/-(2)=>|log2«|<2,解可得4的取值范围，即可得答案.

I2)

【详解】

将函数y=的图象向左平移1个单位长度可得函数y=f(x)的图象，

由于函数y=/(x-l)的图象关于直线x=1对称，则函数)，=/(%)的图象关于)'轴对称，

即函数y=/(x)为偶函数，由/log1，</(一2),得川log2a|)</(2),

••・函数y=/(x)在区间［0,+8)上单调递增，则|log24＜2,得-2＜嘎2。＜2,解得;＜。＜4.

因此，实数”的取值范围是4).

故选：C.

【点睛】

本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数y=/(x)的奇偶性，属于中等题.

9.B

【解析】

结合siYa+cos2a=1求得sina,cosa的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.

【详解】

|sincr-2cosctr=13乃.34

由《.2219以及aw（4，-^-），解得sina=■-二,cosa二一=.

sincr+cosa=1255

.a

sin—

1---------2

1aaa.aaaa.a

I-tan—cos——cos-----sincos-----sinl-2cos-sin

22-222222

1a.aaaaaa.aa.2a

1+tan—sm—cos—+sincos-----sin—cos--Hsinco2s-----snr一

21+—22222222

a

cos—

2

1+

1-sincr1_

COS24

5

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.

10.C

【解析】

试题分析：设AC、的交点为。，连接£0,则NAE。为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为",

^AE^a,EO^a,OA^a,所以〜物年慧需。

11.D

【解析】

先求得/'（X）,再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.

【详解】

<乃、

3x+1713sin|3x+—3sin3(j+y71,所以由

依题意/（x）=3cos3x4■—=3cos~2

、3）I63

y（x）=sin（3x+?）向左平移弓个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到/'（X）的图像.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.

12.B

【解析】

根据约束条件作出可行域，找到使直线y=-4x+z的截距取最值得点，相应坐标代入z=4x+y即可求得取值范围.

【详解】

画出可行域，如图所示：

由图可知，当直线z=4x+y经过点A（—1,-1）时，工取得最小值一5；经过点8（1,1）时，二取得最大值5,故-5领£5.

故选：B

【点睛】

本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.60

【解析】

首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.

【详解】

首先选派男医生中唯一的主任医师，

然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，

故选派的方法为：=10x6=60.

故答案为60.

【点睛】

解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素（或位置）的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步.具体地说,

解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）.

14.2

【解析】

运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果.

【详解】

抛物线y=2/的标准方程为：则抛物线的准线方程为y=-设N（X2N），则

IMF|+|NF1=所以y“+yv=4,则线段MN中点的纵坐标为冲迎=2.

8842

故答案为：2

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用，

本题较为基础.

15.{0,1}

【解析】

直接根据集合A和集合B求交集即可.

【详解】

解：A={x|x〈l,xeZ},

B-{x[0<2},

所以AnB=｛0』｝.

故答案为：｛0,1｝

【点睛】

本题考查集合的交集运算，是基础题.

16.2"*2-3

【解析】

由已知数列递推式可得数列｛4｝的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到S?,,,

再由与“M=S2“+%,+I求解.

【详解】

解：由q=1,4皿,,+1=2"(”eN*),

得%M,=2"T(〃.⑵,

也=2(〃..2),

%

则数列｛。“｝的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列.

/?-1

2斤，〃为奇数

二/=„，

22,〃为偶数

S2n=(4+a3+...+/"_|)+(4+卬+•.•+4”)

=(l+2+22+...+2"-')+(2+22+...+2n)

]_2n

=3(1+2+22+...+2吟=3.丁»=3.2"-3.

•••S…S2„+*=3・2"-3+2"=2*2-3.

故答案为：2-2-3.

【点睛】

本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

17.(1)—；(2)见解析.

【解析】

(1)利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率；

(2)由题意可知随机变量X的可能取值有200、300、400,计算出随机变量X在不同取值下的概率，由此可得出

随机变量X的分布列.

【详解】

233

(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)=-x==二；

5410

(2)由题意可知，随机变量X的可能取值为200、300、400.

421&+GGA；_3

贝!|P（X=200）=,=MP（X=300）

6一I。'

133

P（X=400）=1-P（X=200）-P（X=300）=1-历

故X的分布列为

X200300400

133

p

10To5

【点睛】

本题考查概率的计算，同时也考查了随机变量分布列，考查计算能力，属于基础题.

18.(I)直线4的极坐标方程为e=9(夕eR),直线的极坐标方程为6='-双夕eR),C的直角坐标方程为尸=x;

（II）2.

【解析】

(I)由定义可直接写出直线。〃的极坐标方程，对曲线C同乘夕可得：炉sin?8=「cos。，转化成直角坐标为

X

e=①,cos(P6=/一%一sin69

(D)分别联立两直线和曲线。的方程，由.2〃八得〃=「竺，由得/二行，

/?sm26^=cos^,sincp

夕sin2夕=cosa

......Icos69|Isin(p\1?

则\OA\-\OB\=\pAp,\==r-------r=「77，结合三角函数即可求解;

'11sin-(pcos(psincos(p\sin2(p\

【详解】

(I)直线4的极坐标方程为。=8(peR),

直线4的极坐标方程为。-cSeR)

由曲线C的极坐标方程得p2sin2^=pcos0,

所以C的直角坐标方程为丁=X.

(0

(H)4,与。的极坐标方程联立得1—八所以0==co要s・

夕sure=cosasin(P

/,与c的极坐标方程联立得《一5一°’所以必=金华.

,COS(P

psin"^=cos

所以侬.如以小剪•吧

11sin(pcos(psin97cossin2型

所以当9=?+4(AwZ)时，|Q4H。同取最小值2.

【点睛】

本题考查参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标中「的几何意义，属于中档题

19.(1)证明见解析(2)B

2

【解析】

(1)由题意可证得PELAB,ABLBE,所以ABL平面罚组，则平面Q4B_L平面P3E可证；

(2)解法一：利用等体积法由VP_ADK=VD_APII可求出点。到平面PA6的距离；解法二：由条件知点。到平面上钻的

距离等于点E到平面Q46的距离，过点E作依的垂线，垂足尸，证明砂，平面PS,计算出炉即可.

【详解】

解法一：(1)依题意知，因为CE_L3E,所以PELBE.

又平面~BE_L平面ABCD,平面PBEc平面ABC£>=3E,PEu平面PBE,

所以PE_L平面488.

又Afi］平面ABCO,

所以PE_LA3.

由已知，ABCZ)是等边三角形，且E为CD的中点，所以BE工CD.

因为AB〃C£>,所以AB，BE.

又PEcBE=E,所以4?_L平面尸BE.

又平面Q4B,所以平面QA3_L平面P5E.

p

（2）在ABD中，AB=AD=2,N54£>=60。，所以心如=8.

由（1）知，PEJ_平面他£）,且PE=1，

所以三棱锥P—ABO的体积V=1xgxl=3.

33

在Rf"BE中,PE=1，BE=6,得PB=2,

由（1）知，ABL平面P3E,所以ABLPB,

所以Si=2，

设点。到平面％6的距离d,

则三棱锥E—P43的体积V'=,x2xd=也，得d=@.

332

解法二：（1）同解法一；

（2）因为DEHAB,AB\平面Q46,平面。46,

所以DE〃平面P4B.

所以点E到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离.

过点E作PB的垂线，垂足尸，即所，尸B.

由（1）知，平面平面尸8E,平面ELBc平面EFu平面PBE,

所以所，平面Q43,即石户为点。到平面RLB的距离.

由（1）知，PE上BE,

在RfAPBE中,PE=T，BE=拒,得PB=2.

又PExBE=PBxEF,所以EF=也.

所以点。到平面e钻的距离为且.

2

【点睛】

本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点

到平面的距离一般可采用两种方法求解：①等体积法；②作（找）出点到平面的垂线段，进行计算即可.

20.（1）二=?（2）二+二6（二,\司

【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求二的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cos二,cos二

分别用边表示，再根据正弦定理可以将三转化为二于是可以求出二的值；（2）首先根据sm二+、3cos二=2求出角二的

值，根据第（1）问得到的二值，可以运用正弦定理求出二二二二外接圆半径二，于是可以将二+二转化为二sm二+2二沏二

又因为角二的值已经得到，所以将二二sin二+2二sm二转化为关于二的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外

本问也可以在求出角二的值后，应用余弦定理及重要不等式二：+二：22二二，求出二+二的最大值，当然，此时还要注

意到三角形两边之和大于第三边这一条件.

试题解析：（1）由李+苧竽，

应用余弦定理，可得

二，三二二-+二,三二二.=咨

化简得二=6则二=4

（2）vcosZ+yJsinZ=2

・•・"os二+-?sinZ=/即sin（1+Z）=J

・・・二e（。,二）.%=|所以二=|

法一::2匚===i,

则二十二=sinZ+sinZ

=sinZ+sin（1r一二）

=-：sin_+-T-COS-

=vJsin(Z+0

又...。＜二〈三，二+二=白

法二

因为二=E由余弦定理二：=二：+二：一2二二cos：：

得：=（匚+二）；一3二二

又因为二二＜（亭）:，当且仅当二=二时“=”成立.

所以：=（二+二）;一3二二2（二+二）;一3（言/=与

z+z＜、3又由三边关系定理可知二+二〉二=4

综上二+二e（~r，V?]

考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用.

21.（1）兀；（2）见解析

【解析】

（1）将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期

（2）根据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值

【详解】

（I）由题意得、

1.

原式=sinx+sirtxcosx+—Sim:

27

%代+与加的

22

=—(1-cos2x)+^-sin2x

4V14

_V3f1._百o\3

=——sin2x----cos2x+一

2(22)4

x/3/4>3

2I3j4

.-./(x)的最小正周期为万.

「八兀

(II)vxe0,—,

_2_

71一、乃一2万

---42x---4—.

333

:.当2X即X=()时，/(Am=°；

山C7171m5乃,2G+3

当21-二=77，即x时，f(x)=-......

3212V/max4

综上，得x=0时，/(X)取得最小值为0；

当尤=称时，/(X)取得最大值为迈口・

【点睛】

本题主要考查了两角和与差的余弦公式展开，辅助角公式，三角函数的性质等，较为综