统考版2024届高考数学一轮复习第二章2.7函数的图象学案理含解析20230423114

统考版2024届高考数学一轮复习第二章2.7函数的图象学案理含解析20230423114第七节函数的图象【知识重温】一、必记2个知识点1．列表描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值、最小值、与坐标轴的交点)，描点，连线．2．图象变换法作图(1)平移变换(2)对称变换(ⅰ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝①________；(ⅱ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝②________；(ⅲ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝③________；(ⅳ)y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝④________.(3)翻折变换(ⅰ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\do5(将x轴下方图象翻折上去))y＝⑤________.(ⅱ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\do5(关于y轴对称的图象))y＝⑥________.(4)伸缩变换y＝⑦________.(ⅱ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\do5(0<a<1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变))y＝⑧________.二、必明2个易误点1．图象变换的根本是点的变换，如函数y＝f(2x)的图象到函数y＝f(2x＋2)的平移变换，是点(x，y)到对应点(x＋1，y)，而不是到点(x＋2，y)或其他．2．明确一个函数的图象本身关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，后者是两个不同的函数的对称关系．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．()(2)若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．()(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．()(4)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．()二、教材改编2．函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)的图象关于()A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称3．下列图象是函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,x－1，x≥0))的图象的是()三、易错易混4．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()5．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．四、走进高考6．[2020·天津卷]函数y＝eq\f(4x,x2＋1)的图象大致为()eq\x(考点一)作函数的图象[自主练透型]分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1).悟·技法图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋eq\f(1,x)的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.考点二函数图象的辨识[互动讲练型][例1](1)[2020·浙江卷]函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]上的图象可能是()(2)[2021·唐山市高三年级摸底考试]函数f(x)＝eq\f(x2－1,|x|)的图象大致为()悟·技法识图3种常用的方法[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]函数f(x)＝eq\f(sinx,x2＋1)的图象大致为()2．[2021·广东省七校联考试题]函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2＋|x|－2)的部分图象大致是()考点三函数图象的应用[分层深化型]考向一：研究函数的性质[例2][2021·山西大同模拟]函数f(x)＝|lg(2－x)|在下列区间中为增函数的是()A．(－∞，1]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(4,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))D．[1,2)考向二：求参数的值或取值范围[例3]在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．考向三：求不等式的解集[例4]已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是()A．(－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(0,1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)悟·技法函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.[变式练]——(着眼于举一反三)3．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)4．[2021·北京八中月考]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－1，x>0，,x2－2x，x≤0，))若f(x)≥ax，则实数a的取值范围是________．第七节函数的图象【知识重温】①－f(x)②f(－x)③－f(－x)④logax⑤|f(x)|⑥f(|x|)⑦f(ax)⑧af(x)【小题热身】1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.答案：C3．解析：其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．答案：C4．解析：依题意，得f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f(x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A.答案：A5．解析：y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.答案：y＝f(－x＋1)6．解析：解法一令f(x)＝eq\f(4x,x2＋1)，显然f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，排除C，D，由f(1)>0，排除B，故选A.解法二(特殊点法)令f(x)＝eq\f(4x,x2＋1)，由f(1)>0，f(－1)<0，故选A.答案：A课堂考点突破考点一解析：(1)首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示．(3)∵y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函数的图象可由y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③所示．考点二例1解析：(1)令f(x)＝xcosx＋sinx，所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＋sin(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D，又f(π)＝－π<0，排除B，故选A.(2)因为f(x)＝eq\f(x2－1,|x|)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，排除选项B，C.当x>0时，f(x)＝eq\f(x2－1,x)＝x－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增，排除选项A.故选D.答案：(1)A(2)D变式练1．解析：通解函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq\f(sin－x,－x2＋1)＝eq\f(－sinx,x2＋1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，故排除选项C，D；当0<x<π时，f(x)＝eq\f(sinx,x2＋1)>0，故排除选项B.所以选A.优解由f(0)＝0，排除选项C，D；由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))>0，排除选项B.所以选A.答案：A2．解析：因为f(－x)＝eq\f(e－x－ex,x2＋|x|－2)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，当x∈(0,1)时，f(x)＝eq\f(ex－e－x,|x|＋2|x|－1)<0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.故选D.答案：D

考点三例2解析：将y＝lgx的图象关于y轴对称得到y＝lg(－x)的图象，再向右平移两个单位长度，得到y＝lg[－(x－2)]的图象，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，就可以得到f(x)＝|lg(2－x)|的图象如图所示，由图象知，在选项中的区间上，满足f(x)是增函数的显然只有D项．故选D项．答案：D例3解析：函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)例4解析：在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图．由图象得交点坐标为(0,1)和(1,2)．又f(x)>0等价于2x>x＋1，结合图象，可得x<0或x>1.故f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选D.答案：D变式练3．解析：将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的大致图象，如图，观察图象可知，函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．答案：C4．解析：作出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－1，x>0，,x2－2x，x≤0))的图象如图所示．∵直线y＝ax恒过(0,0)点，所以若f(x)≥ax，则直线y＝ax与f(x)的图象相切是临界位置．当x≤0时，f(x)＝x2－2x，∴f′(x)＝2x－2，∴f′(0)＝－2，故当x≤0时，a≥－2；当x>0时，f(x)＝ex－1，∴f′(x)＝ex，∴f′(0)＝1，故当x>0时，a≤1.综上，实数a的取值范围为[－2,1]．答案：[－2,1]第八节函数与方程【知识重温】一、必记4个知识点1．函数的零点的概念对于函数y＝f(x)，x∈D，我们把使①________的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点．2．方程的根与函数的零点的关系由函数的零点的概念可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与②________的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根⇔③________________________⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是④__________的一条曲线，并且⑤________________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得⑥________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．4．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在的区间⑦______，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到⑧__________的方法叫做二分法．二、必明2个易误点1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是函数图象与x轴交点的横坐标，是一个实数，易误认为是一个点而写成坐标形式．2.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()二、教材改编2．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(eq\f(1,e)，1)和(3,4)D．(4，＋∞)3．若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是________．三、易错易混4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()5．设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内()A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一实根四、走进高考6．[2019·全国卷Ⅲ]函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5eq\x(考点一)函数零点的区间[自主练透型]1．[2021·湖北襄阳七校联考]设a是方程2lnx－3＝－x的解，则a在下列哪个区间内()A．(0,1)B．(3,4)C．(2,3)D．(1,2)2．[2021·河北石家庄检测]已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)3．函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)悟·技法确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.考点二判断函数零点个数[互动讲练型][例1](1)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－x－2，x≥0,x2＋2x，x<0))的零点个数是()A．0B．1C．2D．3(2)[2021·广西宜州联考]若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()A．5B．4C．3D．2悟·技法判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·山西临汾质检]若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且部分数据的对应值如表所示．x123456y－52812－5－10函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有()A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,log\f(1,3)x，x>1，))则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为()A．1B．2C．3D．4考点三函数零点的应用[分层深化型]考向一：根据函数零点个数或存在情况求参数范围[例2][2020·天津卷]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≥0，,－x，x<0.))若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(2eq\r(2)，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(0,2eq\r(2))C．(－∞，0)∪(0,2eq\r(2))D．(－∞，0)∪(2eq\r(2)，＋∞)考向二：求函数各个零点(方程根)的和(范围)[例3][2021·天津南开检测]设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6，x≥0，,4x＋4，x<0，))若函数g(x)＝x＋a－f(x)有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是________．悟·技法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3种方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解[变式练]——(着眼于举一反三)3．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)4．[2021·河北衡水中学调考]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,x－1，x>1，))则函数F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，a的取值范围是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．[－1,2)C．[－1,0]∪(1,2]D．[0,1]第八节函数与方程【知识重温】①f(x)＝0②x轴③函数y＝f(x)的图象与x轴有交点④连续不断⑤f(a)·f(b)<0⑥f(c)＝0⑦一分为二⑧零点近似值【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．解析：∵f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－eq\f(2,3)>0，且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(x)为增函数，∴f(x)的零点在区间(2,3)内．答案：B3．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝4x－1.令f(x)＝0，得4x－1＝0，x＝eq\f(1,4)∈(－1,1)．∴当a＝0时，f(x)在(－1,1)内恰有一个零点．(2)当a≠0时，Δ＝42－4×24a×(－1)＝16＋96a.①若Δ＝0，即a＝－eq\f(1,6)，则函数f(x)的图象与x轴交于点(eq\f(1,2)，0)，x＝eq\f(1,2)是(－1,1)内的唯一零点．②若Δ>0，即a>－eq\f(1,6)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－\f(1,6)，,f－1f1＝24a－524a＋3<0))⇔－eq\f(1,8)<a<eq\f(5,24).综上可得，a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(5,24))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(5,24)))4．解析：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有A不满足此条件．故选A.答案：A5．解析：由函数零点存在定理知，函数f(x)的图象在[a，b]内与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝0在[a，b]内只有一个实根．答案：D6．解析：由f(x)＝2sinx－sin2x＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx(1－cosx)＝0得sinx＝0或cosx＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π.即零点有3个．故选B.答案：B课堂考点突破考点一1．解析：令f(x)＝2lnx－3＋x，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－2<0，f(2)＝2ln2－1＝ln4－1>0，所以函数f(x)在(1,2)内有零点，即a在区间(1,2)内．答案：D2．解析：因为a>1,0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(－1)＝eq\f(1,a)－1－b<0，f(0)＝1－b>0，所以f(x)的零点在区间(－1,0)内．故选B项．答案：B3．解析：解法一(定理法)函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．解法二(图象法)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.答案：B例1解析：(1)当x<0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2，或x＝0(舍去)．所以当x<0时，只有一个零点；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(2)＝e2－4>0，所以当x≥0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有两个零点．(2)∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B项．答案：(1)C(2)B变式练1．解析：由题中表格得f(1)f(2)<0，f(4)f(5)<0，因为函数的图象是连续不断的，所以函数在(1,2)内至少有一个零点，在(4,5)内至少有一个零点，所以函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有两个．故选C项．答案：C2．解析：函数y＝f(x)＋x－4的零点，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的交点的横坐标．如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个．故选B项．答案：B例2解析：由题意知函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|恰有4个零点等价于方程f(x)－|kx2－2x|＝0，即f(x)＝|kx2－2x|有4个不同的根，即函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个不同的公共点．图1当k＝0时，在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝f(x)与y＝|2x|的图象如图1所示，由图1知两图象只有2个不同的公共点，不满足题意．当k<0时，y＝|kx2－2x|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,k)))2－\f(1,k)))，其图象的对称轴为直线x＝eq\f(1,k)<0，直线x＝eq\f(1,k)与y＝|kx2－2x|的图象的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，－\f(1,k)))，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，－\f(1,k)))在直线y＝－x上，在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象如图2所示，由图2易知函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个不同的公共点，满足题意．图2当k>0时，函数y＝|kx2－2x|的图象与x轴的2个交点分别为原点(0,0)与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)，0))，则当x>eq\f(2,k)时，由kx2－2x＝x3，得x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－8＝0，得k＝2eq\r(2)，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象如图3所示，由图3知两图象有3个不同的公共点，不满足题意．令Δ＝k2－8>0，得k>2eq\r(2)，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象如图4所示，由图4知两图象有4个不同的公共点，满足题意．令Δ＝k2－8<0，得0<k<2eq\r(2)，易知此时不满足题意．图3图4综上可知，实数k的取值范围是(－∞，0)∪(2eq\r(2)，＋∞)，故选D.答案：D例3解析：函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6，x≥0，,4x＋4，x<0，))函数g(x)＝x＋a－f(x)有三个零点，即方程a＝f(x)－x有三个根，f(x)－x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－6x＋6，x≥0，,3x＋4，x<0，))所以函数y＝a和y＝f(x)－x的图象有三个交点．在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示．设三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1<x2<x3.易知x2－6x＋6的最小值为－3，由3x＋4＝－3，得x＝－eq\f(7,3)，所以x1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，0)).根据二次函数图象的对称性得到x2＋x3＝6，所以x1＋x2＋x3∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)，6)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)，6))变式练3．解析：令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.答案：C4．解析：由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1，因为函数f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a2－a－1>－1，解得a<0或a>1.故选A项．答案：A第九节函数模型及其应用【知识重温】一、必记2个知识点1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性①________②________③________增长速度④________⑤________相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与⑥________平行随x增大逐渐表现为与⑦________平行随n值变化而不同2.函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)的增长速度比较(1)指数函数y＝ax和幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度⑧________y＝xn的增长速度，因此总存在一个x0，当x＞x0时有⑨________.(2)对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)，尽管在x的一定范围内可能会有logax＞xn，但由于y＝logax的增长速度慢于y＝xn的增长速度，因此在(0，＋∞)上总存在一个实数x0，使x＞x0时，⑩________.(3)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)与y＝xn(n＞0)尽管都是增函数，但由于它们⑪________不同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0，＋∞)上随x的增大，总会存在一个x0，当x＞x0时，有⑫________________.二、必明2个易误点1．易忽视实际问题对自变量的影响，单纯考虑解析式下的函数定义域．2．在解决函数模型后，要注意回归实际，验证这个数学结果对实际问题的合理性．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()(3)幂函数增长比直线增长更快．()二、教材改编2．在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是()3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．三、易错易混4．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x5．有一组实验数据如表所示：x12345y1.55.913.424.137则下列所给函数模型不适合的有()A．y＝logax(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝logax＋b(a>1)四、走进高考6．[2020·全国卷Ⅲ]Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝eq\f(K,1＋e－0.23t－53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19≈3)()A．60B．63C．66D．69eq\x(考点一)一次函数或二次函数模型[自主练透型][2021·山西孝义检测]为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？悟·技法一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略(1)直接考查一次函数、二次函数模型．解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．(2)以分段函数的形式考查．解决此类问题应注意以下三点：①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．[提醒](1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)对构造的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解.考点二函数y＝x＋eq\f(a,x)模型的应用[互动讲练型][例1]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝eq\f(k,50x＋250)(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？悟·技法应用函数y＝x＋eq\f(a,x)模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝eq\f(b,x)叠加而成的．(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋eq\f(b,x)的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋eq\f(b,x)的形式．(3)利用模型f(x)＝ax＋eq\f(b,x)求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件.[变式练]——(着眼于举一反三)1．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．考点三指数、对数函数模型[互动讲练型][例2][2020·山东卷]基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天悟·技法应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．(2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.[变式练]——(着眼于举一反三)2．[2017·北京卷]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10