宁夏银川市长庆高级中学2021-2022学年高考考前模拟数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若函数/（x）=Tnx+x+〃，在区间Je上任取三个实数”，b,，均存在以/（。），/（。），〃c）为边长的

三角形，则实数〃的取值范围是（）

A.（一弓一1）B.■一-C.D.

2.《九章算术》有如下问题：“今有金肇，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思

是：“现在有一根金肇，长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”

按这一问题的颗设，假设金肇由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（）

775一

A.一斤B.一斤C.一斤D.3斤

322

3.等差数列｛〃“｝中，已知3%=7即），且q<0,则数列｛4｝的前〃项和S“（〃eN*）中最小的是（）

A.§7或SgB.S|2C.S|3D.S|4

4.已知复数2=（1+，）（3-，）。为虚数单位），则z的虚部为（）

A.2B.2zC.4D.4;

5.2021年部分省市将实行“3+1+2”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、

政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为

1I

A.-B.-

84

11

C.—D・一

62

6.设a,〃，c分别是AABC中/A,DB,NC所对边的边长，则直线sinA-x-4（y-c=0与bx+siny+sinC=0

的位置关系是（）

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

7.已知｛《,｝为等差数列，若4=2%+1，4=2%+7,则%=()

A.1B.2C.3D.6

8.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3,则可输入的实数x值的个数为()

|开始

输出

［伍柬］

A.1B.2C.3D.4

27r

9.已知《，工是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的-一个公共点，且/月2鸟=彳，设椭圆和双曲线的离心率分

别为eve2,则4,e2的关系为()

31）4212/

A.—+—=4/+y=4

22

±+±=4D.e（+3e2=4

e；e；

10.盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球,从中任取i(i=l,2)个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后

放回，此时盒中黑球的个数X,.(i=l,2),贝!!(）

P（X=3）<P（X=3）,EX>EX

A.P（X=3）>P（X2=3）,EX.>EX2B.（2}2

P（x=3）<P（X2=3）,EX,<EX

C.P（X]=3）>P（X2=3）,EXt<EX2D.2

2

2

11.已知双曲线c：5y1(0>(),〃>())的左、右焦点分别为大，K，过七的直线/与双曲线C的左支交于A、

Q-一、

3两点.若|AB|=|A6|,如鸟=120,则双曲线C的渐近线方程为()

y=±且xy=t®x

A.B.C.y=±（G-及）xD.y=±（百-l）x

32

12.正项等差数列｛%｝的前"和为S”,已知4+%-公+15=0,则59=(）

A.35B.36C.45D.54

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到8最近的走

法共有一种.

x+y>0

14.设实数x,y满足,x-y+2N0,则z=2x-的最大值是.

5x-y-6W0

2

15.在平面直角坐标系尤Qy中，双曲线9-丁=1的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为.

16.动点P到直线x=—l的距离和他到点尸(1,0)距离相等，直线AB过(4,0)且交点P的轨迹于A,3两点，则以AB

为直径的圆必过________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛4｝满足：对任意〃,veN*,都有+《.+2.

(1)若生+。3+。6+。9=2,求的值；

(2)若｛4｝是等比数列，求｛%｝的通项公式；

⑶设"N*,k>3,求证：若%+1，%2，％3,…成等差数列，则G，%，…，4也成等差数列.

18.(12分)如图，在四棱锥P-A5C。中，底面ABC。是矩形，B4_L平面ABCZ),且E,尸分别是棱A8,

PC的中点.求证：

Bc

(1)EF〃平面Ri。；

(2)平面PCEJ_平面PCD.

19.(12分)数列｛%｝满足《产0,q=1且a“+i=0.

(1)证明：数列是等差数列，并求数列｛为｝的通项公式；

(2)求数列｛4•%｝的前”项和S”.

21.(12分)某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖.如图，该弓形所在的圆是以A3为直径的

圆，且43=300米，景观湖边界CO与平行且它们间的距离为50底米.开发商计划从A点出发建一座景观桥

(假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行)，桥面在湖面上的部分记作PQ.设NAOP=28.

(1)用。表示线段PQ,并确定sin2。的范围;

(2)为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值.

22.(10分)已知椭圆。的短轴的两个端点分别为A(0,l)、8(0,-1),焦距为26.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线y=m与椭圆C有两个不同的交点"、N,设O为直线AN上一点，且直线8£>、8M的斜率的积

为-』.证明：点。在x轴上.

4

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

利用导数求得了(x)在区间B，e上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得〃的取值

范围.

【详解】

Ir_1

/(X)的定义域为(0,+纥)，/(%)=—+1=-,

所以“X)在上递减，在(l,e)上递增，“X)在x=l处取得极小值也即是最小值，"l)=-lnl+l+〃=l+〃,

=+-++l+,f^=-\ne+e+h=e-l+h,

所以/(x)在区间上的最大值为/(e)=e-l+/z.

要使在区间少上任取三个实数。，b,c均存在以/(a),f(b),/(c)为边长的三角形，

则需/(a)+/8)>/(c)恒成立，且/(1)>0,

也即［7(a)+/("L,'/©max，也即当。=0=1、°=«时，2〃1)>/仁)成立，

即2(l+〃)>e-l+〃，且/(1)>0,解得/?>e-3.所以〃的取值范围是(e-3,+8).

故选：D

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.

2.B

【解析】

依题意，金肇由粗到细各尺重量构成一个等差数列，q=4则%=2,由此利用等差数列性质求出结果.

【详解】

设金维由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为｛%｝,设首项％=4,则为=2,公差”=答?=

故选B

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.C

【解析】

设公差为d,则由题意可得3(a,+4d)=7(4+9d)，解得1=—彗，可得an=6不皿.令言言<o,可得当

时，>0,当〃<13时，«„<0,由此可得数列｛4｝前〃项和中最小的.

【详解】

解：等差数列｛4,｝中，已知3a5=7%。，且q<0,设公差为d,

则3(q+M)=7(a,+9d),解得［=一等，

.:,(55-4〃)《

..%=4+("-1)4=-------L.

55—4〃55

令卫，!<o,可得〃〉上，故当〃之14时，an>Q,当〃<13时，an<0,

514

故数列仅“｝前〃项和S”(〃eN*)中最小的是Sl3.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.

4.A

【解析】

对复数二进行乘法运算，并计算得到z=4+2i,从而得到虚部为2.

【详解】

因为z=(l+i)(3—i)=4+2i,所以z的虚部为2.

【点睛】

本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意产=—1.

【解析】

甲同学所有的选择方案共有12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一

31

科即可，共有c；=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率尸=丘=］，

故选B.

6.C

【解析】

试题分析：由已知直线5由小》一句一。=0的斜率为吧/,直线云+sinBy+sinC=O的斜率为—，—，又由正

弦定理得型=乂，故土sinB

-1,两直线垂直

考点：直线与直线的位置关系

7.B

【解析】

利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a$.

【详解】

■:{an}为等差数列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,

a1+d=2(a(+2d)+l

e，，

［a1+3d=2(a,+2d)+7

解得a】=-10,d=3,

a5=a,+4d=-10+11=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

8.C

【解析】

试题分析：根据题意，当xV2时，令/一1=3,得x=±2；当x>2时，令log?x=3,得

x=9,故输入的实数x值的个数为1.

考点：程序框图.

9.A

【解析】

|P£|+|P周=2q

设椭圆的半长轴长为4,双曲线的半长轴长为由,根据椭圆和双曲线的定义得:解得

\PF,\-\PF2\=2a2

\PF.\=a.+a

〈八二2,然后在中，由余弦定理得:

\PF2\=at-a2

4*=(q+a?)+(4-a2)-2(q+a2).(a,-a2)-cos化简求解.

【详解】

设椭圆的长半轴长为q,双曲线的长半轴长为a2,

忸司+|%|=24

由椭圆和双曲线的定义得:］尸”|一|「用=24

解得德设电心,/位年

2

在△《Pg中，由余弦定理得：4c2=（可+约）~+（刍一^2）一2（刍+4）•（<3j-4），cos—，

3

化简得3a：+4?=4c2,

故选：A

【点睛】

本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10.C

【解析】

根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.

【详解】

2C1

X=3表示取出的为一个白球，所以P（X=3）=才=鼻.屈=2表示取出一个黑球，P（X,=2）=-^-=-,所以

£（X.）=3x-+2x-=-.

'"333

8

X2=3表示取出两个球，其中一黑一白，P（X2=3）=-^-=—,X?=2表示取出两个球为黑球，

021「2£

P（X2）=-^-=—,X2=4表示取出两个球为白球，P（X2=4）=-^=—,所以

E（X2）=3x§+2x，+4x9=".所以P（X=3）>P（X2=3）,EXt<EX2.

1515153

故选：C

【点睛】

本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.

11.D

【解析】

设|伍|=〃2,利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.

【详解】

设M用=IA用=加,.♦.忸g|=+1A工『一2M用.|AEI•cos12（）。=百加,由双曲线的定义可知：|A£|=加一2a,

因此忸制=2a,再由双曲线的定义可知：忸周-忸周=240相=孚。，在三角形A66中，由余弦定理可知：

1Kg「=|A耳「+1一214耳卜|Ag卜cos120°=>=（5—26）/=>/+〃=（5-2GH

卜21

=>〃=（4—2百）4=>彳=（4-26）=>g=百—1,因此双曲线的渐近线方程为：

a

y=±（6-l）x.

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.

12.C

【解析】

由等差数列｛《,｝通项公式得生+。7-。52+15=0,求出生，再利用等差数列前〃项和公式能求出59.

【详解】

正项等差数列｛4｝的前〃项和s“，

%+%—a；+15—(),

“5-2a$—15-0,

解得%=5或%=-3(舍)，

9

S9=耳(q+g)=9a5=9x5=45,故选C.

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质

%,+%=。,“+4=2%(〃+q=/〃+〃=2r)与前〃项和的关系.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.80

【解析】

分三步来考查，先从A到C，再从C到。，最后从。到8,分别计算出三个步骤中对应的走法种数，然后利用分步

乘法计数原理可得出结果.

【详解】

分三步来考查：①从A到C,则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有C；种

走法；

②从C到。，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有C：种走法；

③从。到B,由①可知有种走法.

由分步乘法计数原理可知，共有C；C；C；=8O种不同的走法.

故答案为：80.

【点睛】

本题考查格点问题的处理，考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用，属于中等题.

14.1

【解析】

根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解.

【详解】

x+y.0

作出实数x,）‘满足x-y+2..O表示的平面区域，如图所示:

5x—y—6„0

由2=2x—y可得y=2x—z,则-z表示直线z=2x—y在＞轴上的截距，截距越小，z越大.

x+y=0

由u"，八可得C（l,一1），此时z最大为1,

5x—y—6=0

【点睛】

本题主要考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想.

24

15.—

13

【解析】

求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积.

【详解】

解：双曲线C：双曲线三—二=1中a=2,b=3,c=屈,

49

2224

则双曲线LX一2v_=1的一条准线方程为x=a—=方=,

49CV13

双曲线的渐近线方程为：），=土京，

可得准线方程与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标（卡，奈），（卡，-卡）,

,14c624

则三角形的面积为彳X7乏X2X"乏=有

，71371313

故答案为：—

13

【点睛】

本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题.

16.(0,0)

【解析】

利用动点P到直线x=T的距离和他到点尸(1,0)距离相等，，可知动点P的轨迹是以尸(1,0)为焦点的抛物线,从而可

求曲线的方程，将y=k(x—4),代入y2=4x,利用韦达定理，可得.•.XR+x%=0，从而可知以AB为直径的圆经过

原点O.

【详解】

222

设点尸由题意可得x+l=J(x-iy+y2,(x+l)2=(x—l)2+y2,X+2x+l=x-2x+l+y,可得

y2=4x,设直线A3的方程为y=%(x-4),代入抛物线可得

_4(2二+l)x+16K=0,A(x1,y]),B(x2,y2)/.^x2=16,A^+x2=——-»

.•.%%=炉(％-4)(电一4),

1

:.x[x2+yxy2=(攵2+1)%%2—4左2(%+x2)+\6k

=16(公+1)—422^tl+i6公=0,

k

OAOB^O＞以AB为直径的圆经过原点。.

故答案为：(0,0)

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了直线和抛物线的交汇问题，同时考查了方程的思想和韦达定理，考查了运算能力，

属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)3；(2)an=-2；(3)见解析.

【解析】

(1)依据下标的关系，有48=4+4+2,48=%+4+2,两式相加，即可求出48；(2)依据等比数列的通项

公式知，求出首项和公比即可。利用关系式4“.=4+4+2,列出方程，可以解出首项和公比；(3)利用等差数列的

定义，即可证出。

【详解】

(1)因为对任意都有4”，=4+“"+2,所以％=“2+”9+2,=a3+ab+2,两式相加，

2。［8=。2+4+纥+49+4=2+4=6,解得《8=3;

(2)设等比数列｛4｝的首项为4,公比为4,因为对任意“,veN*,都有%,="“+4+2,

所以有的=4+4+2,解得囚=-2,又4=4+4+2=4+43+2,

即有4+4=4+4，化简得，l+/=q2+/,即年—1乂/-1)=0,

.,.q=l或4=-1,因为&=4+4+2,化简得/-2q+l=0,所以q=l

故q=-2.

(3)因为对任意〃,veN，,都有%=4+4+2,所以有

4+i=%+4M+2

。2(«+1)=。2+4+1+2

<4"+1)=4+4+1+2,4+|，4+2，%3，一.成等差数列，设公差为d,

4+%+I+2

4-4=々2(A+1)一ak+l=(k+V)d,a3-a2=a3(Jt+l)-a2(jl+1)=(k+l)d,…，

%一。1=-4l"+l)=(k+D”,由等差数列的定义知，

%,生,…,4也成等差数列。

【点睛】

本题主要考查等差、等比数列的定义以及赋值法的应用，意在考查学生的逻辑推理，数学建模，综合运用数列知识的

能力。

18.(1)见解析；(2)见解析

【解析】

(1)取PD的中点G构造平行四边形的G,得到EF7/AG,从而证出E户//平面B4O；

(2)先证即，平面PCD,再利用面面垂直的判定定理得到平面PCD，平面PCE.

【详解】

证明：(1)如图，取PD的中点G,连接4G,FG,

是棱AB的中点，底面A8CD是矩形，

：.AE//CD,且AE」C。，

2

又•.•尸，G分别是棱PC,PO的中点，

..FG//CD,且/G=，AC,

2

AE//FG,且AE=FG,

四边形但G为平行四边形，

：.EF//AG,

又「EFC平面尸A£),AGu平面PAD，

二.跖//平面PADi

(2)-.­PA=AD,点G是棱的中点，

AG±PD,

又•.♦EF//AG,..EFLP。，

•.Q4_L平面ABC。，C£)u平面ABC。，

:.PA±CD,

•.,底面ABC。是矩形，AD_LCD,

•.•B4u平面ABC。，ADu平面ABC。，且抬口犯二人，

\CD人平面PAD，

又「AGu平面PAD，CDLAG,

-,-FE//AG,：.CDEF,

又：⑺匚平面PCD,PDu平面PCD,且CQnPO=。，

.•.EFJ_平面PC。，

又平面PCE,

■■平面PC。，平面PCE.

【点睛】

本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的判定，首选判定定理，是中档题.

n

19.(1)证明见解析，an=----(-2-)

3〃一23«+1

【解析】

(D利用a“+3q川。“=0,推出」——1=3,然后利用等差数列的通项公式，即可求解;

an+\an

(2)由(1)知4。用=’(—!--------),利用裂项法，即可求解数列的前"项和.

33/1-23〃+1

【详解】

(1)由题意，数列｛%｝满足4尸。且4+1一4+3。“+必”=0

11c八11c

可得---------+3=0,即---------=3,

4%+ia“+i/

111,

所以数列丁是公差公3,首项「「I的等差数列,

故」•=1+3(〃-1)=3〃-2,所以q=―1—

。八3〃一2

1111、

⑵由⑴知44M=(3加2)(3〃+1z)=}.一")'

所以数列｛%.4+J的前"项和:

1FO________

+，

电3x1-23x1+1,3x2-23x2+1J\3n-23n+lJ

n

3n+l

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，以及“裂项法”求解数列的前"项和，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公

式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

20.证明见解析

【解析】

利用分析法，证明a+，＞3即可.

a2

【详解】

证明：•.,〃>(),aH—21,

a

1

・・〃H-----l>0,

a

要证明J/7>。----1，

只要证明〃+2>(a+-)1-4(a+-)+4,

aaa

13

只要证明：a+—>二，

a2

Va+->1>-,

a2

...原不等式成立.

【点睛】

本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题.

21.(1)PQ=300sin。-^^，—<sin2^<1;(2)50几米.

cos。3

【解析】

丘QH

(1)过点。作。“LAB于点〃，再在AAOP中利用正弦定理求解AP,再根据.(7：求解AQ,进而求得

(2)

PQ.再根据PQ>0确定sin26的范围即可.

⑵根据⑴有PQ=5072f3瓜i〃e-一二］，再设f(0}=36sme-一二，求导分析函数的单调性与最值即可.

ICOS0)cos(9

【详解】

解：(1)

过点。作QHLAB于点H,

贝!|Q”=50技

在3Aop中,；OAF=OP=\50,ZAOP=26,

TT

；.NOAP=——凡

2

OPAP

由正弦定理得:sinfy-^sin20,

;AP=300s07仇

・•.AQ=—"50V2

sin^—ecos。，

PQ=AP-AQ=3OQsin0-迎旦，

COS。

PQ=300sin3-〉0,因为cos6>0,

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