华师一附中2024届高三数学独立作业6 试卷含答案

华师一附中2024届高三数学独立作业（6）一、单选题1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．化简的结果为（）A． B． C． D．3．定义在上的减函数满足条件：对，，总有，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．4．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．5．已知函数在其定义域内的一个子区间上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知，均为锐角，且，则（

）A．B．C．D．7．已知定义在上的函数和都是奇函数，当时，，若函数在区间上有且仅有个零点，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．8．一个半球体状的雪堆，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，其体积变化的速率与半球面面积成正比，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时，融化了其体积的，则该雪堆全部融化需要（

）小时A． B．4 C．5 D．6二、多选题9．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．恒成立 B．函数在上单调递增C．函数的极小值为 D．函数只有一个零点10．已知，为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．11．关于函数，下列说法正确的有（

）A．在上是增函数B．为偶函数C．的最小值为，无最大值D．对，，都有12．已知函数，若方程有且只有三个实根，且，则（

）A． B． C． D．三、填空题13．已知幂函数在上单调递增，则m＝．14．若命题：“任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的范围是.15．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是．16．若存在两个不等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围为.四、解答题17．若正数，，满足．(1)求的最大值；(2)求的最小值．18．已知函数.(1)若在上有意义且不单调，求a的取值范围；(2)若集合，且，求a的取值范围.19．已知函数(1)判断在定义域上是否存在极值？若存在求出其极值，若不存在说明理由．(2)若在恒成立，求a的取值范围．20．某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？并求出其最小值.参考数据：，21．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)函数有两个不同的极值点，证明：.22．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；(2)若，求实数a的取值范围.华师一高三数学独立作业6参考答案1．D【分析】解不等式求出，再根据补集的概念求解即可.【详解】由，得到，∴，由，得到，∴，∴，故选：D.2．D【分析】运用化简【详解】因为，所以即又因为且所以=故选：D3．D【分析】利用函数的单调性，结合对数函数的单调性进行求解即可.【详解】在中，令，得，所以有，因为函数是定义在上的减函数，所以有，故选：D4．A【分析】根据的解析式先判断奇偶性，代入特殊值即可求解.【详解】依题意，因为，所以，所以，所以为奇函数，所以D选项错误；因为，所以C选项错误；因为，所以B选项错误；因此排除了BCD选项，而A选项图象符合函数的性质.故选：A.5．A【分析】利用导数求得的单调性和极值点，由题意得极值点在区间内，结合定义域，即可得答案.【详解】由题意得，令，解得或（舍），当时，，则为减函数，当时，，则为增函数，所以在处取得极小值，所以，解得，又为定义域的一个子区间，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A6．A【分析】由已知条件可得，构造函数，，利用导数可得在上为增函数，从而可得，再由正余弦函数的单调性可得结论【详解】因为，所以，可得，令，，，所以在上为增函数，∴，∵，均为锐角，∴，∴，，故A正确C错误；因为无法确定的大小，故BD错误；故选：A.7．B【分析】根据函数的奇偶性确定函数的周期，将函数的零点问题转化为两函数的交点，最后通过数形结合求解出参数的值.【详解】因为是奇函数，所以函数的图象关于点成中心对称，即．又因为函数为奇函数，所以，即，所以函数是周期为的周期函数．由于函数为定义在上的奇函数，则，得．又因为当时，，所以，，于是得出，．作出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，函数与函数在区间上从左到右个交点的横坐标分别为，，，，，，，，，，第个交点的横坐标为．因此，实数的取值范围是，故实数的最小值为．故选：B．8．D【分析】设雪堆在时刻的体积为，侧面积，依题意令，即可求出，令（为常数），求出，再根据求出，即可得解．【详解】设雪堆在时刻的体积为，侧面积．令，即于是，令（为常数），由，得，故．又，即，得，从而，因雪堆全部融化时，，故，即雪堆全部融化需小时．故选：D．9．BCD【分析】对函数求导，确定函数的单调性、极值、最值以及零点个数.【详解】对于A，当时，，，A错误；令可得，解得，令可得，解得，的增区间为：，的减区间为：，函数在上单调递增，B正确；对于C，由上可知，的极小值为：，C正确；对于D，令，解得，由的单调性以及当时，，可知，D正确.故选：BCD.10．ABD【分析】A选项，方程变形得到，利用基本不等式求出答案；B选项，由变形后，利用基本不等式求出最值；C选项，由由变形得到，构造，求导得到其单调性，进而求出最值情况；D选项，由证明出，进而证明出.【详解】A选项，由可知，即，故，因为，所以，所以，故，A选项正确；B选项，由A选项可知，，又，故，当且仅当，时或，时取“=”，B选项正确；C选项，由A选项可知，，又，故，令，有，令，解得，令，解得，可知的单调递减区间为，单调递增区间为，故，故，C选项错误；D选项，等价于，即，因为，又，故，当且仅当，即时，等号成立，故D选项正确.故选：ABD.11．BC【分析】利用指对数复合函数的单调性判断单调性，奇偶性定义判断，再根据指对、对勾函数性质求最值，函数图象下凹，数形结合判断D.【详解】由题设，而在上递增，在上递减，在上递增，所以在上递减，在上递增，又在定义域上递增，所以在上递减，在上递增，A错；由，即为偶函数，B对；由上，仅当时等号成立，则，无最大值，C对；综上分析知：为下凹的图象，上任意取两点都有，D错.

故选：BC12．ABD【分析】根据的图像将方程转化为两个函数的交点问题，通过函数图像判断A，C，D的正误，利用导数的几何意义可求出的值，进而判断B的正误.【详解】根据题意，令，可得，或，作出的图像，如图一所示，由方程可得，，所以，当时，，则有，即，当时，，则有，即，当时，，则有，即，设，所以，作出和图像如图二所示，因为直线绕坐标系原点旋转，当直线与相切时，直线与有三个交点，如果直线继续逆时针旋转，会有四个交点，当直线过时，，即，此时也过点，所以直线与有两个个交点，综上，当且仅当直线与相切时，直线与有三个交点，所以，，，故A正确，C错误，因为，设切点坐标为，所以，解得，故B正确，因为，，，所以，，所以，故D正确，故选：ABD.13．4【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.【详解】由题意可得，解得故答案为：4.14．【分析】根据全称命题和特称命题的关系，将原命题等价转化成不等式的有解问题进行求解.【详解】由题意，存在实数使得不等式成立，所以不等式的解集非空，①当时，，得，符合题意，②当时，不等式对应的二次函数开口向下，故的解集显然非空，符合题意，③当时，因为不等式的解集非空，所以，即，解得或，所以或，综上或，故答案为：15．【分析】利用导数法，作出函数的大致图象，令，或，由没有解，得到的解的个数与方程解的个数相等求解.【详解】解：当时，，所以，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，且，，，当时，，当时，，当时，与一次函数相比，函数增长更快，从而，当时，，所以，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，且，，当时，，当时，，当时，与对数函数相比，一次函数增长更快，从而当，且时，，根据以上信息，可作出函数的大致图象：

令，得或，由图象可得没有解，所以方程的解的个数与方程解的个数相等，而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点．故答案为：16．【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.【详解】，构造函数，所以原问题等价于存在两个不等的正实数，，使得，显然函数不是正实数集上的单调函数，，设，当时，单调递增，当时，单调递减，故，当时，即时，单调递增，所以不符合题意；当时，即时，显然存在，使得，因此一定存在区间，使得在上异号，因此函数在上单调性不同，因此一定存在两个不等的正实数，，使得成立，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是由构造函数.17．(1)(2)【分析】（1）对直接利用基本不等式，即可得出的最大值；（2）将看作一个整体，由，展开后，再利用基本不等式，即可得出答案.【详解】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以当，时，．（2），当且仅当时等号成立，∴当，时，．18．(1)；(2).【分析】（1）根据题意得到二次函数的对称轴在之间，且在上恒为正，结合二次函数的性质即得；（2）设为方程的两个根，计算，得到，进而即得.【详解】（1）当时，，由题知：二次函数的对称轴在之间，且在上恒正，∴，解得，即；（2）因为，不妨设为方程的两个根，∴，由，得，即，且，由，得，∴，∵，∴，∴，又为方程的两个根，∴，∴，解得，∴.19．(1)不存在，理由见解析(2)【分析】（1）求导，先判断单调性，再求出判断极值是否存在即可；（2）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，再求出最值即可.【详解】（1），，记，则当；当,即在单调递减，在单调递增，，在R上单调递增，即在定义域R上极值不存在.（2）因为在恒成立，所以在恒成立.显然当不等式成立，当时，在上恒成立，令，则,记，当时，单调递增，故，故当时，，即，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以.综上，实数的取值范围是．20．(1)(2)需新建个桥墩才能使y最小，最小值为万元.【分析】（1）利用题中的已知条件设出需要建设桥墩的个数，进而表示出工程的费用即可；（2）利用（1）的结果，再利用导数研究函数的单调性即可求出最值.【详解】（1）由已知两端的桥墩相距1200米，且相邻两桥墩相距x米，故需要建桥墩个，则所以y关于x的函数关系式为，（2）由（1）知令，即，解得（舍）或当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以当时，y有最小值，且又（万元）所以需新建个桥墩才能使y最小，最小值为万元.21．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定和的解得增减区间；（2）求出，由可得这样只要证，即证，再利用，消去参数，然后设，进一步化二元为一元，再引入新函数，利用导数证明不等式成立．【详解】（1）（i）当时，，则在为增函数（ii）当时，令得当时，当时，所以在为减函数，在为增函数综上：当时，在为增函数当时，在为减函数，在为增函数（2），则，要证，只要证，即证，所以所以只要证，只要证设，则只要证，所以只要证设（），则，设，则，所以为减函数，所以，所以为增函数所以，所以成立，所以原式得证.【点睛】方法点睛：关于极值点的不等式证明方法，函数（其中含有参数）的极值点是，需要证明关于的不等式成立，由于其中含有三个参数，因此需要用消元法消元，最终得出一元不等式，对一元不等式再引入新函数，利用导数进行证明．消元方法是：由，可把参数用极值点表示，代入消去，然后再设，不等式转化为关于的不等式，化为一元不等式，从而易得证．22．(1)(2)【分析】（1）由题意可知，则可求出切点坐标为，切线斜率为，再利用点斜式写出直线，则可求出答案；（2）由定义域为，则，讨论当与0的大小关系，即可去掉绝对值，利用则可求出求出实数a的取值范围.【详解】（1）当时，，，，切点，∴切线方程为，即.令，得；令，得，所以三角形的面积是：.（2）①当时，，此时，令，.当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，又，则，又，所以，∴，∴，此时符合题意.②当时